Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapeq0 Structured version   Unicode version

Theorem pmapeq0 33410
Description: A projective map value is zero iff its argument is lattice zero. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapeq0.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pmapeq0.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
pmapeq0.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
pmapeq0  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  =  (/)  <->  X  =  .0.  ) )

Proof of Theorem pmapeq0
StepHypRef Expression
1 hlatl 33005 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  AtLat )
3 pmapeq0.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
4 pmapeq0.m . . . . 5  |-  M  =  ( pmap `  K
)
53, 4pmap0 33409 . . . 4  |-  ( K  e.  AtLat  ->  ( M `  .0.  )  =  (/) )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  .0.  )  =  (/) )
76eqeq2d 2454 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  =  ( M `  .0.  )  <->  ( M `  X )  =  (/) ) )
8 hlop 33007 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
10 pmapeq0.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
1110, 3op0cl 32829 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  B )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  .0.  e.  B )
1310, 4pmap11 33406 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  .0.  e.  B )  -> 
( ( M `  X )  =  ( M `  .0.  )  <->  X  =  .0.  ) )
1412, 13mpd3an3 1315 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  =  ( M `  .0.  )  <->  X  =  .0.  ) )
157, 14bitr3d 255 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  =  (/)  <->  X  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3637   ` cfv 5418   Basecbs 14174   0.cp0 15207   OPcops 32817   AtLatcal 32909   HLchlt 32995   pmapcpmap 33141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-lat 15216  df-clat 15278  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-pmap 33148
This theorem is referenced by:  pmapjat1  33497
  Copyright terms: Public domain W3C validator