Theorem pmap0 17245

Description: Value of the projective map of a Hilbert lattice at lattice zero. Part of Theorem 15.5.1 of [MaedaMaeda] p. 62.

Hypotheses

Ref	Expression
pmap0.z	|- Z = (0.` K)
pmap0.m	|- M = (pmap` K)

Assertion

Ref	Expression
pmap0	|- (K e. OP -> (M` Z) = (/))

Proof of Theorem pmap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . 4 |- (base` K) = (base` K)
2		pmap0.z	. . . 4 |- Z = (0.` K)
3	1, 2	op0cl 16914	. . 3 |- (K e. OP -> Z e. (base` K))
4		eqid 1884	. . . 4 |- (le` K) = (le` K)
5		eqid 1884	. . . 4 |- (AtomsNEW` K) = (AtomsNEW` K)
6		pmap0.m	. . . 4 |- M = (pmap` K)
7	1, 4, 5, 6	pmapval 17237	. . 3 |- ((K e. OP /\ Z e. (base` K)) -> (M` Z) = {a e. (AtomsNEW` K) | a(le` K)Z})
8	3, 7	mpdan 768	. 2 |- (K e. OP -> (M` Z) = {a e. (AtomsNEW` K) | a(le` K)Z})
9	4, 2, 5	atomnle0 17007	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ a e. (AtomsNEW` K)) -> -. a(le` K)Z)
10	9	nrexdv 2193	. . . 4 |- (K e. OP -> -. E.a e. (AtomsNEW` K)a(le` K)Z)
11		rabn0 2893	. . . . 5 |- ({a e. (AtomsNEW` K) | a(le` K)Z} =/= (/) <-> E.a e. (AtomsNEW` K)a(le` K)Z)
12	11	a1i 8	. . . 4 |- (K e. OP -> ({a e. (AtomsNEW` K) | a(le` K)Z} =/= (/) <-> E.a e. (AtomsNEW` K)a(le` K)Z))
13	10, 12	mtbird 783	. . 3 |- (K e. OP -> -. {a e. (AtomsNEW` K) | a(le` K)Z} =/= (/))
14		nne 2021	. . 3 |- (-. {a e. (AtomsNEW` K) | a(le` K)Z} =/= (/) <-> {a e. (AtomsNEW` K) | a(le` K)Z} = (/))
15	13, 14	sylib 215	. 2 |- (K e. OP -> {a e. (AtomsNEW` K) | a(le` K)Z} = (/))
16	8, 15	eqtrd 1925	1 |- (K e. OP -> (M` Z) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106  {crab 2108  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  0.cp0 16832  OPcops 16837  AtomsNEWcatm 16981  pmapcpmap 17214

This theorem is referenced by:  pmapeq0 17246  pmapjat 17314  pol1 17323  pnonsing 17343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-oposet 16905  df-covers 16984  df-atoms 16985  df-pmap 17218

Copyright terms: Public domain