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Theorem pm2mpghm 19484
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 16-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpfo.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
pm2mpfo.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
pm2mpfo.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
pm2mpfo.m  |-  .*  =  ( .s `  Q )
pm2mpfo.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
pm2mpfo.x  |-  X  =  (var1 `  A )
pm2mpfo.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
pm2mpfo.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
pm2mpfo.l  |-  L  =  ( Base `  Q
)
pm2mpfo.t  |-  T  =  ( N pMatToMatPoly  R )
Assertion
Ref Expression
pm2mpghm  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T  e.  ( C  GrpHom  Q ) )

Proof of Theorem pm2mpghm
Dummy variables  k 
a  b  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpfo.b . 2  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 pm2mpfo.l . 2  |-  L  =  ( Base `  Q
)
3 eqid 2454 . 2  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
4 eqid 2454 . 2  |-  ( +g  `  Q )  =  ( +g  `  Q )
5 pm2mpfo.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 pm2mpfo.c . . . 4  |-  C  =  ( N Mat  P )
75, 6pmatring 19361 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
8 ringgrp 17398 . . 3  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. 
Grp )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Grp )
10 pm2mpfo.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
1110matring 19112 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
12 pm2mpfo.q . . . . 5  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
1312ply1ring 18484 . . . 4  |-  ( A  e.  Ring  ->  Q  e. 
Ring )
1411, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  Ring )
15 ringgrp 17398 . . 3  |-  ( Q  e.  Ring  ->  Q  e. 
Grp )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  Grp )
17 pm2mpfo.m . . 3  |-  .*  =  ( .s `  Q )
18 pm2mpfo.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
19 pm2mpfo.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  A )
20 pm2mpfo.t . . 3  |-  T  =  ( N pMatToMatPoly  R )
215, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20, 2pm2mpf 19466 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T : B --> L )
22 ringmnd 17402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. 
Mnd )
237, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Mnd )
2423anim1i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  ( C  e.  Mnd  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
) )
25 3anass 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Mnd  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  <->  ( C  e.  Mnd  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) ) )
2624, 25sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  ( C  e.  Mnd  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B ) )
271, 3mndcl 16128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  Mnd  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  ( a ( +g  `  C ) b )  e.  B )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  (
a ( +g  `  C
) b )  e.  B )
296, 1decpmatval 19433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a ( +g  `  C ) b )  e.  B  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( a ( +g  `  C ) b ) decompPMat  k )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i ( a ( +g  `  C
) b ) j ) ) `  k
) ) )
3028, 29sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( a ( +g  `  C ) b ) decompPMat  k )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i ( a ( +g  `  C ) b ) j ) ) `  k ) ) )
31 simplll 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  Fin )
32 fvex 5858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k
)  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( i a j ) ) `  k )  e.  _V )
34 fvex 5858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (coe1 `  ( i b j ) ) `  k
)  e.  _V
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( i b j ) ) `  k )  e.  _V )
36 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) ) )
37 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i b j ) ) `  k ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i b j ) ) `  k ) ) )
3831, 31, 33, 35, 36, 37offval22 6852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i a j ) ) `  k ) )  oF ( +g  `  R ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i b j ) ) `  k ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  (
i b j ) ) `  k ) ) ) )
39 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
40 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
41 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
42 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  a  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  i  e.  N )
43 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  a  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  j  e.  N )
441eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  B  <->  a  e.  ( Base `  C )
)
4544biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  B  ->  a  e.  ( Base `  C
) )
4645ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  a  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  a  e.  ( Base `  C )
)
47 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
486, 47matecl 19094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( i a j )  e.  ( Base `  P ) )
4942, 43, 46, 48syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  a  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
a j )  e.  ( Base `  P
) )
5049ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  a  e.  B
)  ->  ( (
i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i a j )  e.  ( Base `  P ) ) )
5150adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( i
a j )  e.  ( Base `  P
) ) )
5251adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i a j )  e.  ( Base `  P
) ) )
53523impib 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i a j )  e.  ( Base `  P
) )
54 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
55543ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  NN0 )
56 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (coe1 `  (
i a j ) )  =  (coe1 `  (
i a j ) )
5756, 47, 5, 39coe1fvalcl 18446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i a j )  e.  ( Base `  P )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( i a j ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )
)
5853, 55, 57syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( i a j ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )
)
5910, 39, 40, 31, 41, 58matbas2d 19092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) )  e.  ( Base `  A
) )
60 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  b  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  i  e.  N )
61 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  b  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  j  e.  N )
621eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  e.  B  <->  b  e.  ( Base `  C )
)
6362biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  B  ->  b  e.  ( Base `  C
) )
6463ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  b  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  b  e.  ( Base `  C )
)
656, 47matecl 19094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( i b j )  e.  ( Base `  P ) )
6660, 61, 64, 65syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  b  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
b j )  e.  ( Base `  P
) )
6766ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  b  e.  B
)  ->  ( (
i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i b j )  e.  ( Base `  P ) ) )
6867adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( i
b j )  e.  ( Base `  P
) ) )
6968adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i b j )  e.  ( Base `  P
) ) )
70693impib 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i b j )  e.  ( Base `  P
) )
71 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (coe1 `  (
i b j ) )  =  (coe1 `  (
i b j ) )
7271, 47, 5, 39coe1fvalcl 18446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i b j )  e.  ( Base `  P )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( i b j ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )
)
7370, 55, 72syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( i b j ) ) `  k )  e.  (
Base `  R )
)
7410, 39, 40, 31, 41, 73matbas2d 19092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i b j ) ) `  k ) )  e.  ( Base `  A
) )
75 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
76 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
7710, 40, 75, 76matplusg2 19096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i b j ) ) `  k ) )  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i a j ) ) `  k ) ) ( +g  `  A
) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i b j ) ) `  k ) ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) )  oF ( +g  `  R
) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i b j ) ) `  k ) ) ) )
7859, 74, 77syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i a j ) ) `  k ) ) ( +g  `  A
) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i b j ) ) `  k ) ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) )  oF ( +g  `  R
) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i b j ) ) `  k ) ) ) )
79 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )
8079anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
) )
81803impb 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( a  e.  B  /\  b  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) ) )
82 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
836, 1, 3, 82matplusgcell 19102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( a ( +g  `  C
) b ) j )  =  ( ( i a j ) ( +g  `  P
) ( i b j ) ) )
8481, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( a ( +g  `  C ) b ) j )  =  ( ( i a j ) ( +g  `  P ) ( i b j ) ) )
8584fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (coe1 `  ( i ( a ( +g  `  C
) b ) j ) )  =  (coe1 `  ( ( i a j ) ( +g  `  P ) ( i b j ) ) ) )
8685fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( i ( a ( +g  `  C
) b ) j ) ) `  k
)  =  ( (coe1 `  ( ( i a j ) ( +g  `  P ) ( i b j ) ) ) `  k ) )
87413ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
885, 47, 82, 76coe1addfv 18501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( i a j )  e.  ( Base `  P )  /\  (
i b j )  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( ( i a j ) ( +g  `  P ) ( i b j ) ) ) `  k )  =  ( ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  ( i b j ) ) `  k
) ) )
8987, 53, 70, 55, 88syl31anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( ( i a j ) ( +g  `  P ) ( i b j ) ) ) `  k )  =  ( ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  ( i b j ) ) `  k
) ) )
9086, 89eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( i ( a ( +g  `  C
) b ) j ) ) `  k
)  =  ( ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  ( i b j ) ) `  k
) ) )
9190mpt2eq3dva 6334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i ( a ( +g  `  C
) b ) j ) ) `  k
) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  ( i b j ) ) `  k
) ) ) )
9238, 78, 913eqtr4rd 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i ( a ( +g  `  C
) b ) j ) ) `  k
) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) ) ( +g  `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i b j ) ) `  k ) ) ) )
9312ply1sca 18489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  =  (Scalar `  Q )
)
9411, 93syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  =  (Scalar `  Q
) )
9594ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  =  (Scalar `  Q
) )
9695fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( +g  `  A )  =  ( +g  `  (Scalar `  Q ) ) )
97 simprl 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  a  e.  B )
986, 1decpmatval 19433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  B  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( a decompPMat  k )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i a j ) ) `  k ) ) )
9997, 98sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( a decompPMat  k )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i a j ) ) `  k ) ) )
10099eqcomd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i a j ) ) `  k ) )  =  ( a decompPMat  k )
)
101 simprr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  b  e.  B )
1026, 1decpmatval 19433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  B  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( b decompPMat  k )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i b j ) ) `  k ) ) )
103101, 102sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( b decompPMat  k )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i b j ) ) `  k ) ) )
104103eqcomd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i b j ) ) `  k ) )  =  ( b decompPMat  k )
)
10596, 100, 104oveq123d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i a j ) ) `  k ) ) ( +g  `  A
) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i b j ) ) `  k ) ) )  =  ( ( a decompPMat  k )
( +g  `  (Scalar `  Q ) ) ( b decompPMat  k ) ) )
10630, 92, 1053eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( a ( +g  `  C ) b ) decompPMat  k )  =  ( ( a decompPMat  k ) ( +g  `  (Scalar `  Q )
) ( b decompPMat  k
) ) )
107106oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( a ( +g  `  C
) b ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) )  =  ( ( ( a decompPMat  k ) ( +g  `  (Scalar `  Q )
) ( b decompPMat  k
) )  .*  (
k  .^  X )
) )
10812ply1lmod 18488 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Ring  ->  Q  e. 
LMod )
10911, 108syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  LMod )
110109ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  Q  e.  LMod )
111 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  a  e.  B )
112111ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
a  e.  B )
1135, 6, 1, 10, 40decpmatcl 19435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  B  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
a decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
11441, 112, 54, 113syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( a decompPMat  k )  e.  ( Base `  A
) )
11594eqcomd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  Q )  =  A )
116115ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
(Scalar `  Q )  =  A )
117116fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( Base `  (Scalar `  Q
) )  =  (
Base `  A )
)
118114, 117eleqtrrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( a decompPMat  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  Q ) ) )
119 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  B )
120119ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
b  e.  B )
1215, 6, 1, 10, 40decpmatcl 19435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  b  e.  B  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
b decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
12241, 120, 54, 121syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( b decompPMat  k )  e.  ( Base `  A
) )
123122, 117eleqtrrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( b decompPMat  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  Q ) ) )
124 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  Q )  =  (mulGrp `  Q )
125124ringmgp 17399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Q )  e.  Mnd )
12614, 125syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(mulGrp `  Q )  e.  Mnd )
127126ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
(mulGrp `  Q )  e.  Mnd )
12819, 12, 2vr1cl 18453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Ring  ->  X  e.  L )
12911, 128syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  X  e.  L )
130129ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  X  e.  L )
131124, 2mgpbas 17342 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( Base `  (mulGrp `  Q ) )
132131, 18mulgnn0cl 16357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mulGrp `  Q )  e.  Mnd  /\  k  e. 
NN0  /\  X  e.  L )  ->  (
k  .^  X )  e.  L )
133127, 54, 130, 132syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  .^  X
)  e.  L )
134 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  Q )  =  (Scalar `  Q )
135 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  Q )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Q )
)
136 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  (Scalar `  Q )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  Q )
)
1372, 4, 134, 17, 135, 136lmodvsdir 17731 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  LMod  /\  (
( a decompPMat  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  Q ) )  /\  ( b decompPMat  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  Q ) )  /\  ( k  .^  X
)  e.  L ) )  ->  ( (
( a decompPMat  k )
( +g  `  (Scalar `  Q ) ) ( b decompPMat  k ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( ( ( a decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ( +g  `  Q
) ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) )
138110, 118, 123, 133, 137syl13anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( a decompPMat  k ) ( +g  `  (Scalar `  Q )
) ( b decompPMat  k
) )  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( ( ( a decompPMat  k )  .*  ( k  .^  X
) ) ( +g  `  Q ) ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) )
139107, 138eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( a ( +g  `  C
) b ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) )  =  ( ( ( a decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ( +g  `  Q
) ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) )
140139mpteq2dva 4525 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( ( a ( +g  `  C ) b ) decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( a decompPMat  k )  .*  ( k  .^  X
) ) ( +g  `  Q ) ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
141140oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( a ( +g  `  C
) b ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( a decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ( +g  `  Q
) ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ) )
142 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( 0g
`  Q )  =  ( 0g `  Q
)
143 ringcmn 17424 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  Ring  ->  Q  e. CMnd
)
14414, 143syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e. CMnd )
145144adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  Q  e. CMnd )
146 nn0ex 10797 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
147146a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  NN0  e.  _V )
148111anim2i 567 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  a  e.  B
) )
149 df-3an 973 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  a  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  a  e.  B ) )
150148, 149sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  a  e.  B ) )
1515, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2pm2mpghmlem1 19481 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  a  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( a decompPMat  k )  .*  ( k  .^  X
) )  e.  L
)
152150, 151sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( a decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) )  e.  L )
153119anim2i 567 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  b  e.  B
) )
154 df-3an 973 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  b  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  b  e.  B ) )
155153, 154sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  b  e.  B ) )
1565, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2pm2mpghmlem1 19481 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  b  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( b decompPMat  k )  .*  ( k  .^  X
) )  e.  L
)
157155, 156sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( b decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) )  e.  L )
158 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( a decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( ( a decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) )
159 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) )
1605, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12pm2mpghmlem2 19480 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  a  e.  B )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( a decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) finSupp  ( 0g `  Q ) )
161150, 160syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( a decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) finSupp  ( 0g `  Q ) )
1625, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12pm2mpghmlem2 19480 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  b  e.  B )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) finSupp  ( 0g `  Q ) )
163155, 162syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) finSupp  ( 0g `  Q ) )
1642, 142, 4, 145, 147, 152, 157, 158, 159, 161, 163gsummptfsadd 17139 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( a decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ( +g  `  Q
) ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )  =  ( ( Q 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( a decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) ( +g  `  Q ) ( Q 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( b decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) ) )
165141, 164eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( a ( +g  `  C
) b ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) )  =  ( ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( a decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) ( +g  `  Q ) ( Q 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( b decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) ) )
166 simpll 751 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  N  e.  Fin )
167 simplr 753 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  R  e.  Ring )
1685, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 19464 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
a ( +g  `  C
) b )  e.  B )  ->  ( T `  ( a
( +g  `  C ) b ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( a ( +g  `  C
) b ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) )
169166, 167, 28, 168syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  ( T `  ( a
( +g  `  C ) b ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( a ( +g  `  C
) b ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) )
1705, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 19464 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  a  e.  B )  ->  ( T `  a )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( a decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
171166, 167, 97, 170syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  ( T `  a )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( a decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
1725, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 19464 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  b  e.  B )  ->  ( T `  b )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
173166, 167, 101, 172syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  ( T `  b )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( b decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
174171, 173oveq12d 6288 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  (
( T `  a
) ( +g  `  Q
) ( T `  b ) )  =  ( ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( a decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ( +g  `  Q ) ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( b decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) ) )
175165, 169, 1743eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  ( T `  ( a
( +g  `  C ) b ) )  =  ( ( T `  a ) ( +g  `  Q ) ( T `
 b ) ) )
1761, 2, 3, 4, 9, 16, 21, 175isghmd 16475 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T  e.  ( C  GrpHom  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272    oFcof 6511   Fincfn 7509   finSupp cfsupp 7821   NN0cn0 10791   Basecbs 14716   +g cplusg 14784  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118   Grpcgrp 16252  .gcmg 16255    GrpHom cghm 16463  CMndccmn 16997  mulGrpcmgp 17336   Ringcrg 17393   LModclmod 17707  var1cv1 18410  Poly1cpl1 18411  coe1cco1 18412   Mat cmat 19076   decompPMat cdecpmat 19430   pMatToMatPoly cpm2mp 19460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-psr 18200  df-mvr 18201  df-mpl 18202  df-opsr 18204  df-psr1 18414  df-vr1 18415  df-ply1 18416  df-coe1 18417  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-mamu 19053  df-mat 19077  df-decpmat 19431  df-pm2mp 19461
This theorem is referenced by:  pm2mpgrpiso  19485  pm2mprhm  19489  pm2mp  19493
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