Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpghm Structured version   Unicode version

Theorem pm2mpghm 19124
 Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 16-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpfo.p Poly1
pm2mpfo.c Mat
pm2mpfo.b
pm2mpfo.m
pm2mpfo.e .gmulGrp
pm2mpfo.x var1
pm2mpfo.a Mat
pm2mpfo.q Poly1
pm2mpfo.l
pm2mpfo.t pMatToMatPoly
Assertion
Ref Expression
pm2mpghm

Proof of Theorem pm2mpghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpfo.b . 2
2 pm2mpfo.l . 2
3 eqid 2467 . 2
4 eqid 2467 . 2
5 pm2mpfo.p . . . . 5 Poly1
65ply1rng 18100 . . . 4
7 pm2mpfo.c . . . . 5 Mat
87matrng 18752 . . . 4
96, 8sylan2 474 . . 3
10 rnggrp 17017 . . 3
119, 10syl 16 . 2
12 pm2mpfo.a . . . . 5 Mat
1312matrng 18752 . . . 4
14 pm2mpfo.q . . . . 5 Poly1
1514ply1rng 18100 . . . 4
1613, 15syl 16 . . 3
17 rnggrp 17017 . . 3
1816, 17syl 16 . 2
19 pm2mpfo.m . . 3
20 pm2mpfo.e . . 3 .gmulGrp
21 pm2mpfo.x . . 3 var1
22 pm2mpfo.t . . 3 pMatToMatPoly
235, 7, 1, 19, 20, 21, 12, 14, 22, 2pm2mpf 19106 . 2
24 rngmnd 17021 . . . . . . . . . . . . . 14
259, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
2625anim1i 568 . . . . . . . . . . . 12
27 3anass 977 . . . . . . . . . . . 12
2826, 27sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
291, 3mndcl 15740 . . . . . . . . . . 11
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . 10
317, 1decpmatval 19073 . . . . . . . . . 10 decompPMat coe1
3230, 31sylan 471 . . . . . . . . 9 decompPMat coe1
33 simplll 757 . . . . . . . . . . 11
34 fvex 5876 . . . . . . . . . . . 12 coe1
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 coe1
36 fvex 5876 . . . . . . . . . . . 12 coe1
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 coe1
38 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
39 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
4033, 33, 35, 37, 38, 39offval22 6863 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1 coe1 coe1
41 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
42 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
43 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12
44 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
461eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4746biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
49 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
507, 49matecl 18734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5144, 45, 48, 50syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
55543impib 1194 . . . . . . . . . . . . 13
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
57563ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13
58 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1
5958, 49, 5, 41coe1fvalcl 18062 . . . . . . . . . . . . 13 coe1
6055, 57, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 coe1
6112, 41, 42, 33, 43, 60matbas2d 18732 . . . . . . . . . . 11 coe1
62 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
641eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6564biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6665ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
677, 49matecl 18734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6862, 63, 66, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
72713impib 1194 . . . . . . . . . . . . 13
73 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1
7473, 49, 5, 41coe1fvalcl 18062 . . . . . . . . . . . . 13 coe1
7572, 57, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 coe1
7612, 41, 42, 33, 43, 75matbas2d 18732 . . . . . . . . . . 11 coe1
77 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
78 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
7912, 42, 77, 78matplusg2 18736 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1
8061, 76, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1 coe1 coe1
81 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8281anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83823impb 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
857, 1, 3, 84matplusgcell 18742 . . . . . . . . . . . . . . 15
8683, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8786fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1
8887fveq1d 5868 . . . . . . . . . . . 12 coe1 coe1
89433ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13
905, 49, 84, 78coe1addfv 18117 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1 coe1
9189, 55, 72, 57, 90syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . 12 coe1 coe1 coe1
9288, 91eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1 coe1
9392mpt2eq3dva 6346 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1 coe1
9440, 80, 933eqtr4rd 2519 . . . . . . . . 9 coe1 coe1 coe1
9514ply1sca 18105 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
9613, 95syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
9796ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 Scalar
9897fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10 Scalar
99 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12
1007, 1decpmatval 19073 . . . . . . . . . . . 12 decompPMat coe1
10199, 100sylan 471 . . . . . . . . . . 11 decompPMat coe1
102101eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10 coe1 decompPMat
103 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12
1047, 1decpmatval 19073 . . . . . . . . . . . 12 decompPMat coe1
105103, 104sylan 471 . . . . . . . . . . 11 decompPMat coe1
106105eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10 coe1 decompPMat
10798, 102, 106oveq123d 6306 . . . . . . . . 9 coe1 coe1 decompPMat Scalar decompPMat
10832, 94, 1073eqtrd 2512 . . . . . . . 8 decompPMat decompPMat Scalar decompPMat
109108oveq1d 6300 . . . . . . 7 decompPMat decompPMat Scalar decompPMat
11014ply1lmod 18104 . . . . . . . . . 10
11113, 110syl 16 . . . . . . . . 9
112111ad2antrr 725 . . . . . . . 8
113 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
114113ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
1155, 7, 1, 12, 42decpmatcl 19075 . . . . . . . . . 10 decompPMat
11643, 114, 56, 115syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 decompPMat
11796eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11 Scalar
118117ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 Scalar
119118fveq2d 5870 . . . . . . . . 9 Scalar
120116, 119eleqtrrd 2558 . . . . . . . 8 decompPMat Scalar
121 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
122121ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
1235, 7, 1, 12, 42decpmatcl 19075 . . . . . . . . . 10 decompPMat
12443, 122, 56, 123syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 decompPMat
125124, 119eleqtrrd 2558 . . . . . . . 8 decompPMat Scalar
126 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp mulGrp
127126rngmgp 17018 . . . . . . . . . . 11 mulGrp
12816, 127syl 16 . . . . . . . . . 10 mulGrp
129128ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 mulGrp
13021, 14, 2vr1cl 18069 . . . . . . . . . . 11
13113, 130syl 16 . . . . . . . . . 10
132131ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
133126, 2mgpbas 16961 . . . . . . . . . 10 mulGrp
134133, 20mulgnn0cl 15972 . . . . . . . . 9 mulGrp
135129, 56, 132, 134syl3anc 1228 . . . . . . . 8
136 eqid 2467 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
137 eqid 2467 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
138 eqid 2467 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
1392, 4, 136, 19, 137, 138lmodvsdir 17348 . . . . . . . 8 decompPMat Scalar decompPMat Scalar decompPMat Scalar decompPMat decompPMat decompPMat
140112, 120, 125, 135, 139syl13anc 1230 . . . . . . 7 decompPMat Scalar decompPMat decompPMat decompPMat
141109, 140eqtrd 2508 . . . . . 6 decompPMat decompPMat decompPMat
142141mpteq2dva 4533 . . . . 5 decompPMat decompPMat decompPMat
143142oveq2d 6301 . . . 4 g decompPMat g decompPMat decompPMat
144 eqid 2467 . . . . 5
145 rngcmn 17042 . . . . . . 7 CMnd
14616, 145syl 16 . . . . . 6 CMnd
147146adantr 465 . . . . 5 CMnd
148 nn0ex 10802 . . . . . 6
149148a1i 11 . . . . 5
150113anim2i 569 . . . . . . 7
151 df-3an 975 . . . . . . 7
152150, 151sylibr 212 . . . . . 6
1535, 7, 1, 19, 20, 21, 12, 14, 2pm2mpghmlem1 19121 . . . . . 6 decompPMat
154152, 153sylan 471 . . . . 5 decompPMat
155121anim2i 569 . . . . . . 7
156 df-3an 975 . . . . . . 7
157155, 156sylibr 212 . . . . . 6
1585, 7, 1, 19, 20, 21, 12, 14, 2pm2mpghmlem1 19121 . . . . . 6 decompPMat
159157, 158sylan 471 . . . . 5 decompPMat
160 eqidd 2468 . . . . 5 decompPMat decompPMat
161 eqidd 2468 . . . . 5 decompPMat decompPMat
1625, 7, 1, 19, 20, 21, 12, 14pm2mpghmlem2 19120 . . . . . 6 decompPMat finSupp
163152, 162syl 16 . . . . 5 decompPMat finSupp
1645, 7, 1, 19, 20, 21, 12, 14pm2mpghmlem2 19120 . . . . . 6 decompPMat finSupp
165157, 164syl 16 . . . . 5 decompPMat finSupp
1662, 144, 4, 147, 149, 154, 159, 160, 161, 163, 165gsummptfsadd 16755 . . . 4 g decompPMat decompPMat g decompPMat g decompPMat
167143, 166eqtrd 2508 . . 3 g decompPMat g decompPMat g decompPMat
168 simpll 753 . . . 4
169 simplr 754 . . . 4
1705, 7, 1, 19, 20, 21, 12, 14, 22pm2mpfval 19104 . . . 4 g decompPMat
171168, 169, 30, 170syl3anc 1228 . . 3 g decompPMat
1725, 7, 1, 19, 20, 21, 12, 14, 22pm2mpfval 19104 . . . . 5 g decompPMat
173168, 169, 99, 172syl3anc 1228 . . . 4 g decompPMat
1745, 7, 1, 19, 20, 21, 12, 14, 22pm2mpfval 19104 . . . . 5 g decompPMat
175168, 169, 103, 174syl3anc 1228 . . . 4 g decompPMat
176173, 175oveq12d 6303 . . 3 g decompPMat g decompPMat
177167, 171, 1763eqtr4d 2518 . 2
1781, 2, 3, 4, 11, 18, 23, 177isghmd 16090 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113   class class class wbr 4447   cmpt 4505  cfv 5588  (class class class)co 6285   cmpt2 6287   cof 6523  cfn 7517   finSupp cfsupp 7830  cn0 10796  cbs 14493   cplusg 14558  Scalarcsca 14561  cvsca 14562  c0g 14698   g cgsu 14699  cmnd 15729  cgrp 15730  .gcmg 15734   cghm 16078  CMndccmn 16613  mulGrpcmgp 16955  crg 17012  clmod 17324  var1cv1 18026  Poly1cpl1 18027  coe1cco1 18028   Mat cmat 18716   decompPMat cdecpmat 19070   pMatToMatPoly cpm2mp 19100 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-psr 17816  df-mvr 17817  df-mpl 17818  df-opsr 17820  df-psr1 18030  df-vr1 18031  df-ply1 18032  df-coe1 18033  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-mamu 18693  df-mat 18717  df-decpmat 19071  df-pm2mp 19101 This theorem is referenced by:  pm2mpgrpiso  19125  pm2mprhm  19129  pm2mp  19133
 Copyright terms: Public domain W3C validator