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Theorem pm2mp 19172
Description: The transformation of a sum of matrices having scaled monomials with the same power as entries into a sum of scaled monomials as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 12-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
monmat2matmon.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
monmat2matmon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
monmat2matmon.m1  |-  .*  =  ( .s `  Q )
monmat2matmon.e1  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
monmat2matmon.x  |-  X  =  (var1 `  A )
monmat2matmon.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
monmat2matmon.k  |-  K  =  ( Base `  A
)
monmat2matmon.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
monmat2matmon.i  |-  I  =  ( N pMatToMatPoly  R )
monmat2matmon.e2  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
monmat2matmon.y  |-  Y  =  (var1 `  R )
monmat2matmon.m2  |-  .x.  =  ( .s `  C )
monmat2matmon.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
Assertion
Ref Expression
pm2mp  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  -> 
( I `  ( C  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `  n ) ) ) ) ) )  =  ( Q  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( M `  n )  .*  (
n  .^  X )
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, E    n, I    n, K    n, M    n, N    R, n    T, n   
n, Y    .x. , n
Allowed substitution hints:    C( n)    P( n)    Q( n)    .^ ( n)    .* ( n)    X( n)

Proof of Theorem pm2mp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monmat2matmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
3 crngring 17058 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
43anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
5 monmat2matmon.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 monmat2matmon.c . . . . . 6  |-  C  =  ( N Mat  P )
75, 6pmatring 19040 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
8 ringcmn 17078 . . . . 5  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. CMnd
)
94, 7, 83syl 20 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  C  e. CMnd )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  ->  C  e. CMnd )
11 monmat2matmon.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
1211matring 18791 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
133, 12sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  A  e.  Ring )
14 monmat2matmon.q . . . . . 6  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
1514ply1ring 18136 . . . . 5  |-  ( A  e.  Ring  ->  Q  e. 
Ring )
16 ringmnd 17056 . . . . 5  |-  ( Q  e.  Ring  ->  Q  e. 
Mnd )
1713, 15, 163syl 20 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Q  e.  Mnd )
1817adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  ->  Q  e.  Mnd )
19 nn0ex 10811 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  ->  NN0  e.  _V )
21 monmat2matmon.m1 . . . . . . 7  |-  .*  =  ( .s `  Q )
22 monmat2matmon.e1 . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
23 monmat2matmon.x . . . . . . 7  |-  X  =  (var1 `  A )
24 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
25 monmat2matmon.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( N pMatToMatPoly  R )
265, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 14, 24, 25pm2mpghm 19163 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  I  e.  ( C  GrpHom  Q ) )
273, 26sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  I  e.  ( C  GrpHom  Q ) )
2827adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  ->  I  e.  ( C  GrpHom  Q ) )
29 ghmmhm 16126 . . . 4  |-  ( I  e.  ( C  GrpHom  Q )  ->  I  e.  ( C MndHom  Q ) )
3028, 29syl 16 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  ->  I  e.  ( C MndHom  Q ) )
314adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
3231adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring ) )
33 elmapi 7450 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  ->  M : NN0
--> K )
3433adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) )  ->  M : NN0 --> K )
3534adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  ->  M : NN0 --> K )
3635ffvelrnda 6031 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( M `  n )  e.  K
)
37 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
38 monmat2matmon.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  A
)
39 monmat2matmon.t . . . . 5  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
40 monmat2matmon.m2 . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  C )
41 monmat2matmon.e2 . . . . 5  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
42 monmat2matmon.y . . . . 5  |-  Y  =  (var1 `  R )
4311, 38, 39, 5, 6, 1, 40, 41, 42mat2pmatscmxcl 19087 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( ( M `  n )  e.  K  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  (
( n E Y )  .x.  ( T `
 ( M `  n ) ) )  e.  B )
4432, 36, 37, 43syl12anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `
 n ) ) )  e.  B )
45 fvex 5881 . . . . 5  |-  ( 0g
`  C )  e. 
_V
4645a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  -> 
( 0g `  C
)  e.  _V )
47 ovex 6319 . . . . 5  |-  ( ( n E Y ) 
.x.  ( T `  ( M `  n ) ) )  e.  _V
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `
 n ) ) )  e.  _V )
49 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  ->  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )
50 fvex 5881 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  A )  e. 
_V
51 fsuppmapnn0ub 12079 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  ( 0g `  A )  e.  _V )  -> 
( M finSupp  ( 0g `  A )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  ( M `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  -> 
( M finSupp  ( 0g `  A )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  ( M `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )
53 csbov12g 6328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN0  ->  [_ x  /  n ]_ ( ( n E Y ) 
.x.  ( T `  ( M `  n ) ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( n E Y )  .x.  [_ x  /  n ]_ ( T `
 ( M `  n ) ) ) )
54 csbov1g 6329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  NN0  ->  [_ x  /  n ]_ ( n E Y )  =  ( [_ x  /  n ]_ n E Y ) )
55 csbvarg 3853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  NN0  ->  [_ x  /  n ]_ n  =  x )
5655oveq1d 6309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( [_ x  /  n ]_ n E Y )  =  ( x E Y ) )
5754, 56eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  NN0  ->  [_ x  /  n ]_ ( n E Y )  =  ( x E Y ) )
58 csbfv2g 5908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  NN0  ->  [_ x  /  n ]_ ( T `
 ( M `  n ) )  =  ( T `  [_ x  /  n ]_ ( M `
 n ) ) )
59 csbfv2g 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  NN0  ->  [_ x  /  n ]_ ( M `
 n )  =  ( M `  [_ x  /  n ]_ n ) )
6055fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( M `
 [_ x  /  n ]_ n )  =  ( M `  x ) )
6159, 60eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  NN0  ->  [_ x  /  n ]_ ( M `
 n )  =  ( M `  x
) )
6261fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( T `
 [_ x  /  n ]_ ( M `  n
) )  =  ( T `  ( M `
 x ) ) )
6358, 62eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  NN0  ->  [_ x  /  n ]_ ( T `
 ( M `  n ) )  =  ( T `  ( M `  x )
) )
6457, 63oveq12d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( [_ x  /  n ]_ (
n E Y ) 
.x.  [_ x  /  n ]_ ( T `  ( M `  n )
) )  =  ( ( x E Y )  .x.  ( T `
 ( M `  x ) ) ) )
6553, 64eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN0  ->  [_ x  /  n ]_ ( ( n E Y ) 
.x.  ( T `  ( M `  n ) ) )  =  ( ( x E Y )  .x.  ( T `
 ( M `  x ) ) ) )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  [_ x  /  n ]_ ( ( n E Y ) 
.x.  ( T `  ( M `  n ) ) )  =  ( ( x E Y )  .x.  ( T `
 ( M `  x ) ) ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( M `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  [_ x  /  n ]_ ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `  n ) ) )  =  ( ( x E Y )  .x.  ( T `  ( M `
 x ) ) ) )
68 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M `  x )  =  ( 0g `  A )  ->  ( T `  ( M `  x ) )  =  ( T `  ( 0g `  A ) ) )
6968oveq2d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M `  x )  =  ( 0g `  A )  ->  (
( x E Y )  .x.  ( T `
 ( M `  x ) ) )  =  ( ( x E Y )  .x.  ( T `  ( 0g
`  A ) ) ) )
7039, 11, 38, 5, 6, 1mat2pmatghm 19077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T  e.  ( A  GrpHom  C ) )
713, 70sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  T  e.  ( A  GrpHom  C ) )
7271ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  T  e.  ( A  GrpHom  C ) )
73 ghmmhm 16126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  ( A  GrpHom  C )  ->  T  e.  ( A MndHom  C ) )
74 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  A
)
7574, 2mhm0 15827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  ( A MndHom  C
)  ->  ( T `  ( 0g `  A
) )  =  ( 0g `  C ) )
7672, 73, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( T `  ( 0g `  A ) )  =  ( 0g `  C
) )
7776oveq2d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( x E Y )  .x.  ( T `
 ( 0g `  A ) ) )  =  ( ( x E Y )  .x.  ( 0g `  C ) ) )
785ply1ring 18136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
793, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  Ring )
806matlmod 18777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  C  e.  LMod )
8179, 80sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  C  e.  LMod )
8281ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  C  e.  LMod )
8379adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  Ring )
84 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
8584ringmgp 17053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
8683, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(mulGrp `  P )  e.  Mnd )
8786ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
88 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
893adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  R  e.  Ring )
90 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
9142, 5, 90vr1cl 18105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e.  ( Base `  P
) )
9289, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  ( Base `  P ) )
9392ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  Y  e.  ( Base `  P
) )
9484, 90mgpbas 16996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
9594, 41mulgnn0cl 16007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (mulGrp `  P )  e.  Mnd  /\  x  e. 
NN0  /\  Y  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( x E Y )  e.  (
Base `  P )
)
9687, 88, 93, 95syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
x E Y )  e.  ( Base `  P
) )
975ply1crng 18084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)
986matsca2 18768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing )  ->  P  =  (Scalar `  C
) )
9997, 98sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  =  (Scalar `  C
) )
10099eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(Scalar `  C )  =  P )
101100ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (Scalar `  C )  =  P )
102101fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( Base `  (Scalar `  C
) )  =  (
Base `  P )
)
10396, 102eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
x E Y )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )
104 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
105 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
106104, 40, 105, 2lmodvs0 17394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
x E Y )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )  ->  ( ( x E Y )  .x.  ( 0g `  C ) )  =  ( 0g
`  C ) )
10782, 103, 106syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( x E Y )  .x.  ( 0g
`  C ) )  =  ( 0g `  C ) )
10877, 107eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( x E Y )  .x.  ( T `
 ( 0g `  A ) ) )  =  ( 0g `  C ) )
10969, 108sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( M `  x )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( ( x E Y )  .x.  ( T `  ( M `  x ) ) )  =  ( 0g `  C ) )
11067, 109eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( M `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  [_ x  /  n ]_ ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `  n ) ) )  =  ( 0g `  C ) )
111110ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( M `  x
)  =  ( 0g
`  A )  ->  [_ x  /  n ]_ ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `  n ) ) )  =  ( 0g `  C ) ) )
112111imim2d 52 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  /\  y  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( y  <  x  ->  ( M `  x
)  =  ( 0g
`  A ) )  ->  ( y  < 
x  ->  [_ x  /  n ]_ ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `
 n ) ) )  =  ( 0g
`  C ) ) ) )
113112ralimdva 2875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 )
)  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( M `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  [_ x  /  n ]_ ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `  n ) ) )  =  ( 0g `  C ) ) ) )
114113reximdva 2942 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  -> 
( E. y  e. 
NN0  A. x  e.  NN0  ( y  <  x  ->  ( M `  x
)  =  ( 0g
`  A ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  [_ x  /  n ]_ ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `  n ) ) )  =  ( 0g `  C ) ) ) )
11552, 114syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  ( K  ^m  NN0 ) )  -> 
( M finSupp  ( 0g `  A )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( y  < 
x  ->  [_ x  /  n ]_ ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `
 n ) ) )  =  ( 0g
`  C ) ) ) )
116115impr 619 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  ->  E. y  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
y  <  x  ->  [_ x  /  n ]_ ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `  n ) ) )  =  ( 0g `  C ) ) )
11746, 48, 116mptnn0fsupp 12081 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  -> 
( n  e.  NN0  |->  ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `  n ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  C ) )
1181, 2, 10, 18, 20, 30, 44, 117gsummptmhm 16813 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  -> 
( Q  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( I `  (
( n E Y )  .x.  ( T `
 ( M `  n ) ) ) ) ) )  =  ( I `  ( C  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `  n ) ) ) ) ) ) )
119 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
) )
1205, 6, 1, 21, 22, 23, 11, 38, 14, 25, 41, 42, 40, 39monmat2matmon 19171 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( ( M `  n )  e.  K  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  (
I `  ( (
n E Y ) 
.x.  ( T `  ( M `  n ) ) ) )  =  ( ( M `  n )  .*  (
n  .^  X )
) )
121119, 36, 37, 120syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( I `  ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `  n ) ) ) )  =  ( ( M `  n )  .*  ( n  .^  X ) ) )
122121mpteq2dva 4538 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  -> 
( n  e.  NN0  |->  ( I `  (
( n E Y )  .x.  ( T `
 ( M `  n ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( M `  n )  .*  ( n  .^  X ) ) ) )
123122oveq2d 6310 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  -> 
( Q  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( I `  (
( n E Y )  .x.  ( T `
 ( M `  n ) ) ) ) ) )  =  ( Q  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( M `  n )  .*  (
n  .^  X )
) ) ) )
124118, 123eqtr3d 2510 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  M finSupp  ( 0g `  A
) ) )  -> 
( I `  ( C  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( n E Y )  .x.  ( T `  ( M `  n ) ) ) ) ) )  =  ( Q  gsumg  ( n  e.  NN0  |->  ( ( M `  n )  .*  (
n  .^  X )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   [_csb 3440   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    ^m cmap 7430   Fincfn 7526   finSupp cfsupp 7839    < clt 9638   NN0cn0 10805   Basecbs 14502  Scalarcsca 14570   .scvsca 14571   0gc0g 14707    gsumg cgsu 14708   Mndcmnd 15772   MndHom cmhm 15817  .gcmg 15905    GrpHom cghm 16113  CMndccmn 16648  mulGrpcmgp 16990   Ringcrg 17047   CRingccrg 17048   LModclmod 17360  var1cv1 18062  Poly1cpl1 18063   Mat cmat 18755   matToPolyMat cmat2pmat 19051   pMatToMatPoly cpm2mp 19139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-ofr 6535  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-hom 14591  df-cco 14592  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-prds 14715  df-pws 14717  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-cring 17050  df-subrg 17275  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-sra 17666  df-rgmod 17667  df-assa 17808  df-ascl 17810  df-psr 17852  df-mvr 17853  df-mpl 17854  df-opsr 17856  df-psr1 18066  df-vr1 18067  df-ply1 18068  df-coe1 18069  df-dsmm 18609  df-frlm 18624  df-mamu 18732  df-mat 18756  df-mat2pmat 19054  df-decpmat 19110  df-pm2mp 19140
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  19220  cpmadumatpoly  19230
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