MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyval Structured version   Unicode version

Theorem plyval 22417
Description: Value of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyval  |-  ( S 
C_  CC  ->  (Poly `  S )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
Distinct variable group:    k, a, n, z, f, S

Proof of Theorem plyval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9574 . . 3  |-  CC  e.  _V
21elpw2 4611 . 2  |-  ( S  e.  ~P CC  <->  S  C_  CC )
3 uneq1 3651 . . . . . . 7  |-  ( x  =  S  ->  (
x  u.  { 0 } )  =  ( S  u.  { 0 } ) )
43oveq1d 6300 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
( x  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  =  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
54rexeqdv 3065 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  ( E. a  e.  (
( x  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  <->  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
65rexbidv 2973 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  ( E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( x  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  <->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
76abbidv 2603 . . 3  |-  ( x  =  S  ->  { f  |  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( x  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) }  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
8 df-ply 22412 . . 3  |- Poly  =  ( x  e.  ~P CC  |->  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( x  u. 
{ 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) } )
9 nn0ex 10802 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
10 ovex 6310 . . . 4  |-  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  e.  _V
119, 10ab2rexex 6776 . . 3  |-  { f  |  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) }  e.  _V
127, 8, 11fvmpt 5951 . 2  |-  ( S  e.  ~P CC  ->  (Poly `  S )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
132, 12sylbir 213 1  |-  ( S 
C_  CC  ->  (Poly `  S )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815    u. cun 3474    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    ^m cmap 7421   CCcc 9491   0cc0 9493    x. cmul 9498   NN0cn0 10796   ...cfz 11673   ^cexp 12135   sum_csu 13474  Polycply 22408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-nn 10538  df-n0 10797  df-ply 22412
This theorem is referenced by:  elply  22419  plyss  22423
  Copyright terms: Public domain W3C validator