MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyval Structured version   Unicode version

Theorem plyval 22716
Description: Value of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyval  |-  ( S 
C_  CC  ->  (Poly `  S )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
Distinct variable group:    k, a, n, z, f, S

Proof of Theorem plyval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9590 . . 3  |-  CC  e.  _V
21elpw2 4620 . 2  |-  ( S  e.  ~P CC  <->  S  C_  CC )
3 uneq1 3647 . . . . . . 7  |-  ( x  =  S  ->  (
x  u.  { 0 } )  =  ( S  u.  { 0 } ) )
43oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
( x  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  =  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
54rexeqdv 3061 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  ( E. a  e.  (
( x  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  <->  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
65rexbidv 2968 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  ( E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( x  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  <->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
76abbidv 2593 . . 3  |-  ( x  =  S  ->  { f  |  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( x  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) }  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
8 df-ply 22711 . . 3  |- Poly  =  ( x  e.  ~P CC  |->  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( x  u. 
{ 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) } )
9 nn0ex 10822 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
10 ovex 6324 . . . 4  |-  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  e.  _V
119, 10ab2rexex 6790 . . 3  |-  { f  |  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) }  e.  _V
127, 8, 11fvmpt 5956 . 2  |-  ( S  e.  ~P CC  ->  (Poly `  S )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
132, 12sylbir 213 1  |-  ( S 
C_  CC  ->  (Poly `  S )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   E.wrex 2808    u. cun 3469    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   CCcc 9507   0cc0 9509    x. cmul 9514   NN0cn0 10816   ...cfz 11697   ^cexp 12169   sum_csu 13520  Polycply 22707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-nn 10557  df-n0 10817  df-ply 22711
This theorem is referenced by:  elply  22718  plyss  22722
  Copyright terms: Public domain W3C validator