Theorem plyssc 22463

Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over CC. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyssc	|- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )

Proof of Theorem plyssc

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3796	. . 3 |- (/) C_ (Poly ` CC )
2		sseq1 3507	. . 3 |- ( (Poly ` S ) = (/) -> ( (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) <-> (/) C_ (Poly ` CC ) ) )
3	1, 2	mpbiri 233	. 2 |- ( (Poly ` S ) = (/) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
4		n0 3776	. . 3 |- ( (Poly ` S ) =/= (/) <-> E. f f e. (Poly ` S ) )
5		plybss 22457	. . . . 5 |- ( f e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
6		ssid 3505	. . . . 5 |- CC C_ CC
7		plyss 22462	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ CC C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
8	5, 6, 7	sylancl 662	. . . 4 |- ( f e. (Poly ` S ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
9	8	exlimiv 1707	. . 3 |- ( E. f f e. (Poly ` S ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
10	4, 9	sylbi 195	. 2 |- ( (Poly ` S ) =/= (/) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
11	3, 10	pm2.61ine 2754	1 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )

Syntax hints:   = wceq 1381   E.wex 1597   e. wcel 1802   =/= wne 2636   C_ wss 3458   (/)c0 3767   ` cfv 5574   CCcc 9488  Polycply 22447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-map 7420  df-nn 10538  df-n0 10797  df-ply 22451

This theorem is referenced by:  plyaddcl  22483  plymulcl  22484  plysubcl  22485  coeval  22486  coeeu  22488  dgrval  22491  coef3  22495  coeidlem  22500  coemulc  22517  coesub  22519  dgrmulc  22533  dgrsub  22534  dgrcolem1  22535  dgrcolem2  22536  dgrco  22537  coecj  22540  dvply2  22547  dvnply  22549  quotval  22553  quotlem  22561  quotcl2  22563  quotdgr  22564  plyrem  22566  facth  22567  fta1  22569  quotcan  22570  vieta1lem1  22571  vieta1  22573  plyexmo  22574  ftalem7  23217  dgrsub2  31052