Theorem plyssc 23166

Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over CC. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyssc	|- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )

Proof of Theorem plyssc

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3765	. . 3 |- (/) C_ (Poly ` CC )
2		sseq1 3455	. . 3 |- ( (Poly ` S ) = (/) -> ( (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) <-> (/) C_ (Poly ` CC ) ) )
3	1, 2	mpbiri 237	. 2 |- ( (Poly ` S ) = (/) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
4		n0 3743	. . 3 |- ( (Poly ` S ) =/= (/) <-> E. f f e. (Poly ` S ) )
5		plybss 23160	. . . . 5 |- ( f e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
6		ssid 3453	. . . . 5 |- CC C_ CC
7		plyss 23165	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ CC C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
8	5, 6, 7	sylancl 669	. . . 4 |- ( f e. (Poly ` S ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
9	8	exlimiv 1778	. . 3 |- ( E. f f e. (Poly ` S ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
10	4, 9	sylbi 199	. 2 |- ( (Poly ` S ) =/= (/) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
11	3, 10	pm2.61ine 2709	1 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )

Syntax hints:   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   =/= wne 2624   C_ wss 3406   (/)c0 3733   ` cfv 5585   CCcc 9542  Polycply 23150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-map 7479  df-nn 10617  df-n0 10877  df-ply 23154

This theorem is referenced by:  plyaddcl  23186  plymulcl  23187  plysubcl  23188  coeval  23189  coeeu  23191  dgrval  23194  coef3  23198  coeidlem  23203  coemulc  23221  coesub  23223  dgrmulc  23237  dgrsub  23238  dgrcolem1  23239  dgrcolem2  23240  dgrco  23241  coecj  23244  dvply2  23251  dvnply  23253  quotval  23257  quotlem  23265  quotcl2  23267  quotdgr  23268  plyrem  23270  facth  23271  fta1  23273  quotcan  23274  vieta1lem1  23275  vieta1  23277  plyexmo  23278  ftalem7  24017  dgrsub2  36006