Theorem plyssc 21794

Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over CC. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyssc	|- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )

Proof of Theorem plyssc

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3767	. . 3 |- (/) C_ (Poly ` CC )
2		sseq1 3478	. . 3 |- ( (Poly ` S ) = (/) -> ( (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) <-> (/) C_ (Poly ` CC ) ) )
3	1, 2	mpbiri 233	. 2 |- ( (Poly ` S ) = (/) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
4		n0 3747	. . 3 |- ( (Poly ` S ) =/= (/) <-> E. f f e. (Poly ` S ) )
5		plybss 21788	. . . . 5 |- ( f e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
6		ssid 3476	. . . . 5 |- CC C_ CC
7		plyss 21793	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ CC C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
8	5, 6, 7	sylancl 662	. . . 4 |- ( f e. (Poly ` S ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
9	8	exlimiv 1689	. . 3 |- ( E. f f e. (Poly ` S ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
10	4, 9	sylbi 195	. 2 |- ( (Poly ` S ) =/= (/) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
11	3, 10	pm2.61ine 2761	1 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )

Syntax hints:   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   =/= wne 2644   C_ wss 3429   (/)c0 3738   ` cfv 5519   CCcc 9384  Polycply 21778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-map 7319  df-nn 10427  df-n0 10684  df-ply 21782

This theorem is referenced by:  plyaddcl  21814  plymulcl  21815  plysubcl  21816  coeval  21817  coeeu  21819  dgrval  21822  coef3  21826  coeidlem  21831  coemulc  21848  coesub  21850  dgrmulc  21864  dgrsub  21865  dgrcolem1  21866  dgrcolem2  21867  dgrco  21868  coecj  21871  dvply2  21878  dvnply  21880  quotval  21884  quotlem  21892  quotcl2  21894  quotdgr  21895  plyrem  21897  facth  21898  fta1  21900  quotcan  21901  vieta1lem1  21902  vieta1  21904  plyexmo  21905  ftalem7  22542  dgrsub2  29632