MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyss Structured version   Unicode version

Theorem plyss 22888
Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyss  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  C_  (Poly `  T )
)

Proof of Theorem plyss
Dummy variables  k 
a  n  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  T  C_  CC )
2 cnex 9603 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3 ssexg 4540 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
41, 2, 3sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  T  e.  _V )
5 snex 4632 . . . . . . 7  |-  { 0 }  e.  _V
6 unexg 6583 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  _V  /\  { 0 }  e.  _V )  ->  ( T  u.  { 0 } )  e. 
_V )
74, 5, 6sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( T  u.  {
0 } )  e. 
_V )
8 unss1 3612 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  T  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  ( T  u.  { 0 } ) )
98adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( S  u.  {
0 } )  C_  ( T  u.  { 0 } ) )
10 mapss 7499 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  ( S  u.  { 0 } ) 
C_  ( T  u.  { 0 } ) )  ->  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
117, 9, 10syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
12 ssrexv 3504 . . . . 5  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  ->  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1311, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1413reximdv 2878 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1514ss2abdv 3512 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) }  C_  { f  |  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
16 sstr 3450 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  S  C_  CC )
17 plyval 22882 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  (Poly `  S )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
1816, 17syl 17 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  =  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
19 plyval 22882 . . 3  |-  ( T 
C_  CC  ->  (Poly `  T )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
2019adantl 464 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  T )  =  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
2115, 18, 203sstr4d 3485 1  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  C_  (Poly `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    u. cun 3412    C_ wss 3414   {csn 3972    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   CCcc 9520   0cc0 9522    x. cmul 9527   NN0cn0 10836   ...cfz 11726   ^cexp 12210   sum_csu 13657  Polycply 22873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-map 7459  df-nn 10577  df-n0 10837  df-ply 22877
This theorem is referenced by:  plyssc  22889  elqaa  23010  aacjcl  23015  aalioulem3  23022  itgoss  35476  cnsrplycl  35480
  Copyright terms: Public domain W3C validator