MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyss Structured version   Unicode version

Theorem plyss 21686
Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyss  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  C_  (Poly `  T )
)

Proof of Theorem plyss
Dummy variables  k 
a  n  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  T  C_  CC )
2 cnex 9382 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3 ssexg 4457 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
41, 2, 3sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  T  e.  _V )
5 snex 4552 . . . . . . 7  |-  { 0 }  e.  _V
6 unexg 6400 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  _V  /\  { 0 }  e.  _V )  ->  ( T  u.  { 0 } )  e. 
_V )
74, 5, 6sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( T  u.  {
0 } )  e. 
_V )
8 unss1 3544 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  T  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  ( T  u.  { 0 } ) )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( S  u.  {
0 } )  C_  ( T  u.  { 0 } ) )
10 mapss 7274 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  ( S  u.  { 0 } ) 
C_  ( T  u.  { 0 } ) )  ->  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
117, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
12 ssrexv 3436 . . . . 5  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  ->  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1413reximdv 2846 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1514ss2abdv 3444 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) }  C_  { f  |  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
16 sstr 3383 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  S  C_  CC )
17 plyval 21680 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  (Poly `  S )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  =  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
19 plyval 21680 . . 3  |-  ( T 
C_  CC  ->  (Poly `  T )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
2019adantl 466 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  T )  =  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
2115, 18, 203sstr4d 3418 1  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  C_  (Poly `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2735   _Vcvv 2991    u. cun 3345    C_ wss 3347   {csn 3896    e. cmpt 4369   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    ^m cmap 7233   CCcc 9299   0cc0 9301    x. cmul 9306   NN0cn0 10598   ...cfz 11456   ^cexp 11884   sum_csu 13182  Polycply 21671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-map 7235  df-nn 10342  df-n0 10599  df-ply 21675
This theorem is referenced by:  plyssc  21687  elqaa  21807  aacjcl  21812  aalioulem3  21819  itgoss  29543  cnsrplycl  29547
  Copyright terms: Public domain W3C validator