MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyss Structured version   Unicode version

Theorem plyss 22324
Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyss  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  C_  (Poly `  T )
)

Proof of Theorem plyss
Dummy variables  k 
a  n  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  T  C_  CC )
2 cnex 9562 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3 ssexg 4586 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
41, 2, 3sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  T  e.  _V )
5 snex 4681 . . . . . . 7  |-  { 0 }  e.  _V
6 unexg 6576 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  _V  /\  { 0 }  e.  _V )  ->  ( T  u.  { 0 } )  e. 
_V )
74, 5, 6sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( T  u.  {
0 } )  e. 
_V )
8 unss1 3666 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  T  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  ( T  u.  { 0 } ) )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( S  u.  {
0 } )  C_  ( T  u.  { 0 } ) )
10 mapss 7451 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  ( S  u.  { 0 } ) 
C_  ( T  u.  { 0 } ) )  ->  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
117, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
12 ssrexv 3558 . . . . 5  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  C_  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  ->  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1413reximdv 2930 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
1514ss2abdv 3566 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) }  C_  { f  |  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
16 sstr 3505 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  S  C_  CC )
17 plyval 22318 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  (Poly `  S )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  =  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
19 plyval 22318 . . 3  |-  ( T 
C_  CC  ->  (Poly `  T )  =  {
f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
2019adantl 466 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  T )  =  { f  |  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( T  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) f  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) } )
2115, 18, 203sstr4d 3540 1  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
(Poly `  S )  C_  (Poly `  T )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    u. cun 3467    C_ wss 3469   {csn 4020    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ^m cmap 7410   CCcc 9479   0cc0 9481    x. cmul 9486   NN0cn0 10784   ...cfz 11661   ^cexp 12122   sum_csu 13457  Polycply 22309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-map 7412  df-nn 10526  df-n0 10785  df-ply 22313
This theorem is referenced by:  plyssc  22325  elqaa  22445  aacjcl  22450  aalioulem3  22457  itgoss  30706  cnsrplycl  30710
  Copyright terms: Public domain W3C validator