Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyremlem Structured version   Unicode version

Theorem plyremlem 22676
 Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
plyrem.1
Assertion
Ref Expression
plyremlem Poly deg

Proof of Theorem plyremlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyrem.1 . . 3
2 ssid 3508 . . . . 5
3 ax-1cn 9553 . . . . 5
4 plyid 22583 . . . . 5 Poly
52, 3, 4mp2an 672 . . . 4 Poly
6 plyconst 22580 . . . . 5 Poly
72, 6mpan 670 . . . 4 Poly
8 plysubcl 22596 . . . 4 Poly Poly Poly
95, 7, 8sylancr 663 . . 3 Poly
101, 9syl5eqel 2535 . 2 Poly
11 negcl 9825 . . . . . . . . 9
12 addcom 9769 . . . . . . . . 9
1311, 12sylan 471 . . . . . . . 8
14 negsub 9872 . . . . . . . . 9
1514ancoms 453 . . . . . . . 8
1613, 15eqtrd 2484 . . . . . . 7
1716mpteq2dva 4523 . . . . . 6
18 cnex 9576 . . . . . . . 8
1918a1i 11 . . . . . . 7
20 negex 9823 . . . . . . . 8
2120a1i 11 . . . . . . 7
22 simpr 461 . . . . . . 7
23 fconstmpt 5033 . . . . . . . 8
2423a1i 11 . . . . . . 7
25 df-idp 22563 . . . . . . . . 9
26 mptresid 5318 . . . . . . . . 9
2725, 26eqtr4i 2475 . . . . . . . 8
2827a1i 11 . . . . . . 7
2919, 21, 22, 24, 28offval2 6541 . . . . . 6
30 simpl 457 . . . . . . 7
31 fconstmpt 5033 . . . . . . . 8
3231a1i 11 . . . . . . 7
3319, 22, 30, 28, 32offval2 6541 . . . . . 6
3417, 29, 333eqtr4d 2494 . . . . 5
3534, 1syl6eqr 2502 . . . 4
3635fveq2d 5860 . . 3 deg deg
37 plyconst 22580 . . . . 5 Poly
382, 11, 37sylancr 663 . . . 4 Poly
395a1i 11 . . . 4 Poly
40 0dgr 22619 . . . . . 6 deg
4111, 40syl 16 . . . . 5 deg
42 0lt1 10082 . . . . 5
4341, 42syl6eqbr 4474 . . . 4 deg
44 eqid 2443 . . . . 5 deg deg
45 dgrid 22637 . . . . . 6 deg
4645eqcomi 2456 . . . . 5 deg
4744, 46dgradd2 22641 . . . 4 Poly Poly deg deg
4838, 39, 43, 47syl3anc 1229 . . 3 deg
4936, 48eqtr3d 2486 . 2 deg
501, 33syl5eq 2496 . . . . . . . . . . 11
5150fveq1d 5858 . . . . . . . . . 10
5251adantr 465 . . . . . . . . 9
53 ovex 6309 . . . . . . . . . 10
54 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11
5554fvmpt2 5948 . . . . . . . . . 10
5622, 53, 55sylancl 662 . . . . . . . . 9
5752, 56eqtrd 2484 . . . . . . . 8
5857eqeq1d 2445 . . . . . . 7
59 subeq0 9850 . . . . . . . 8
6059ancoms 453 . . . . . . 7
6158, 60bitrd 253 . . . . . 6
6261pm5.32da 641 . . . . 5
63 plyf 22572 . . . . . 6 Poly
64 ffn 5721 . . . . . 6
65 fniniseg 5993 . . . . . 6
6610, 63, 64, 654syl 21 . . . . 5
67 eleq1a 2526 . . . . . 6
6867pm4.71rd 635 . . . . 5
6962, 66, 683bitr4d 285 . . . 4
70 elsn 4028 . . . 4
7169, 70syl6bbr 263 . . 3
7271eqrdv 2440 . 2
7310, 49, 723jca 1177 1 Poly deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095   wss 3461  csn 4014   class class class wbr 4437   cmpt 4495   cid 4780   cxp 4987  ccnv 4988   cres 4991  cima 4992   wfn 5573  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   cof 6523  cc 9493  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498   clt 9631   cmin 9810  cneg 9811  Polycply 22558  cidp 22559  degcdgr 22561 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-0p 22054  df-ply 22562  df-idp 22563  df-coe 22564  df-dgr 22565 This theorem is referenced by:  plyrem  22677  facth  22678  fta1lem  22679  vieta1lem1  22682  vieta1lem2  22683  taylply2  22739  ftalem7  23328
 Copyright terms: Public domain W3C validator