Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyrem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem plyrem 23270
 Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 14522). If a polynomial is divided by the linear factor , the remainder is equal to , the evaluation of the polynomial at (interpreted as a constant polynomial). This is part of Metamath 100 proof #89. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyrem.1
plyrem.2 quot
Assertion
Ref Expression
plyrem Poly

Proof of Theorem plyrem
StepHypRef Expression
1 plyssc 23166 . . . . . . . 8 Poly Poly
2 simpl 459 . . . . . . . 8 Poly Poly
31, 2sseldi 3432 . . . . . . 7 Poly Poly
4 plyrem.1 . . . . . . . . . 10
54plyremlem 23269 . . . . . . . . 9 Poly deg
65adantl 468 . . . . . . . 8 Poly Poly deg
76simp1d 1021 . . . . . . 7 Poly Poly
86simp2d 1022 . . . . . . . . 9 Poly deg
9 ax-1ne0 9613 . . . . . . . . . 10
109a1i 11 . . . . . . . . 9 Poly
118, 10eqnetrd 2693 . . . . . . . 8 Poly deg
12 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10 deg deg
13 dgr0 23228 . . . . . . . . . 10 deg
1412, 13syl6eq 2503 . . . . . . . . 9 deg
1514necon3i 2658 . . . . . . . 8 deg
1611, 15syl 17 . . . . . . 7 Poly
17 plyrem.2 . . . . . . . 8 quot
1817quotdgr 23268 . . . . . . 7 Poly Poly deg deg
193, 7, 16, 18syl3anc 1269 . . . . . 6 Poly deg deg
20 0lt1 10143 . . . . . . . 8
2120, 8syl5breqr 4442 . . . . . . 7 Poly deg
22 fveq2 5870 . . . . . . . . 9 deg deg
2322, 13syl6eq 2503 . . . . . . . 8 deg
2423breq1d 4415 . . . . . . 7 deg deg deg
2521, 24syl5ibrcom 226 . . . . . 6 Poly deg deg
26 pm2.62 411 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
2719, 25, 26sylc 62 . . . . 5 Poly deg deg
2827, 8breqtrd 4430 . . . 4 Poly deg
29 quotcl2 23267 . . . . . . . . . 10 Poly Poly quot Poly
303, 7, 16, 29syl3anc 1269 . . . . . . . . 9 Poly quot Poly
31 plymulcl 23187 . . . . . . . . 9 Poly quot Poly quot Poly
327, 30, 31syl2anc 667 . . . . . . . 8 Poly quot Poly
33 plysubcl 23188 . . . . . . . 8 Poly quot Poly quot Poly
343, 32, 33syl2anc 667 . . . . . . 7 Poly quot Poly
3517, 34syl5eqel 2535 . . . . . 6 Poly Poly
36 dgrcl 23199 . . . . . 6 Poly deg
3735, 36syl 17 . . . . 5 Poly deg
38 nn0lt10b 11005 . . . . 5 deg deg deg
3937, 38syl 17 . . . 4 Poly deg deg
4028, 39mpbid 214 . . 3 Poly deg
41 0dgrb 23212 . . . 4 Poly deg
4235, 41syl 17 . . 3 Poly deg
4340, 42mpbid 214 . 2 Poly
4443fveq1d 5872 . . . . 5 Poly
4517fveq1i 5871 . . . . . . 7 quot
46 plyf 23164 . . . . . . . . . . 11 Poly
4746adantr 467 . . . . . . . . . 10 Poly
48 ffn 5733 . . . . . . . . . 10
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 Poly
50 plyf 23164 . . . . . . . . . . . 12 Poly
517, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 Poly
52 ffn 5733 . . . . . . . . . . 11
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 Poly
54 plyf 23164 . . . . . . . . . . . 12 quot Poly quot
5530, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 Poly quot
56 ffn 5733 . . . . . . . . . . 11 quot quot
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 Poly quot
58 cnex 9625 . . . . . . . . . . 11
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 Poly
60 inidm 3643 . . . . . . . . . 10
6153, 57, 59, 59, 60offn 6547 . . . . . . . . 9 Poly quot
62 eqidd 2454 . . . . . . . . 9 Poly
636simp3d 1023 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
64 ssun1 3599 . . . . . . . . . . . . . . 15 quot
6563, 64syl6eqssr 3485 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly quot
66 snssg 4108 . . . . . . . . . . . . . . 15 quot quot
6766adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly quot quot
6865, 67mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13 Poly quot
69 ofmulrt 23247 . . . . . . . . . . . . . 14 quot quot quot
7059, 51, 55, 69syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13 Poly quot quot
7168, 70eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . 12 Poly quot
72 fniniseg 6008 . . . . . . . . . . . . 13 quot quot quot
7361, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Poly quot quot
7471, 73mpbid 214 . . . . . . . . . . 11 Poly quot
7574simprd 465 . . . . . . . . . 10 Poly quot
7675adantr 467 . . . . . . . . 9 Poly quot
7749, 61, 59, 59, 60, 62, 76ofval 6545 . . . . . . . 8 Poly quot
7877anabss3 833 . . . . . . 7 Poly quot
7945, 78syl5eq 2499 . . . . . 6 Poly
8046ffvelrnda 6027 . . . . . . 7 Poly
8180subid1d 9980 . . . . . 6 Poly
8279, 81eqtrd 2487 . . . . 5 Poly
83 fvex 5880 . . . . . . 7
8483fvconst2 6125 . . . . . 6
8584adantl 468 . . . . 5 Poly
8644, 82, 853eqtr3d 2495 . . . 4 Poly
8786sneqd 3982 . . 3 Poly
8887xpeq2d 4861 . 2 Poly
8943, 88eqtr4d 2490 1 Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624  cvv 3047   cun 3404   wss 3406  csn 3970   class class class wbr 4405   cxp 4835  ccnv 4836  cima 4840   wfn 5580  wf 5581  cfv 5585  (class class class)co 6295   cof 6534  cc 9542  cc0 9544  c1 9545   cmul 9549   clt 9680   cmin 9865  cn0 10876  c0p 22639  Polycply 23150  cidp 23151  degcdgr 23153   quot cquot 23255 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-0p 22640  df-ply 23154  df-idp 23155  df-coe 23156  df-dgr 23157  df-quot 23256 This theorem is referenced by:  facth  23271
 Copyright terms: Public domain W3C validator