Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyrem Unicode version

Theorem plyrem 19517
 Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 12595). If a polynomial is divided by the linear factor , the remainder is equal to , the evaluation of the polynomial at (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyrem.1
plyrem.2 quot
Assertion
Ref Expression
plyrem Poly

Proof of Theorem plyrem
StepHypRef Expression
1 plyssc 19414 . . . . . . . 8 Poly Poly
2 simpl 445 . . . . . . . 8 Poly Poly
31, 2sseldi 3101 . . . . . . 7 Poly Poly
4 plyrem.1 . . . . . . . . . 10
54plyremlem 19516 . . . . . . . . 9 Poly deg
65adantl 454 . . . . . . . 8 Poly Poly deg
76simp1d 972 . . . . . . 7 Poly Poly
86simp2d 973 . . . . . . . . 9 Poly deg
9 ax-1ne0 8686 . . . . . . . . . 10
109a1i 12 . . . . . . . . 9 Poly
118, 10eqnetrd 2430 . . . . . . . 8 Poly deg
12 fveq2 5377 . . . . . . . . . 10 deg deg
13 dgr0 19475 . . . . . . . . . 10 deg
1412, 13syl6eq 2301 . . . . . . . . 9 deg
1514necon3i 2451 . . . . . . . 8 deg
1611, 15syl 17 . . . . . . 7 Poly
17 plyrem.2 . . . . . . . 8 quot
1817quotdgr 19515 . . . . . . 7 Poly Poly deg deg
193, 7, 16, 18syl3anc 1187 . . . . . 6 Poly deg deg
20 0lt1 9176 . . . . . . . 8
2120, 8syl5breqr 3956 . . . . . . 7 Poly deg
22 fveq2 5377 . . . . . . . . 9 deg deg
2322, 13syl6eq 2301 . . . . . . . 8 deg
2423breq1d 3930 . . . . . . 7 deg deg deg
2521, 24syl5ibrcom 215 . . . . . 6 Poly deg deg
26 pm2.62 400 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
2719, 25, 26sylc 58 . . . . 5 Poly deg deg
2827, 8breqtrd 3944 . . . 4 Poly deg
29 quotcl2 19514 . . . . . . . . . 10 Poly Poly quot Poly
303, 7, 16, 29syl3anc 1187 . . . . . . . . 9 Poly quot Poly
31 plymulcl 19435 . . . . . . . . 9 Poly quot Poly quot Poly
327, 30, 31syl2anc 645 . . . . . . . 8 Poly quot Poly
33 plysubcl 19436 . . . . . . . 8 Poly quot Poly quot Poly
343, 32, 33syl2anc 645 . . . . . . 7 Poly quot Poly
3517, 34syl5eqel 2337 . . . . . 6 Poly Poly
36 dgrcl 19447 . . . . . 6 Poly deg
3735, 36syl 17 . . . . 5 Poly deg
38 nn0lt10b 9957 . . . . 5 deg deg deg
3937, 38syl 17 . . . 4 Poly deg deg
4028, 39mpbid 203 . . 3 Poly deg
41 0dgrb 19460 . . . 4 Poly deg
4235, 41syl 17 . . 3 Poly deg
4340, 42mpbid 203 . 2 Poly
4443fveq1d 5379 . . . . 5 Poly
4517fveq1i 5378 . . . . . . 7 quot
46 plyf 19412 . . . . . . . . . . 11 Poly
4746adantr 453 . . . . . . . . . 10 Poly
48 ffn 5246 . . . . . . . . . 10
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 Poly
50 plyf 19412 . . . . . . . . . . . 12 Poly
517, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 Poly
52 ffn 5246 . . . . . . . . . . 11
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 Poly
54 plyf 19412 . . . . . . . . . . . 12 quot Poly quot
5530, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 Poly quot
56 ffn 5246 . . . . . . . . . . 11 quot quot
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 Poly quot
58 cnex 8698 . . . . . . . . . . 11
5958a1i 12 . . . . . . . . . 10 Poly
60 inidm 3285 . . . . . . . . . 10
6153, 57, 59, 59, 60offn 5941 . . . . . . . . 9 Poly quot
62 eqidd 2254 . . . . . . . . 9 Poly
636simp3d 974 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
64 ssun1 3248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 quot
6564a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly quot
6663, 65eqsstr3d 3134 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly quot
67 snssg 3656 . . . . . . . . . . . . . . 15 quot quot
6867adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly quot quot
6966, 68mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13 Poly quot
70 ofmulrt 19494 . . . . . . . . . . . . . 14 quot quot quot
7159, 51, 55, 70syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13 Poly quot quot
7269, 71eleqtrrd 2330 . . . . . . . . . . . 12 Poly quot
73 fniniseg 5498 . . . . . . . . . . . . 13 quot quot quot
7461, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Poly quot quot
7572, 74mpbid 203 . . . . . . . . . . 11 Poly quot
7675simprd 451 . . . . . . . . . 10 Poly quot
7776adantr 453 . . . . . . . . 9 Poly quot
7849, 61, 59, 59, 60, 62, 77ofval 5939 . . . . . . . 8 Poly quot
7978anabss3 799 . . . . . . 7 Poly quot
8045, 79syl5eq 2297 . . . . . 6 Poly
81 ffvelrn 5515 . . . . . . . 8
8246, 81sylan 459 . . . . . . 7 Poly
8382subid1d 9026 . . . . . 6 Poly
8480, 83eqtrd 2285 . . . . 5 Poly
85 fvex 5391 . . . . . . 7
8685fvconst2 5581 . . . . . 6
8786adantl 454 . . . . 5 Poly
8844, 84, 873eqtr3d 2293 . . . 4 Poly
8988sneqd 3557 . . 3 Poly
9089xpeq2d 4620 . 2 Poly
9143, 90eqtr4d 2288 1 Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  cvv 2727   cun 3076   wss 3078  csn 3544   class class class wbr 3920   cxp 4578  ccnv 4579  cima 4583   wfn 4587  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710   cof 5928  cc 8615  cc0 8617  c1 8618   cmul 8622   clt 8747   cmin 8917  cn0 9844  c0p 18856  Polycply 19398  cidp 19399  degcdgr 19401   quot cquot 19502 This theorem is referenced by:  facth  19518 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-0p 18857  df-ply 19402  df-idp 19403  df-coe 19404  df-dgr 19405  df-quot 19503
 Copyright terms: Public domain W3C validator