Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  plymulx Structured version   Unicode version

Theorem plymulx 28161
 Description: Coefficients of a polynomial multiplyed by . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
plymulx Poly coeff coeff
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem plymulx
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9548 . . . . . . 7
2 1re 9594 . . . . . . 7
3 plyid 22357 . . . . . . 7 Poly
41, 2, 3mp2an 672 . . . . . 6 Poly
5 plymul02 28159 . . . . . . 7 Poly
65fveq2d 5869 . . . . . 6 Poly coeff coeff
74, 6ax-mp 5 . . . . 5 coeff coeff
8 fconstmpt 5042 . . . . . 6
9 coe0 22403 . . . . . 6 coeff
10 eqeq1 2471 . . . . . . . 8 coeff coeff
11 eqeq1 2471 . . . . . . . 8 coeff coeff coeff coeff
12 eqidd 2468 . . . . . . . 8
13 elnnne0 10808 . . . . . . . . . . 11
14 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . 12
1514anbi2i 694 . . . . . . . . . . 11
1613, 15bitr2i 250 . . . . . . . . . 10
17 nnm1nn0 10836 . . . . . . . . . 10
1816, 17sylbi 195 . . . . . . . . 9
19 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10
20 fconstmpt 5042 . . . . . . . . . . 11
219, 20eqtri 2496 . . . . . . . . . 10 coeff
22 c0ex 9589 . . . . . . . . . 10
2319, 21, 22fvmpt 5949 . . . . . . . . 9 coeff
2418, 23syl 16 . . . . . . . 8 coeff
2510, 11, 12, 24ifbothda 3974 . . . . . . 7 coeff
2625mpteq2ia 4529 . . . . . 6 coeff
278, 9, 263eqtr4ri 2507 . . . . 5 coeff coeff
287, 27eqtr4i 2499 . . . 4 coeff coeff
29 oveq1 6290 . . . . . 6
3029fveq2d 5869 . . . . 5 coeff coeff
31 simpl 457 . . . . . . . . 9
3231fveq2d 5869 . . . . . . . 8 coeff coeff
3332fveq1d 5867 . . . . . . 7 coeff coeff
3433ifeq2d 3958 . . . . . 6 coeff coeff
3534mpteq2dva 4533 . . . . 5 coeff coeff
3630, 35eqeq12d 2489 . . . 4 coeff coeff coeff coeff
3728, 36mpbiri 233 . . 3 coeff coeff
3837adantl 466 . 2 Poly coeff coeff
39 simpl 457 . . . 4 Poly Poly
40 elsncg 4050 . . . . . 6 Poly
4140notbid 294 . . . . 5 Poly
4241biimpar 485 . . . 4 Poly
4339, 42eldifd 3487 . . 3 Poly Poly
44 plymulx0 28160 . . 3 Poly coeff coeff
4543, 44syl 16 . 2 Poly coeff coeff
4638, 45pm2.61dan 789 1 Poly coeff coeff
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662   cdif 3473   wss 3476  cif 3939  csn 4027   cmpt 4505   cxp 4997  cfv 5587  (class class class)co 6283   cof 6521  cc 9489  cr 9490  cc0 9491  c1 9492   cmul 9496   cmin 9804  cn 10535  cn0 10794  c0p 21827  Polycply 22332  cidp 22333  coeffccoe 22334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-0p 21828  df-ply 22336  df-idp 22337  df-coe 22338  df-dgr 22339 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator