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Theorem plymullem 21659
Description: Lemma for plymul 21661. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plyadd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyadd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyadd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plymul.x  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
plymullem  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, B    x, F, y, z    S, k, x, y, z    x, A, y, z    x, G, y, z    ph, k, x, y, z    k, M, z    k, N, z
Allowed substitution hints:    A( k)    F( k)    G( k)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem plymullem
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 plyadd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
3 plyadd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 plyadd.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
5 plyadd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
6 plybss 21637 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
71, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
8 0cnd 9371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
98snssd 4013 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
107, 9unssd 3527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
11 cnex 9355 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
12 ssexg 4433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
14 nn0ex 10577 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
15 elmapg 7219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
175, 16mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
18 fss 5562 . . . . 5  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  A : NN0 --> CC )
1917, 10, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
20 plyadd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
21 elmapg 7219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2213, 14, 21sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2320, 22mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
24 fss 5562 . . . . 5  |-  ( ( B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  B : NN0 --> CC )
2523, 10, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
26 plyadd.a2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
27 plyadd.b2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
28 plyadd.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
29 plyadd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
301, 2, 3, 4, 19, 25, 26, 27, 28, 29plymullem1 21657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) ) )
313, 4nn0addcld 10632 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  NN0 )
32 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( S  u.  { 0 } )  =  ( S  u.  { 0 } )
33 plyadd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
347, 32, 33un0addcl 10605 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  y  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
35 fzfid 11787 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... n
)  e.  Fin )
36 elfznn0 11473 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
37 ffvelrn 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
3817, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
39 fznn0sub 11479 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 )
40 ffvelrn 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( n  -  k )  e. 
NN0 )  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4123, 39, 40syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4238, 41jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
( A `  k
)  e.  ( S  u.  { 0 } )  /\  ( B `
 ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  {
0 } ) ) )
43 plymul.x . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
447, 32, 43un0mulcl 10606 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  y  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  (
x  x.  y )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4544caovclg 6250 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4642, 45syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... n
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
47 ssun2 3515 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } )
48 c0ex 9372 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
4948snss 3994 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } ) )
5047, 49mpbir 209 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( S  u.  {
0 } )
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
5210, 34, 35, 46, 51fsumcllem 13201 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
5352adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
5410, 31, 53elplyd 21645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
5530, 54eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
56 plyun0 21640 . 2  |-  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) )  =  (Poly `  S )
5755, 56syl6eleq 2528 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    u. cun 3321    C_ wss 3323   {csn 3872    e. cmpt 4345   "cima 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313    ^m cmap 7206   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587   NN0cn0 10571   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429   ^cexp 11857   sum_csu 13155  Polycply 21627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-ply 21631
This theorem is referenced by:  plymul  21661
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