Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul0or Structured version   Unicode version

Theorem plymul0or 21879
 Description: Polynomial multiplication has no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plymul0or Poly Poly

Proof of Theorem plymul0or
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcl 21833 . . . . . . 7 Poly deg
2 dgrcl 21833 . . . . . . 7 Poly deg
3 nn0addcl 10725 . . . . . . 7 deg deg deg deg
41, 2, 3syl2an 477 . . . . . 6 Poly Poly deg deg
5 c0ex 9490 . . . . . . 7
65fvconst2 6041 . . . . . 6 deg deg deg deg
74, 6syl 16 . . . . 5 Poly Poly deg deg
8 fveq2 5798 . . . . . . . 8 coeff coeff
9 coe0 21855 . . . . . . . 8 coeff
108, 9syl6eq 2511 . . . . . . 7 coeff
1110fveq1d 5800 . . . . . 6 coeff deg deg deg deg
1211eqeq1d 2456 . . . . 5 coeff deg deg deg deg
137, 12syl5ibrcom 222 . . . 4 Poly Poly coeff deg deg
14 eqid 2454 . . . . . . 7 coeff coeff
15 eqid 2454 . . . . . . 7 coeff coeff
16 eqid 2454 . . . . . . 7 deg deg
17 eqid 2454 . . . . . . 7 deg deg
1814, 15, 16, 17coemulhi 21853 . . . . . 6 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
1918eqeq1d 2456 . . . . 5 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
2014coef3 21832 . . . . . . . 8 Poly coeff
2120adantr 465 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
221adantr 465 . . . . . . 7 Poly Poly deg
2321, 22ffvelrnd 5952 . . . . . 6 Poly Poly coeffdeg
2415coef3 21832 . . . . . . . 8 Poly coeff
2524adantl 466 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
262adantl 466 . . . . . . 7 Poly Poly deg
2725, 26ffvelrnd 5952 . . . . . 6 Poly Poly coeffdeg
2823, 27mul0ord 10096 . . . . 5 Poly Poly coeffdeg coeffdeg coeffdeg coeffdeg
2919, 28bitrd 253 . . . 4 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
3013, 29sylibd 214 . . 3 Poly Poly coeffdeg coeffdeg
3116, 14dgreq0 21864 . . . . 5 Poly coeffdeg
3231adantr 465 . . . 4 Poly Poly coeffdeg
3317, 15dgreq0 21864 . . . . 5 Poly coeffdeg
3433adantl 466 . . . 4 Poly Poly coeffdeg
3532, 34orbi12d 709 . . 3 Poly Poly coeffdeg coeffdeg
3630, 35sylibrd 234 . 2 Poly Poly
37 cnex 9473 . . . . . . 7
3837a1i 11 . . . . . 6 Poly Poly
39 plyf 21798 . . . . . . 7 Poly
4039adantl 466 . . . . . 6 Poly Poly
41 0cnd 9489 . . . . . 6 Poly Poly
42 mul02 9657 . . . . . . 7
4342adantl 466 . . . . . 6 Poly Poly
4438, 40, 41, 41, 43caofid2 6460 . . . . 5 Poly Poly
45 id 22 . . . . . . . 8
46 df-0p 21280 . . . . . . . 8
4745, 46syl6eq 2511 . . . . . . 7
4847oveq1d 6214 . . . . . 6
4948eqeq1d 2456 . . . . 5
5044, 49syl5ibrcom 222 . . . 4 Poly Poly
51 plyf 21798 . . . . . . 7 Poly
5251adantr 465 . . . . . 6 Poly Poly
53 mul01 9658 . . . . . . 7
5453adantl 466 . . . . . 6 Poly Poly
5538, 52, 41, 41, 54caofid1 6459 . . . . 5 Poly Poly
56 id 22 . . . . . . . 8
5756, 46syl6eq 2511 . . . . . . 7
5857oveq2d 6215 . . . . . 6
5958eqeq1d 2456 . . . . 5
6055, 59syl5ibrcom 222 . . . 4 Poly Poly
6150, 60jaod 380 . . 3 Poly Poly
6246eqeq2i 2472 . . 3
6361, 62syl6ibr 227 . 2 Poly Poly
6436, 63impbid 191 1 Poly Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  cvv 3076  csn 3984   cxp 4945  wf 5521  cfv 5525  (class class class)co 6199   cof 6427  cc 9390  cc0 9392   caddc 9395   cmul 9397  cn0 10689  c0p 21279  Polycply 21784  coeffccoe 21786  degcdgr 21787 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-0p 21280  df-ply 21788  df-coe 21790  df-dgr 21791 This theorem is referenced by:  plydiveu  21896  quotcan  21907  vieta1lem1  21908  vieta1lem2  21909
 Copyright terms: Public domain W3C validator