Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul0or Structured version   Unicode version

Theorem plymul0or 22969
 Description: Polynomial multiplication has no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plymul0or Poly Poly

Proof of Theorem plymul0or
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcl 22922 . . . . . . 7 Poly deg
2 dgrcl 22922 . . . . . . 7 Poly deg
3 nn0addcl 10872 . . . . . . 7 deg deg deg deg
41, 2, 3syl2an 475 . . . . . 6 Poly Poly deg deg
5 c0ex 9620 . . . . . . 7
65fvconst2 6107 . . . . . 6 deg deg deg deg
74, 6syl 17 . . . . 5 Poly Poly deg deg
8 fveq2 5849 . . . . . . . 8 coeff coeff
9 coe0 22945 . . . . . . . 8 coeff
108, 9syl6eq 2459 . . . . . . 7 coeff
1110fveq1d 5851 . . . . . 6 coeff deg deg deg deg
1211eqeq1d 2404 . . . . 5 coeff deg deg deg deg
137, 12syl5ibrcom 222 . . . 4 Poly Poly coeff deg deg
14 eqid 2402 . . . . . . 7 coeff coeff
15 eqid 2402 . . . . . . 7 coeff coeff
16 eqid 2402 . . . . . . 7 deg deg
17 eqid 2402 . . . . . . 7 deg deg
1814, 15, 16, 17coemulhi 22943 . . . . . 6 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
1918eqeq1d 2404 . . . . 5 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
2014coef3 22921 . . . . . . . 8 Poly coeff
2120adantr 463 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
221adantr 463 . . . . . . 7 Poly Poly deg
2321, 22ffvelrnd 6010 . . . . . 6 Poly Poly coeffdeg
2415coef3 22921 . . . . . . . 8 Poly coeff
2524adantl 464 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
262adantl 464 . . . . . . 7 Poly Poly deg
2725, 26ffvelrnd 6010 . . . . . 6 Poly Poly coeffdeg
2823, 27mul0ord 10240 . . . . 5 Poly Poly coeffdeg coeffdeg coeffdeg coeffdeg
2919, 28bitrd 253 . . . 4 Poly Poly coeff deg deg coeffdeg coeffdeg
3013, 29sylibd 214 . . 3 Poly Poly coeffdeg coeffdeg
3116, 14dgreq0 22954 . . . . 5 Poly coeffdeg
3231adantr 463 . . . 4 Poly Poly coeffdeg
3317, 15dgreq0 22954 . . . . 5 Poly coeffdeg
3433adantl 464 . . . 4 Poly Poly coeffdeg
3532, 34orbi12d 708 . . 3 Poly Poly coeffdeg coeffdeg
3630, 35sylibrd 234 . 2 Poly Poly
37 cnex 9603 . . . . . . 7
3837a1i 11 . . . . . 6 Poly Poly
39 plyf 22887 . . . . . . 7 Poly
4039adantl 464 . . . . . 6 Poly Poly
41 0cnd 9619 . . . . . 6 Poly Poly
42 mul02 9792 . . . . . . 7
4342adantl 464 . . . . . 6 Poly Poly
4438, 40, 41, 41, 43caofid2 6553 . . . . 5 Poly Poly
45 id 22 . . . . . . . 8
46 df-0p 22369 . . . . . . . 8
4745, 46syl6eq 2459 . . . . . . 7
4847oveq1d 6293 . . . . . 6
4948eqeq1d 2404 . . . . 5
5044, 49syl5ibrcom 222 . . . 4 Poly Poly
51 plyf 22887 . . . . . . 7 Poly
5251adantr 463 . . . . . 6 Poly Poly
53 mul01 9793 . . . . . . 7
5453adantl 464 . . . . . 6 Poly Poly
5538, 52, 41, 41, 54caofid1 6552 . . . . 5 Poly Poly
56 id 22 . . . . . . . 8
5756, 46syl6eq 2459 . . . . . . 7
5857oveq2d 6294 . . . . . 6
5958eqeq1d 2404 . . . . 5
6055, 59syl5ibrcom 222 . . . 4 Poly Poly
6150, 60jaod 378 . . 3 Poly Poly
6246eqeq2i 2420 . . 3
6361, 62syl6ibr 227 . 2 Poly Poly
6436, 63impbid 190 1 Poly Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 366   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3059  csn 3972   cxp 4821  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278   cof 6519  cc 9520  cc0 9522   caddc 9525   cmul 9527  cn0 10836  c0p 22368  Polycply 22873  coeffccoe 22875  degcdgr 22876 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-0p 22369  df-ply 22877  df-coe 22879  df-dgr 22880 This theorem is referenced by:  plydiveu  22986  quotcan  22997  vieta1lem1  22998  vieta1lem2  22999
 Copyright terms: Public domain W3C validator