Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  plymul02 Structured version   Unicode version

Theorem plymul02 27993
Description: Product of a polynomial with the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
plymul02  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( 0p  oF  x.  F )  =  0p )

Proof of Theorem plymul02
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 22323 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
21ffvelrnda 6012 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  x  e.  CC )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
32mul02d 9766 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  x  e.  CC )  ->  (
0  x.  ( F `
 x ) )  =  0 )
43mpteq2dva 4526 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( x  e.  CC  |->  ( 0  x.  ( F `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
5 c0ex 9579 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
65fconst 5762 . . . . . 6  |-  ( CC 
X.  { 0 } ) : CC --> { 0 }
7 df-0p 21805 . . . . . . 7  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
87feq1i 5714 . . . . . 6  |-  ( 0p : CC --> { 0 }  <->  ( CC  X.  { 0 } ) : CC --> { 0 } )
96, 8mpbir 209 . . . . 5  |-  0p : CC --> { 0 }
10 ffn 5722 . . . . 5  |-  ( 0p : CC --> { 0 }  ->  0p  Fn  CC )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  0p  Fn  CC
1211a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  0p  Fn  CC )
13 ffn 5722 . . . 4  |-  ( F : CC --> CC  ->  F  Fn  CC )
141, 13syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  Fn  CC )
15 cnex 9562 . . . 4  |-  CC  e.  _V
1615a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  CC  e.  _V )
17 inidm 3700 . . 3  |-  ( CC 
i^i  CC )  =  CC
18 fvconst 6070 . . . . 5  |-  ( ( 0p : CC --> { 0 }  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0p `  x )  =  0 )
199, 18mpan 670 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0p `  x
)  =  0 )
2019adantl 466 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  x  e.  CC )  ->  (
0p `  x
)  =  0 )
21 eqidd 2461 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  x  e.  CC )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
2212, 14, 16, 16, 17, 20, 21offval 6522 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( 0p  oF  x.  F )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 0  x.  ( F `
 x ) ) ) )
23 fconstmpt 5035 . . . 4  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  CC  |->  0 )
247, 23eqtri 2489 . . 3  |-  0p  =  ( x  e.  CC  |->  0 )
2524a1i 11 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  0p 
=  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
264, 22, 253eqtr4d 2511 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( 0p  oF  x.  F )  =  0p )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   {csn 4020    |-> cmpt 4498    X. cxp 4990    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513   CCcc 9479   0cc0 9481    x. cmul 9486   0pc0p 21804  Polycply 22309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-0p 21805  df-ply 22313
This theorem is referenced by:  plymulx  27995
  Copyright terms: Public domain W3C validator