MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul Structured version   Unicode version

Theorem plymul 23040
Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plymul.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
plymul  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    x, y, F    x, S, y    x, G, y    ph, x, y

Proof of Theorem plymul
Dummy variables  k  m  n  z  a 
b  j  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 elply2 23018 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. m  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
32simprbi 465 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
5 plyadd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
6 elply2 23018 . . . 4  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
76simprbi 465 . . 3  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
85, 7syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
9 reeanv 3003 . . 3  |-  ( E. m  e.  NN0  E. n  e.  NN0  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  <-> 
( E. m  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
10 reeanv 3003 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) E. b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  <->  ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
11 simp1l 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ph )
1211, 1syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
1311, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
1511, 14sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )
)  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
16 simp1rl 1070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
17 simp1rr 1071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
18 simp2l 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )
19 simp2r 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) )
20 simp3ll 1076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
21 simp3rl 1078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
22 simp3lr 1077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
23 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
z ^ k )  =  ( w ^
k ) )
2423oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( a `
 k )  x.  ( w ^ k
) ) )
2524sumeq2sdv 13748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( w ^ k ) ) )
26 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
a `  k )  =  ( a `  j ) )
27 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
w ^ k )  =  ( w ^
j ) )
2826, 27oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( a `  k
)  x.  ( w ^ k ) )  =  ( ( a `
 j )  x.  ( w ^ j
) ) )
2928cbvsumv 13740 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( w ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) )
3025, 29syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
3130cbvmptv 4518 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
3222, 31syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  F  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) ) )
33 simp3rr 1079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
3423oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( b `
 k )  x.  ( w ^ k
) ) )
3534sumeq2sdv 13748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( w ^ k ) ) )
36 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
b `  k )  =  ( b `  j ) )
3736, 27oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( b `  k
)  x.  ( w ^ k ) )  =  ( ( b `
 j )  x.  ( w ^ j
) ) )
3837cbvsumv 13740 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( w ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) )
3935, 38syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
4039cbvmptv 4518 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( b `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) )
4133, 40syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  G  =  ( w  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  j
)  x.  ( w ^ j ) ) ) )
42 plymul.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
4311, 42sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )
)  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
4412, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43plymullem 23038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )  /\  (
( ( a "
( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )  /\  (
( b " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
45443expia 1207 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 ) )  /\  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  /\  b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( F  oF  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4645rexlimdvva 2931 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e. 
NN0 ) )  -> 
( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  ( ( b "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( F  oF  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4710, 46syl5bir 221 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN0  /\  n  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
4847rexlimdvva 2931 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m  e. 
NN0  E. n  e.  NN0  ( E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
499, 48syl5bir 221 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  /\  E. n  e.  NN0  E. b  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( b
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( b `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G )  e.  (Poly `  S )
) )
504, 8, 49mp2and 683 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   E.wrex 2783    u. cun 3440    C_ wss 3442   {csn 4002    |-> cmpt 4484   "cima 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543    ^m cmap 7480   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   NN0cn0 10869   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   ^cexp 12269   sum_csu 13730  Polycply 23006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-ply 23010
This theorem is referenced by:  plysub  23041  plymulcl  23043  plyco  23063  plydivlem2  23115  plydivlem4  23117  plydiveu  23119  plymulx0  29224  mpaaeu  35715  rngunsnply  35738
  Copyright terms: Public domain W3C validator