Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul Structured version   Unicode version

Theorem plymul 23040
 Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plymul.4
Assertion
Ref Expression
plymul Poly
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem plymul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3 Poly
2 elply2 23018 . . . 4 Poly
32simprbi 465 . . 3 Poly
41, 3syl 17 . 2
5 plyadd.2 . . 3 Poly
6 elply2 23018 . . . 4 Poly
76simprbi 465 . . 3 Poly
85, 7syl 17 . 2
9 reeanv 3003 . . 3
10 reeanv 3003 . . . . 5
11 simp1l 1029 . . . . . . . . 9
1211, 1syl 17 . . . . . . . 8 Poly
1311, 5syl 17 . . . . . . . 8 Poly
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9
1511, 14sylan 473 . . . . . . . 8
16 simp1rl 1070 . . . . . . . 8
17 simp1rr 1071 . . . . . . . 8
18 simp2l 1031 . . . . . . . 8
19 simp2r 1032 . . . . . . . 8
20 simp3ll 1076 . . . . . . . 8
21 simp3rl 1078 . . . . . . . 8
22 simp3lr 1077 . . . . . . . . 9
23 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . 13
2423oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12
2524sumeq2sdv 13748 . . . . . . . . . . 11
26 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13
27 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12
2928cbvsumv 13740 . . . . . . . . . . 11
3025, 29syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10
3130cbvmptv 4518 . . . . . . . . 9
3222, 31syl6eq 2486 . . . . . . . 8
33 simp3rr 1079 . . . . . . . . 9
3423oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12
3534sumeq2sdv 13748 . . . . . . . . . . 11
36 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13
3736, 27oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12
3837cbvsumv 13740 . . . . . . . . . . 11
3935, 38syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10
4039cbvmptv 4518 . . . . . . . . 9
4133, 40syl6eq 2486 . . . . . . . 8
42 plymul.4 . . . . . . . . 9
4311, 42sylan 473 . . . . . . . 8
4412, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43plymullem 23038 . . . . . . 7 Poly
45443expia 1207 . . . . . 6 Poly
4645rexlimdvva 2931 . . . . 5 Poly
4710, 46syl5bir 221 . . . 4 Poly
4847rexlimdvva 2931 . . 3 Poly
499, 48syl5bir 221 . 2 Poly
504, 8, 49mp2and 683 1 Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wrex 2783   cun 3440   wss 3442  csn 4002   cmpt 4484  cima 4857  cfv 5601  (class class class)co 6305   cof 6543   cmap 7480  cc 9536  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541   cmul 9543  cn0 10869  cuz 11159  cfz 11782  cexp 12269  csu 13730  Polycply 23006 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-ply 23010 This theorem is referenced by:  plysub  23041  plymulcl  23043  plyco  23063  plydivlem2  23115  plydivlem4  23117  plydiveu  23119  plymulx0  29224  mpaaeu  35715  rngunsnply  35738
 Copyright terms: Public domain W3C validator