MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyf Structured version   Unicode version

Theorem plyf 21551
Description: The polynomial is a function on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyf  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )

Proof of Theorem plyf
Dummy variables  k 
a  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 21548 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )
21simprbi 461 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
3 fzfid 11779 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... n
)  e.  Fin )
4 plybss 21547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
5 0cnd 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  0  e.  CC )
65snssd 4006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  { 0 }  C_  CC )
74, 6unssd 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( S  u.  { 0 } ) 
C_  CC )
87ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
98adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )
10 simplrr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
11 cnex 9351 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
12 ssexg 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
138, 11, 12sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
14 nn0ex 10573 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
15 elmapg 7215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1613, 14, 15sylancl 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1710, 16mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
18 elfznn0 11468 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
19 ffvelrn 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
a `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
2017, 18, 19syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( a `  k )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
219, 20sseldd 3345 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( a `  k )  e.  CC )
22 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
23 expcl 11867 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
2422, 18, 23syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z ^
k )  e.  CC )
2521, 24mulcld 9394 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
263, 25fsumcl 13194 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  z  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) )  e.  CC )
27 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( a `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
2826, 27fmptd 5855 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) : CC --> CC )
29 feq1 5530 . . . 4  |-  ( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  ->  ( F : CC --> CC  <->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) : CC --> CC ) )
3028, 29syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  F : CC
--> CC ) )
3130rexlimdvva 2838 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  ->  F : CC
--> CC ) )
322, 31mpd 15 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    u. cun 3314    C_ wss 3316   {csn 3865    e. cmpt 4338   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ^m cmap 7202   CCcc 9268   0cc0 9270    x. cmul 9275   NN0cn0 10567   ...cfz 11424   ^cexp 11849   sum_csu 13147  Polycply 21537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-ply 21541
This theorem is referenced by:  plysub  21572  plyco  21594  0dgrb  21599  coe0  21608  coesub  21609  dgrsub  21624  dgrcolem1  21625  dgrcolem2  21626  dgrco  21627  plymul0or  21632  plyreres  21634  dvply2g  21636  dvnply2  21638  plycpn  21640  plydivlem3  21646  plydivlem4  21647  plydiveu  21649  plyremlem  21655  plyrem  21656  facth  21657  fta1lem  21658  fta1  21659  quotcan  21660  vieta1lem1  21661  vieta1lem2  21662  vieta1  21663  plyexmo  21664  elaa  21667  elqaalem3  21672  aannenlem1  21679  aalioulem2  21684  aalioulem3  21685  aalioulem4  21686  taylthlem2  21724  ftalem2  22296  ftalem3  22297  ftalem4  22298  ftalem5  22299  ftalem7  22301  basellem4  22306  basellem5  22307  plymul02  26795  plymulx0  26796  signsplypnf  26799  signsply0  26800  mpaaeu  29352  rngunsnply  29375
  Copyright terms: Public domain W3C validator