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Theorem plyeq0lem 20082
Description: Lemma for plyeq0 20083. If  A is the coefficient function for a nonzero polynomial such that  P ( z )  =  sum_ k  e.  NN0 A ( k )  x.  z ^
k  =  0 for every  z  e.  CC and  A ( M ) is the nonzero leading coefficient, then the function  F ( z )  =  P ( z )  /  z ^ M is a sum of powers of  1  /  z, and so the limit of this function as  z 
~~>  +oo is the constant term,  A ( M ). But  F ( z )  =  0 everywhere, so this limit is also equal to zero so that  A ( M )  =  0, a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyeq0.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
plyeq0.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyeq0.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyeq0.4  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyeq0.5  |-  ( ph  ->  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
plyeq0.6  |-  M  =  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )
plyeq0.7  |-  ( ph  ->  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
plyeq0lem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    z, k, A    k, M    k, N, z    ph, k, z    S, k, z
Allowed substitution hint:    M( z)

Proof of Theorem plyeq0lem
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 fzfid 11267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
52a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  1  e.  ZZ )
6 plyeq0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
7 plyeq0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
8 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
109snssd 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
117, 10unssd 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
12 cnex 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  CC  e.  _V
13 ssexg 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
1411, 12, 13sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
15 nn0ex 10183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  e.  _V
16 elmapg 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1714, 15, 16sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
186, 17mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
19 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  A : NN0 --> CC )
2018, 11, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
21 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
22 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
2320, 21, 22syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
2423adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
2524abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  ( abs `  ( A `  k ) )  e.  RR )
2625recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  ( abs `  ( A `  k ) )  e.  CC )
27 divcnv 12588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) )  ~~>  0 )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) )  ~~>  0 )
29 nnex 9962 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  e.  _V
3029mptex 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) )  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  e.  _V )
32 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( abs `  ( A `  k )
)  /  n )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  /  m
) )
33 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  /  n
) )
34 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  /  m )  e. 
_V
3532, 33, 34fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) ) `  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  /  m
) )
3635adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) ) `  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  /  m
) )
37 nndivre 9991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( A `  k )
)  e.  RR  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  m )  e.  RR )
3825, 37sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  /  m )  e.  RR )
3936, 38eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) ) `  m )  e.  RR )
40 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
n ^ ( k  -  M ) )  =  ( m ^
( k  -  M
) ) )
4140oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )
42 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) )
43 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) )  e. 
_V
4441, 42, 43fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )
4544adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )
4623ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( A `
 k )  e.  CC )
4746abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( A `  k
) )  e.  RR )
48 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
4948adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
50 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
51 cnvimass 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  C_  dom  A
52 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  ->  dom  A  = 
NN0 )
5318, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  dom  A  =  NN0 )
5451, 53syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) 
C_  NN0 )
55 plyeq0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  M  =  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )
56 nn0ssz 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN0  C_  ZZ
5754, 56syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) 
C_  ZZ )
58 plyeq0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) )  =/=  (/) )
59 plyeq0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6059nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
6154sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  -> 
z  e.  NN0 )
62 plyeq0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
63 plyco0 20064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
6459, 20, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
) )
6562, 64mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
67 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  ->  A  Fn  NN0 )
6818, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
69 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  Fn  NN0  ->  ( z  e.  ( `' A " ( S  \  {
0 } ) )  <-> 
( z  e.  NN0  /\  ( A `  z
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  <->  ( z  e.  NN0  /\  ( A `
 z )  e.  ( S  \  {
0 } ) ) ) )
7170simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  -> 
( A `  z
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) )
72 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A `  z )  e.  ( S  \  { 0 } )  ->  ( A `  z )  =/=  0
)
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  -> 
( A `  z
)  =/=  0 )
74 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  z  ->  ( A `  k )  =  ( A `  z ) )
7574neeq1d 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  z  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  <->  ( A `  z )  =/=  0 ) )
76 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  z  ->  (
k  <_  N  <->  z  <_  N ) )
7775, 76imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  z  ->  (
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( ( A `  z
)  =/=  0  -> 
z  <_  N )
) )
7877rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  ->  (
( A `  z
)  =/=  0  -> 
z  <_  N )
) )
7961, 66, 73, 78syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  -> 
z  <_  N )
8079ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  N )
81 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  N  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  N ) )
8281ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  N  ->  ( A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  x 
<-> 
A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  N ) )
8382rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  RR  /\  A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  N )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  x )
8460, 80, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  x )
85 suprzcl 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) 
C_  ZZ  /\  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  x )  ->  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )
8657, 58, 84, 85syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )
8755, 86syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )
8854, 87sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
8988nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
90 zsubcl 10275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  -  M
)  e.  ZZ )
9150, 89, 90syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
k  -  M )  e.  ZZ )
9291ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  -  M )  e.  ZZ )
9349, 92rpexpcld 11501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ ( k  -  M ) )  e.  RR+ )
9493rpred 10604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ ( k  -  M ) )  e.  RR )
9547, 94remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) )  e.  RR )
9645, 95eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  e.  RR )
97 nnrecre 9992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
9897adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
9924absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  0  <_  ( abs `  ( A `  k )
) )
10099adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_ 
( abs `  ( A `  k )
) )
101 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
103 nnge1 9982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  1  <_  m )
104103adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  1  <_  m )
105 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
10792zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  -  M )  e.  RR )
108 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  k  < 
M )
10950adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
110109ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
11189ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
112 zltp1le 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  <  M  <->  ( k  +  1 )  <_  M ) )
113110, 111, 112syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  <  M  <->  ( k  +  1 )  <_  M ) )
114108, 113mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  <_  M )
11521adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
116115nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
117116ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
11888adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  NN0 )
119118nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  RR )
120119ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
121117, 106, 120leaddsub2d 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  <_  M  <->  1  <_  ( M  -  k ) ) )
122114, 121mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  1  <_ 
( M  -  k
) )
123116recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
124123ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
125119recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  CC )
126125ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
127124, 126negsubdi2d 9383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  -u (
k  -  M )  =  ( M  -  k ) )
128122, 127breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  1  <_  -u ( k  -  M
) )
129106, 107, 128lenegcon2d 9565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  -  M )  <_  -u 1 )
130 znegcl 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
1312, 130ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  ZZ
132 eluz 10455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  -  M
)  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  M ) )  <->  ( k  -  M )  <_  -u 1
) )
13392, 131, 132sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u
1  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  M
) )  <->  ( k  -  M )  <_  -u 1
) )
134129, 133mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  M ) ) )
135102, 104, 134leexp2ad 11510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ ( k  -  M ) )  <_ 
( m ^ -u 1
) )
136 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
137136adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
138 expn1 11346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m ^ -u 1
)  =  ( 1  /  m ) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ -u 1 )  =  ( 1  /  m ) )
140135, 139breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ ( k  -  M ) )  <_ 
( 1  /  m
) )
14194, 98, 47, 100, 140lemul2ad 9907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
14226adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( A `  k
) )  e.  CC )
143 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
144143adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
145142, 137, 144divrecd 9749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  /  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
14636, 145eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) ) `  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
1  /  m ) ) )
147141, 45, 1463brtr4d 4202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  /  n ) ) `
 m ) )
14893rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_ 
( m ^ (
k  -  M ) ) )
14947, 94, 100, 148mulge0d 9559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) ) )
150149, 45breqtrrd 4198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
) )
1511, 5, 28, 31, 39, 96, 147, 150climsqz2 12390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  0 )
15229mptex 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) )  e.  _V
153152a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  e.  _V )
15440oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ (
k  -  M ) ) ) )
155 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( n ^ (
k  -  M ) ) ) )
156 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A `  k )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) )  e. 
_V
157154, 155, 156fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) ) )
158157ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) ) )
15920adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A : NN0
--> CC )
160159, 21, 22syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
161136ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  m  e.  CC )
162143ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  m  =/=  0 )
16389adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
16450, 163, 90syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
k  -  M )  e.  ZZ )
165161, 162, 164expclzd 11483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m ^ ( k  -  M ) )  e.  CC )
166160, 165mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) )  e.  CC )
167158, 166eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  e.  CC )
168167an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  e.  CC )
169168adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  e.  CC )
17094recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ ( k  -  M ) )  e.  CC )
17146, 170absmuld 12211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( abs `  ( m ^ (
k  -  M ) ) ) ) )
17294, 148absidd 12180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( m ^ (
k  -  M ) ) )  =  ( m ^ ( k  -  M ) ) )
173172oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( abs `  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) ) )
174171, 173eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) ) )
175157adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ (
k  -  M ) ) ) )
176175fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( n ^ (
k  -  M ) ) ) ) `  m ) )  =  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) ) ) )
177174, 176, 453eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  =  ( abs `  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
) ) )
1781, 5, 153, 31, 169, 177climabs0 12334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  0 ) )
179151, 178mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  0 )
180116adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  k  e.  RR )
181 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  k  <  M )
182180, 181ltned 9165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  k  =/=  M )
183 elsn 3789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { M }  <->  k  =  M )
184183necon3bbii 2598 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  { M } 
<->  k  =/=  M )
185182, 184sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  -.  k  e.  { M } )
186 iffalse 3706 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  { M }  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 )  =  0 )
187185, 186syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 )  =  0 )
188179, 187breqtrrd 4198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
189 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
190189ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  ->  n  e.  CC )
191 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
192191ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  ->  n  =/=  0 )
19391ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( k  -  M
)  e.  ZZ )
194190, 192, 193expclzd 11483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( n ^ (
k  -  M ) )  e.  CC )
195194mul02d 9220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( 0  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) )  =  0 )
196 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( A `  k
)  =  0 )
197196oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) )  =  ( 0  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) )
198196ifeq1d 3713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  { M } ,  0 ,  0 ) )
199 ifid 3731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( k  e.  { M } ,  0 , 
0 )  =  0
200198, 199syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 )  =  0 )
201195, 197, 2003eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) )  =  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
20223adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
203202ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
204203mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  1 )  =  ( A `  k ) )
205 nn0ssre 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  NN0  C_  RR
20654, 205syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) 
C_  RR )
207206ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  C_  RR )
20858ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  =/=  (/) )
20984ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  x )
21021ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  e.  NN0 )
211 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
21218, 21, 211syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
213212anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
( A `  k
)  e.  ( S  u.  { 0 } )  /\  ( A `
 k )  =/=  0 ) )
214 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A `  k )  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  \  { 0 } )  <->  ( ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  ( A `  k )  =/=  0 ) )
215213, 214sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( A `  k )  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  \  { 0 } ) )
216 difun2 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S  u.  { 0 } )  \  {
0 } )  =  ( S  \  {
0 } )
217215, 216syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  \  {
0 } ) )
218 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  Fn  NN0  ->  ( k  e.  ( `' A " ( S  \  {
0 } ) )  <-> 
( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) ) ) )
21968, 218syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  <->  ( k  e.  NN0  /\  ( A `
 k )  e.  ( S  \  {
0 } ) ) ) )
220219ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
k  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  <->  ( k  e.  NN0  /\  ( A `
 k )  e.  ( S  \  {
0 } ) ) ) )
221210, 217, 220mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) )
222 suprub 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( `' A " ( S  \  {
0 } ) ) 
C_  RR  /\  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  x )  /\  k  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  -> 
k  <_  sup (
( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) ,  RR ,  <  ) )
223207, 208, 209, 221, 222syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  <_  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  ) )
224223, 55syl6breqr 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  <_  M )
225224adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  ( A `  k )  =/=  0
)  ->  k  <_  M )
226225adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  <_  M )
227 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  M  <_  k )
228116ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  e.  RR )
229119ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  M  e.  RR )
230228, 229letri3d 9171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
k  =  M  <->  ( k  <_  M  /\  M  <_ 
k ) ) )
231226, 227, 230mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  =  M )
232231oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
k  -  M )  =  ( M  -  M ) )
233125ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  M  e.  CC )
234233subidd 9355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( M  -  M )  =  0 )
235232, 234eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
k  -  M )  =  0 )
236235oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
n ^ ( k  -  M ) )  =  ( n ^
0 ) )
237189ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  n  e.  CC )
238237exp0d 11472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
n ^ 0 )  =  1 )
239236, 238eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
n ^ ( k  -  M ) )  =  1 )
240239oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  1 ) )
241231, 183sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  e.  { M } )
242 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  { M }  ->  if ( k  e. 
{ M } , 
( A `  k
) ,  0 )  =  ( A `  k ) )
243241, 242syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 )  =  ( A `  k ) )
244204, 240, 2433eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) )  =  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
245201, 244pm2.61dane 2645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) )  =  if ( k  e. 
{ M } , 
( A `  k
) ,  0 ) )
246245mpteq2dva 4255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) ) )
247 fconstmpt 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( NN 
X.  { if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) } )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 ) )
248246, 247syl6eqr 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( NN 
X.  { if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) } ) )
249 ifcl 3735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( k  e. 
{ M } , 
( A `  k
) ,  0 )  e.  CC )
250202, 8, 249sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 )  e.  CC )
2511eqimss2i 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
252251, 29climconst2 12297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( k  e. 
{ M } , 
( A `  k
) ,  0 )  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) } )  ~~>  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
253250, 2, 252sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  ( NN  X.  { if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) } )  ~~>  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
254248, 253eqbrtrd 4192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
255188, 254, 116, 119ltlecasei 9137 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
256 snex 4365 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  e.  _V
25729, 256xpex 4949 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  e.  _V
258257a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  {
0 } )  e. 
_V )
259168anasss 629 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 0 ... N
)  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  e.  CC )
260 plyeq0.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
261260fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 p `  m )  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  m ) )
262261adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p `  m )  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) `  m ) )
263136adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
264 0pval 19516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  CC  ->  (
0 p `  m
)  =  0 )
265263, 264syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p `  m )  =  0 )
266 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  m  ->  (
z ^ k )  =  ( m ^
k ) )
267266oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  m  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ k
) ) )
268267sumeq2sdv 12453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  m  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( m ^ k ) ) )
269 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
270 sumex 12436 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ k
) )  e.  _V
271268, 269, 270fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
m ^ k ) ) )
272263, 271syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
m ^ k ) ) )
273262, 265, 2723eqtr3d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
m ^ k ) ) )
274273oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0  /  ( m ^ M ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
m ^ k ) )  /  ( m ^ M ) ) )
275 expcl 11354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( m ^ M
)  e.  CC )
276136, 88, 275syl2anr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ M )  e.  CC )
277143adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
278263, 277, 163expne0d 11484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ M )  =/=  0 )
279276, 278div0d 9745 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0  /  ( m ^ M ) )  =  0 )
280 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 ... N )  e. 
Fin )
281 expcl 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( m ^ k
)  e.  CC )
282263, 21, 281syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m ^ k )  e.  CC )
283160, 282mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( m ^ k ) )  e.  CC )
284280, 276, 283, 278fsumdivc 12524 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( m ^ k ) )  /  ( m ^ M ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ k
) )  /  (
m ^ M ) ) )
285274, 279, 2843eqtr3d 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ k
) )  /  (
m ^ M ) ) )
286 fvconst2g 5904 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { 0 } ) `
 m )  =  0 )
2879, 286sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { 0 } ) `  m
)  =  0 )
288163adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  ZZ )
28950adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
290161, 162, 288, 289expsubd 11489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m ^ ( k  -  M ) )  =  ( ( m ^ k )  / 
( m ^ M
) ) )
291290oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( ( m ^
k )  /  (
m ^ M ) ) ) )
292276adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m ^ M )  e.  CC )
293278adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m ^ M )  =/=  0 )
294160, 282, 292, 293divassd 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
m ^ k ) )  /  ( m ^ M ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( ( m ^
k )  /  (
m ^ M ) ) ) )
295291, 158, 2943eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( m ^ k ) )  /  ( m ^ M ) ) )
296295sumeq2dv 12452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ k
) )  /  (
m ^ M ) ) )
297285, 287, 2963eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { 0 } ) `  m
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) ) `
 m ) )
2981, 3, 4, 255, 258, 259, 297climfsum 12554 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  {
0 } )  ~~>  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
299 suprleub 9928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( `' A " ( S  \  {
0 } ) ) 
C_  RR  /\  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  x )  /\  N  e.  RR )  ->  ( sup (
( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) ,  RR ,  <  )  <_  N  <->  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  N )
)
300206, 58, 84, 60, 299syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  <_  N  <->  A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  N ) )
30180, 300mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  <_  N
)
30255, 301syl5eqbr 4205 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
303 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
30488, 303syl6eleq 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
30559nn0zd 10329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
306 elfz5 11007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  M  <_  N ) )
307304, 305, 306syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  <-> 
M  <_  N )
)
308302, 307mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
309308snssd 3903 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { M }  C_  ( 0 ... N
) )
31020, 88ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  e.  CC )
311 elsni 3798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
312311fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { M }  ->  ( A `  k
)  =  ( A `
 M ) )
313312eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { M }  ->  ( ( A `  k )  e.  CC  <->  ( A `  M )  e.  CC ) )
314310, 313syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  { M }  ->  ( A `
 k )  e.  CC ) )
315314ralrimiv 2748 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  { M }  ( A `  k )  e.  CC )
3164olcd 383 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... N )  C_  ( ZZ>=
`  0 )  \/  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
)
317 sumss2 12475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { M }  C_  ( 0 ... N
)  /\  A. k  e.  { M }  ( A `  k )  e.  CC )  /\  (
( 0 ... N
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... N )  e. 
Fin ) )  ->  sum_ k  e.  { M }  ( A `  k )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 ) )
318309, 315, 316, 317syl21anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M }  ( A `  k )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 ) )
319 ltso 9112 . . . . . . . . 9  |-  <  Or  RR
320319supex 7424 . . . . . . . 8  |-  sup (
( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
32155, 320eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  M  e. 
_V
322 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( A `  k )  =  ( A `  M ) )
323322sumsn 12489 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  _V  /\  ( A `  M )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { M }  ( A `  k )  =  ( A `  M ) )
324321, 310, 323sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M }  ( A `  k )  =  ( A `  M ) )
325318, 324eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) if ( k  e. 
{ M } , 
( A `  k
) ,  0 )  =  ( A `  M ) )
326298, 325breqtrd 4196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  {
0 } )  ~~>  ( A `
 M ) )
327251, 29climconst2 12297 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
0 } )  ~~>  0 )
3288, 2, 327mp2an 654 . . . 4  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  ~~>  0
329 climuni 12301 . . . 4  |-  ( ( ( NN  X.  {
0 } )  ~~>  ( A `
 M )  /\  ( NN  X.  { 0 } )  ~~>  0 )  ->  ( A `  M )  =  0 )
330326, 328, 329sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  =  0 )
331 fvex 5701 . . . 4  |-  ( A `
 M )  e. 
_V
332331elsnc 3797 . . 3  |-  ( ( A `  M )  e.  { 0 }  <-> 
( A `  M
)  =  0 )
333330, 332sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  e.  { 0 } )
334 elpreima 5809 . . . . . 6  |-  ( A  Fn  NN0  ->  ( M  e.  ( `' A " ( S  \  {
0 } ) )  <-> 
( M  e.  NN0  /\  ( A `  M
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) ) ) )
33568, 334syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ( A `
 M )  e.  ( S  \  {
0 } ) ) ) )
33687, 335mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN0  /\  ( A `  M
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) ) )
337336simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) )
338337eldifbd 3293 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( A `  M )  e.  {
0 } )
339333, 338pm2.65i 167 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> cli 12233   sum_csu 12434   0 pc0p 19514
This theorem is referenced by:  plyeq0  20083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-0p 19515
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