MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyeq0lem Structured version   Unicode version

Theorem plyeq0lem 21658
Description: Lemma for plyeq0 21659. If  A is the coefficient function for a nonzero polynomial such that  P ( z )  =  sum_ k  e.  NN0 A ( k )  x.  z ^
k  =  0 for every  z  e.  CC and  A ( M ) is the nonzero leading coefficient, then the function  F ( z )  =  P ( z )  /  z ^ M is a sum of powers of  1  /  z, and so the limit of this function as  z 
~~> +oo is the constant term,  A ( M ). But  F ( z )  =  0 everywhere, so this limit is also equal to zero so that  A ( M )  =  0, a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyeq0.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
plyeq0.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyeq0.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyeq0.4  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyeq0.5  |-  ( ph  ->  0p  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
plyeq0.6  |-  M  =  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )
plyeq0.7  |-  ( ph  ->  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
plyeq0lem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    z, k, A    k, M    k, N, z    ph, k, z    S, k, z
Allowed substitution hint:    M( z)

Proof of Theorem plyeq0lem
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10888 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 fzfid 11787 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
4 1zzd 10669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  1  e.  ZZ )
5 plyeq0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
6 plyeq0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
7 0cn 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
98snssd 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
106, 9unssd 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
11 cnex 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  CC  e.  _V
12 ssexg 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
14 nn0ex 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  e.  _V
15 elmapg 7219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
175, 16mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
18 fss 5562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  A : NN0 --> CC )
1917, 10, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
20 elfznn0 11473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
21 ffvelrn 5836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
2219, 20, 21syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
2423abscld 12914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  ( abs `  ( A `  k ) )  e.  RR )
2524recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  ( abs `  ( A `  k ) )  e.  CC )
26 divcnv 13308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) )  ~~>  0 )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) )  ~~>  0 )
28 nnex 10320 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  e.  _V
2928mptex 5943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) )  e.  _V
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  e.  _V )
31 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( abs `  ( A `  k )
)  /  n )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  /  m
) )
32 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  /  n
) )
33 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  /  m )  e. 
_V
3431, 32, 33fvmpt 5769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) ) `  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  /  m
) )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) ) `  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  /  m
) )
36 nndivre 10349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( A `  k )
)  e.  RR  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  m )  e.  RR )
3724, 36sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  /  m )  e.  RR )
3835, 37eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) ) `  m )  e.  RR )
39 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
n ^ ( k  -  M ) )  =  ( m ^
( k  -  M
) ) )
4039oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )
41 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) )
42 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) )  e. 
_V
4340, 41, 42fvmpt 5769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )
4522ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( A `
 k )  e.  CC )
4645abscld 12914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( A `  k
) )  e.  RR )
47 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
49 elfzelz 11445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
50 cnvimass 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  C_  dom  A
51 fdm 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  ->  dom  A  = 
NN0 )
5217, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  dom  A  =  NN0 )
5350, 52syl5sseq 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) 
C_  NN0 )
54 plyeq0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  M  =  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )
55 nn0ssz 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN0  C_  ZZ
5653, 55syl6ss 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) 
C_  ZZ )
57 plyeq0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) )  =/=  (/) )
58 plyeq0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
5958nn0red 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
6053sselda 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  -> 
z  e.  NN0 )
61 plyeq0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
62 plyco0 21640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
6358, 19, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
) )
6461, 63mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
66 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  ->  A  Fn  NN0 )
6717, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
68 elpreima 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  Fn  NN0  ->  ( z  e.  ( `' A " ( S  \  {
0 } ) )  <-> 
( z  e.  NN0  /\  ( A `  z
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  <->  ( z  e.  NN0  /\  ( A `
 z )  e.  ( S  \  {
0 } ) ) ) )
7069simplbda 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  -> 
( A `  z
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) )
71 eldifsni 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A `  z )  e.  ( S  \  { 0 } )  ->  ( A `  z )  =/=  0
)
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  -> 
( A `  z
)  =/=  0 )
73 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  z  ->  ( A `  k )  =  ( A `  z ) )
7473neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  z  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  <->  ( A `  z )  =/=  0 ) )
75 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  z  ->  (
k  <_  N  <->  z  <_  N ) )
7674, 75imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  z  ->  (
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( ( A `  z
)  =/=  0  -> 
z  <_  N )
) )
7776rspcv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  ->  (
( A `  z
)  =/=  0  -> 
z  <_  N )
) )
7860, 65, 72, 77syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  -> 
z  <_  N )
7978ralrimiva 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  N )
80 breq2 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  N  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  N ) )
8180ralbidv 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  N  ->  ( A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  x 
<-> 
A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  N ) )
8281rspcev 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  RR  /\  A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  N )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  x )
8359, 79, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  x )
84 suprzcl 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) 
C_  ZZ  /\  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  x )  ->  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )
8556, 57, 83, 84syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )
8654, 85syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )
8753, 86sseldd 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
8887nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
89 zsubcl 10679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  -  M
)  e.  ZZ )
9049, 88, 89syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
k  -  M )  e.  ZZ )
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  -  M )  e.  ZZ )
9248, 91rpexpcld 12023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ ( k  -  M ) )  e.  RR+ )
9392rpred 11019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ ( k  -  M ) )  e.  RR )
9446, 93remulcld 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) )  e.  RR )
9544, 94eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  e.  RR )
96 nnrecre 10350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
9796adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
9823absge0d 12922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  0  <_  ( abs `  ( A `  k )
) )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_ 
( abs `  ( A `  k )
) )
100 nnre 10321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
102 nnge1 10340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  1  <_  m )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  1  <_  m )
104 1red 9393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
10591zred 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  -  M )  e.  RR )
106 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  k  < 
M )
10749adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
108107ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
10988ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
110 zltp1le 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  <  M  <->  ( k  +  1 )  <_  M ) )
111108, 109, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  <  M  <->  ( k  +  1 )  <_  M ) )
112106, 111mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  <_  M )
11320adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
114113nn0red 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
115114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
11687adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  NN0 )
117116nn0red 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  RR )
118117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
119115, 104, 118leaddsub2d 9933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  <_  M  <->  1  <_  ( M  -  k ) ) )
120112, 119mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  1  <_ 
( M  -  k
) )
121114recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
122121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
123117recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  CC )
124123ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
125122, 124negsubdi2d 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  -u (
k  -  M )  =  ( M  -  k ) )
126120, 125breqtrrd 4313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  1  <_  -u ( k  -  M
) )
127104, 105, 126lenegcon2d 9914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  -  M )  <_  -u 1 )
128 neg1z 10673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  ZZ
129 eluz 10866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  -  M
)  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  M ) )  <->  ( k  -  M )  <_  -u 1
) )
13091, 128, 129sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( -u
1  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  M
) )  <->  ( k  -  M )  <_  -u 1
) )
131127, 130mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( k  -  M ) ) )
132101, 103, 131leexp2ad 12032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ ( k  -  M ) )  <_ 
( m ^ -u 1
) )
133 nncn 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
134133adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
135 expn1 11867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m ^ -u 1
)  =  ( 1  /  m ) )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ -u 1 )  =  ( 1  /  m ) )
137132, 136breqtrd 4311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ ( k  -  M ) )  <_ 
( 1  /  m
) )
13893, 97, 46, 99, 137lemul2ad 10265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
13925adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( A `  k
) )  e.  CC )
140 nnne0 10346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
141140adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
142139, 134, 141divrecd 10102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  /  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
14335, 142eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  /  n ) ) `  m )  =  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
1  /  m ) ) )
144138, 44, 1433brtr4d 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  /  n ) ) `
 m ) )
14592rpge0d 11023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_ 
( m ^ (
k  -  M ) ) )
14646, 93, 99, 145mulge0d 9908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) ) )
147146, 44breqtrrd 4313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
) )
1481, 4, 27, 30, 38, 95, 144, 147climsqz2 13111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  0 )
14928mptex 5943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) )  e.  _V
150149a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  e.  _V )
15139oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ (
k  -  M ) ) ) )
152 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( n ^ (
k  -  M ) ) ) )
153 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A `  k )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) )  e. 
_V
154151, 152, 153fvmpt 5769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) ) )
155154ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( m ^
( k  -  M
) ) ) )
15619adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A : NN0
--> CC )
157156, 20, 21syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
158133ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  m  e.  CC )
159140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  m  =/=  0 )
16088adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
16149, 160, 89syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
k  -  M )  e.  ZZ )
162158, 159, 161expclzd 12005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m ^ ( k  -  M ) )  e.  CC )
163157, 162mulcld 9398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) )  e.  CC )
164155, 163eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  e.  CC )
165164an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  e.  CC )
166165adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  e.  CC )
16793recnd 9404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ ( k  -  M ) )  e.  CC )
16845, 167absmuld 12932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( abs `  ( m ^ (
k  -  M ) ) ) ) )
16993, 145absidd 12901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( m ^ (
k  -  M ) ) )  =  ( m ^ ( k  -  M ) ) )
170169oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( abs `  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) ) )
171168, 170eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  (
m ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) ) )
172154adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ (
k  -  M ) ) ) )
173172fveq2d 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( n ^ (
k  -  M ) ) ) ) `  m ) )  =  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) ) ) )
174171, 173, 443eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  <  M
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m )  =  ( abs `  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
) ) )
1751, 4, 150, 30, 166, 174climabs0 13055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  0 ) )
176148, 175mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  0 )
177114adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  k  e.  RR )
178 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  k  <  M )
179177, 178ltned 9502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  k  =/=  M )
180 elsn 3886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { M }  <->  k  =  M )
181180necon3bbii 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  { M } 
<->  k  =/=  M )
182179, 181sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  -.  k  e.  { M } )
183 iffalse 3794 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  { M }  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 )  =  0 )
184182, 183syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 )  =  0 )
185176, 184breqtrrd 4313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  <  M )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
186 nncn 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
187186ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  ->  n  e.  CC )
188 nnne0 10346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
189188ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  ->  n  =/=  0 )
19090ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( k  -  M
)  e.  ZZ )
191187, 189, 190expclzd 12005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( n ^ (
k  -  M ) )  e.  CC )
192191mul02d 9559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( 0  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) )  =  0 )
193 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( A `  k
)  =  0 )
194193oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) )  =  ( 0  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) )
195193ifeq1d 3802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  { M } ,  0 ,  0 ) )
196 ifid 3821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( k  e.  { M } ,  0 , 
0 )  =  0
197195, 196syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 )  =  0 )
198192, 194, 1973eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =  0 )  -> 
( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) )  =  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
19922adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
200199ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
201200mulid1d 9395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  1 )  =  ( A `  k ) )
202 nn0ssre 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  NN0  C_  RR
20353, 202syl6ss 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) 
C_  RR )
204203ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  C_  RR )
20557ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  =/=  (/) )
20683ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  x )
20720ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  e.  NN0 )
208 ffvelrn 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
20917, 20, 208syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
210209anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
( A `  k
)  e.  ( S  u.  { 0 } )  /\  ( A `
 k )  =/=  0 ) )
211 eldifsn 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A `  k )  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  \  { 0 } )  <->  ( ( A `  k )  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  ( A `  k )  =/=  0 ) )
212210, 211sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( A `  k )  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  \  { 0 } ) )
213 difun2 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S  u.  { 0 } )  \  {
0 } )  =  ( S  \  {
0 } )
214212, 213syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( A `  k )  e.  ( S  \  {
0 } ) )
215 elpreima 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  Fn  NN0  ->  ( k  e.  ( `' A " ( S  \  {
0 } ) )  <-> 
( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) ) ) )
21667, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  <->  ( k  e.  NN0  /\  ( A `
 k )  e.  ( S  \  {
0 } ) ) ) )
217216ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
k  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  <->  ( k  e.  NN0  /\  ( A `
 k )  e.  ( S  \  {
0 } ) ) ) )
218207, 214, 217mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) )
219 suprub 10283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( `' A " ( S  \  {
0 } ) ) 
C_  RR  /\  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  x )  /\  k  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) )  -> 
k  <_  sup (
( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) ,  RR ,  <  ) )
220204, 205, 206, 218, 219syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  <_  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  ) )
221220, 54syl6breqr 4327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  <_  M )
222221adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  ( A `  k )  =/=  0
)  ->  k  <_  M )
223222adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  <_  M )
224 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  M  <_  k )
225114ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  e.  RR )
226117ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  M  e.  RR )
227225, 226letri3d 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
k  =  M  <->  ( k  <_  M  /\  M  <_ 
k ) ) )
228223, 224, 227mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  =  M )
229228oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
k  -  M )  =  ( M  -  M ) )
230123ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  M  e.  CC )
231230subidd 9699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  ( M  -  M )  =  0 )
232229, 231eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
k  -  M )  =  0 )
233232oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
n ^ ( k  -  M ) )  =  ( n ^
0 ) )
234186ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  n  e.  CC )
235234exp0d 11994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
n ^ 0 )  =  1 )
236233, 235eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
n ^ ( k  -  M ) )  =  1 )
237236oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  1 ) )
238228, 180sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  k  e.  { M } )
239 iftrue 3792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  { M }  ->  if ( k  e. 
{ M } , 
( A `  k
) ,  0 )  =  ( A `  k ) )
240238, 239syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 )  =  ( A `  k ) )
241201, 237, 2403eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) )  =  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
242198, 241pm2.61dane 2684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  /\  M  <_  k
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) )  =  if ( k  e. 
{ M } , 
( A `  k
) ,  0 ) )
243242mpteq2dva 4373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) ) )
244 fconstmpt 4877 . . . . . . . . 9  |-  ( NN 
X.  { if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) } )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 ) )
245243, 244syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( NN 
X.  { if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) } ) )
246 ifcl 3826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( k  e. 
{ M } , 
( A `  k
) ,  0 )  e.  CC )
247199, 7, 246sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 )  e.  CC )
248 1z 10668 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
2491eqimss2i 3406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
250249, 28climconst2 13018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( k  e. 
{ M } , 
( A `  k
) ,  0 )  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) } )  ~~>  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
251247, 248, 250sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  ( NN  X.  { if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) } )  ~~>  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
252245, 251eqbrtrd 4307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  /\  M  <_  k )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
253185, 252, 114, 117ltlecasei 9474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( n ^ ( k  -  M ) ) ) )  ~~>  if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
254 snex 4528 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  e.  _V
25528, 254xpex 6503 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  e.  _V
256255a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  {
0 } )  e. 
_V )
257165anasss 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 0 ... N
)  /\  m  e.  NN ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  e.  CC )
258 plyeq0.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0p  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
259258fveq1d 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0p `  m )  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  m ) )
260259adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p `  m )  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) `  m ) )
261133adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
262 0pval 21129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  CC  ->  (
0p `  m
)  =  0 )
263261, 262syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p `  m )  =  0 )
264 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  m  ->  (
z ^ k )  =  ( m ^
k ) )
265264oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  m  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ k
) ) )
266265sumeq2sdv 13173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  m  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( m ^ k ) ) )
267 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
268 sumex 13157 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ k
) )  e.  _V
269266, 267, 268fvmpt 5769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
m ^ k ) ) )
270261, 269syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
m ^ k ) ) )
271260, 263, 2703eqtr3d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
m ^ k ) ) )
272271oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0  /  ( m ^ M ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
m ^ k ) )  /  ( m ^ M ) ) )
273 expcl 11875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( m ^ M
)  e.  CC )
274133, 87, 273syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ M )  e.  CC )
275140adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
276261, 275, 160expne0d 12006 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ M )  =/=  0 )
277274, 276div0d 10098 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0  /  ( m ^ M ) )  =  0 )
278 fzfid 11787 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 ... N )  e. 
Fin )
279 expcl 11875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( m ^ k
)  e.  CC )
280261, 20, 279syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m ^ k )  e.  CC )
281157, 280mulcld 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( m ^ k ) )  e.  CC )
282278, 274, 281, 276fsumdivc 13245 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( m ^ k ) )  /  ( m ^ M ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ k
) )  /  (
m ^ M ) ) )
283272, 277, 2823eqtr3d 2478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ k
) )  /  (
m ^ M ) ) )
284 fvconst2g 5926 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { 0 } ) `
 m )  =  0 )
2858, 284sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { 0 } ) `  m
)  =  0 )
286160adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  ZZ )
28749adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
288158, 159, 286, 287expsubd 12011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m ^ ( k  -  M ) )  =  ( ( m ^ k )  / 
( m ^ M
) ) )
289288oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( m ^ ( k  -  M ) ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( ( m ^
k )  /  (
m ^ M ) ) ) )
290274adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m ^ M )  e.  CC )
291276adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m ^ M )  =/=  0 )
292157, 280, 290, 291divassd 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
m ^ k ) )  /  ( m ^ M ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( ( m ^
k )  /  (
m ^ M ) ) ) )
293289, 155, 2923eqtr4d 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  (
n ^ ( k  -  M ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( m ^ k ) )  /  ( m ^ M ) ) )
294293sumeq2dv 13172 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( m ^ k
) )  /  (
m ^ M ) ) )
295283, 285, 2943eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { 0 } ) `  m
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  k )  x.  ( n ^
( k  -  M
) ) ) ) `
 m ) )
2961, 2, 3, 253, 256, 257, 295climfsum 13275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  {
0 } )  ~~>  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) if ( k  e.  { M } ,  ( A `  k ) ,  0 ) )
297 suprleub 10286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( `' A " ( S  \  {
0 } ) ) 
C_  RR  /\  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  x )  /\  N  e.  RR )  ->  ( sup (
( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) ,  RR ,  <  )  <_  N  <->  A. z  e.  ( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) z  <_  N )
)
298203, 57, 83, 59, 297syl31anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  <_  N  <->  A. z  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) z  <_  N ) )
29979, 298mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  <_  N
)
30054, 299syl5eqbr 4320 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
301 nn0uz 10887 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
30287, 301syl6eleq 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
30358nn0zd 10737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
304 elfz5 11437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  M  <_  N ) )
305302, 303, 304syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  <-> 
M  <_  N )
)
306300, 305mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
307306snssd 4013 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { M }  C_  ( 0 ... N
) )
30819, 87ffvelrnd 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  e.  CC )
309 elsni 3897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
310309fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { M }  ->  ( A `  k
)  =  ( A `
 M ) )
311310eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { M }  ->  ( ( A `  k )  e.  CC  <->  ( A `  M )  e.  CC ) )
312308, 311syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  { M }  ->  ( A `
 k )  e.  CC ) )
313312ralrimiv 2793 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  { M }  ( A `  k )  e.  CC )
3143olcd 393 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... N )  C_  ( ZZ>=
`  0 )  \/  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
)
315 sumss2 13195 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { M }  C_  ( 0 ... N
)  /\  A. k  e.  { M }  ( A `  k )  e.  CC )  /\  (
( 0 ... N
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... N )  e. 
Fin ) )  ->  sum_ k  e.  { M }  ( A `  k )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 ) )
316307, 313, 314, 315syl21anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M }  ( A `  k )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) if ( k  e.  { M } ,  ( A `
 k ) ,  0 ) )
317 ltso 9447 . . . . . . . . 9  |-  <  Or  RR
318317supex 7705 . . . . . . . 8  |-  sup (
( `' A "
( S  \  {
0 } ) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
31954, 318eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  M  e. 
_V
320 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( A `  k )  =  ( A `  M ) )
321320sumsn 13209 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  _V  /\  ( A `  M )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { M }  ( A `  k )  =  ( A `  M ) )
322319, 308, 321sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M }  ( A `  k )  =  ( A `  M ) )
323316, 322eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) if ( k  e. 
{ M } , 
( A `  k
) ,  0 )  =  ( A `  M ) )
324296, 323breqtrd 4311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  {
0 } )  ~~>  ( A `
 M ) )
325249, 28climconst2 13018 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
0 } )  ~~>  0 )
3267, 248, 325mp2an 672 . . . 4  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  ~~>  0
327 climuni 13022 . . . 4  |-  ( ( ( NN  X.  {
0 } )  ~~>  ( A `
 M )  /\  ( NN  X.  { 0 } )  ~~>  0 )  ->  ( A `  M )  =  0 )
328324, 326, 327sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  =  0 )
329 fvex 5696 . . . 4  |-  ( A `
 M )  e. 
_V
330329elsnc 3896 . . 3  |-  ( ( A `  M )  e.  { 0 }  <-> 
( A `  M
)  =  0 )
331328, 330sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  e.  { 0 } )
332 elpreima 5818 . . . . . 6  |-  ( A  Fn  NN0  ->  ( M  e.  ( `' A " ( S  \  {
0 } ) )  <-> 
( M  e.  NN0  /\  ( A `  M
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) ) ) )
33367, 332syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( `' A " ( S 
\  { 0 } ) )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ( A `
 M )  e.  ( S  \  {
0 } ) ) ) )
33486, 333mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN0  /\  ( A `  M
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) ) )
335334simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  e.  ( S 
\  { 0 } ) )
336335eldifbd 3336 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( A `  M )  e.  {
0 } )
337331, 336pm2.65i 173 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    u. cun 3321    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ifcif 3786   {csn 3872   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   supcsup 7682   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   ...cfz 11429   ^cexp 11857   abscabs 12715    ~~> cli 12954   sum_csu 13155   0pc0p 21127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-0p 21128
This theorem is referenced by:  plyeq0  21659
  Copyright terms: Public domain W3C validator