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Theorem plyeq0lem 23243
 Description: Lemma for plyeq0 23244. If is the coefficient function for a nonzero polynomial such that for every and is the nonzero leading coefficient, then the function is a sum of powers of , and so the limit of this function as is the constant term, . But everywhere, so this limit is also equal to zero so that , a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyeq0.1
plyeq0.2
plyeq0.3
plyeq0.4
plyeq0.5
plyeq0.6
plyeq0.7
Assertion
Ref Expression
plyeq0lem
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem plyeq0lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11218 . . . . . 6
2 1zzd 10992 . . . . . 6
3 fzfid 12224 . . . . . 6
4 1zzd 10992 . . . . . . . . . 10
5 plyeq0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 plyeq0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
98snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106, 9unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11 cnex 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12 ssexg 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1310, 11, 12sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14 nn0ex 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 elmapg 7503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1613, 14, 15sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
175, 16mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1817, 10fssd 5750 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15
2118, 19, 20syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
2322abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12
2423recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
25 divcnv 13988 . . . . . . . . . . 11
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10
27 nnex 10637 . . . . . . . . . . . 12
2827mptex 6152 . . . . . . . . . . 11
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10
30 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13
31 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
32 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
3330, 31, 32fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . 12
3433adantl 473 . . . . . . . . . . 11
35 nndivre 10667 . . . . . . . . . . . 12
3623, 35sylan 479 . . . . . . . . . . 11
3734, 36eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
38 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14
3938oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13
40 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
41 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
4239, 40, 41fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . 12
4342adantl 473 . . . . . . . . . . 11
4421ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
4544abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12
46 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
48 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5117, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5249, 51syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53 plyeq0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54 nn0ssz 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5552, 54syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
56 plyeq0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57 plyeq0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5857nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5952sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
60 plyeq0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
61 plyco0 23225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6257, 18, 61syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6360, 62mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6617, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
67 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6968simplbda 636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
70 eldifsni 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
72 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7372neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
74 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7573, 74imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7675rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7759, 64, 71, 76syl3c 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7877ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
79 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8079ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8180rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8258, 78, 81syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
83 suprzcl 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8455, 56, 82, 83syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8553, 84syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8652, 85sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8786nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . 16
88 zsubcl 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8948, 87, 88syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
9147, 90rpexpcld 12477 . . . . . . . . . . . . 13
9291rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12
9345, 92remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11
9443, 93eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
95 nnrecre 10668 . . . . . . . . . . . . 13
9695adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
9722absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . 13
9897adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
99 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
101 nnge1 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
103 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10490zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10648adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107106ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10887ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
109 zltp1le 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110107, 108, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111105, 110mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11219adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
113112nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114113ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11586adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
116115nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117116ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118114, 103, 117leaddsub2d 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119111, 118mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120113recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121120ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122116recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123122ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124121, 123negsubdi2d 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125119, 124breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126103, 104, 125lenegcon2d 10217 . . . . . . . . . . . . . . 15
127 neg1z 10997 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128 eluz 11196 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12990, 127, 128sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15
130126, 129mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14
131100, 102, 130leexp2ad 12486 . . . . . . . . . . . . 13
132 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15
133132adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
134 expn1 12320 . . . . . . . . . . . . . 14
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
136131, 135breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . 12
13792, 96, 45, 98, 136lemul2ad 10569 . . . . . . . . . . 11
13824adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
139 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . 14
140139adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
141138, 133, 140divrecd 10408 . . . . . . . . . . . 12
14234, 141eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11
143137, 43, 1423brtr4d 4426 . . . . . . . . . 10
14491rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . 12
14545, 92, 98, 144mulge0d 10211 . . . . . . . . . . 11
146145, 43breqtrrd 4422 . . . . . . . . . 10
1471, 4, 26, 29, 37, 94, 143, 146climsqz2 13782 . . . . . . . . 9
14827mptex 6152 . . . . . . . . . . 11
149148a1i 11 . . . . . . . . . 10
15038oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
151 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
152 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15
153150, 151, 152fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
154153ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13
15518adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
156155, 19, 20syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14
157132ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15
158139ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15
15987adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16048, 159, 88syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15
161157, 158, 160expclzd 12459 . . . . . . . . . . . . . 14
162156, 161mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . 13
163154, 162eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12
164163an32s 821 . . . . . . . . . . 11
165164adantlr 729 . . . . . . . . . 10
16692recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13
16744, 166absmuld 13593 . . . . . . . . . . . 12
16892, 144absidd 13561 . . . . . . . . . . . . 13
169168oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
170167, 169eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11
171153adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
172171fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
173170, 172, 433eqtr4rd 2516 . . . . . . . . . 10
1741, 4, 149, 29, 165, 173climabs0 13726 . . . . . . . . 9
175147, 174mpbird 240 . . . . . . . 8
176113adantr 472 . . . . . . . . . . 11
177 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
178176, 177ltned 9788 . . . . . . . . . 10
179 elsn 3973 . . . . . . . . . . 11
180179necon3bbii 2690 . . . . . . . . . 10
181178, 180sylibr 217 . . . . . . . . 9
182181iffalsed 3883 . . . . . . . 8
183175, 182breqtrrd 4422 . . . . . . 7
184 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15
185184ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14
186 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15
187186ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14
18889ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14
189185, 187, 188expclzd 12459 . . . . . . . . . . . . 13
190189mul02d 9849 . . . . . . . . . . . 12
191 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
192191oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
193191ifeq1d 3890 . . . . . . . . . . . . 13
194 ifid 3909 . . . . . . . . . . . . 13
195193, 194syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12
196190, 192, 1953eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . 11
19721adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
198197ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
199198mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . 12
200 nn0ssre 10897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
20152, 200syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
202201ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20356ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20482ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20519ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
206 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
20717, 19, 206syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
208207anim1i 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
209 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
210208, 209sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
211 difun2 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
212210, 211syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
213 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
21466, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
215214ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
216205, 212, 215mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
217 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
218202, 203, 204, 216, 217syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
219218, 53syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
220219adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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