Theorem plyeq0lem 23243

Description: Lemma for plyeq0 23244. If A is the coefficient function for a nonzero polynomial such that P ( z ) = sum_ k e. NN0 A ( k ) x. z ^ k = 0 for every z e. CC and A ( M ) is the nonzero leading coefficient, then the function F ( z ) = P ( z ) / z ^ M is a sum of powers of 1 / z, and so the limit of this function as z ~~> +oo is the constant term, A ( M ). But F ( z ) = 0 everywhere, so this limit is also equal to zero so that A ( M ) = 0, a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyeq0.1	|- ( ph -> S C_ CC )
plyeq0.2	|- ( ph -> N e. NN0 )
plyeq0.3	|- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
plyeq0.4	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyeq0.5	|- ( ph -> 0p = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyeq0.6	|- M = sup ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) , RR , < )
plyeq0.7	|- ( ph -> ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
plyeq0lem	|- -. ph

Distinct variable groups:   z, k, A   k, M   k, N, z   ph, k, z   S, k, z

Allowed substitution hint:   M( z)

Proof of Theorem plyeq0lem

Dummy variables m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11218	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 10992	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		fzfid 12224	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
4		1zzd 10992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> 1 e. ZZ )
5		plyeq0.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
6		plyeq0.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S C_ CC )
7		0cn 9653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. CC
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 e. CC )
9	8	snssd 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
10	6, 9	unssd 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
11		cnex 9638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- CC e. _V
12		ssexg 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
13	10, 11, 12	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
14		nn0ex 10899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN0 e. _V
15		elmapg 7503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
16	13, 14, 15	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
17	5, 16	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
18	17, 10	fssd 5750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
19		elfznn0 11913	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
20		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
21	18, 19, 20	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
22	21	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> ( A ` k ) e. CC )
23	22	abscld 13575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR )
24	23	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> ( abs ` ( A ` k ) ) e. CC )
25		divcnv 13988	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( A ` k ) ) e. CC -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / n ) ) ~~> 0 )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / n ) ) ~~> 0 )
27		nnex 10637	. . . . . . . . . . . 12 |- NN e. _V
28	27	mptex 6152	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) e. _V
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) e. _V )
30		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / n ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) / m ) )
31		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / n ) )
32		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` ( A ` k ) ) / m ) e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / n ) ) ` m ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) / m ) )
34	33	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / n ) ) ` m ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) / m ) )
35		nndivre 10667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR /\ m e. NN ) -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / m ) e. RR )
36	23, 35	sylan 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / m ) e. RR )
37	34, 36	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / n ) ) ` m ) e. RR )
38		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( n ^ ( k - M ) ) = ( m ^ ( k - M ) ) )
39	38	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) )
40		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) )
41		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) e. _V
42	39, 40, 41	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) )
43	42	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) )
44	21	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( A ` k ) e. CC )
45	44	abscld 13575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( A ` k ) ) e. RR )
46		nnrp 11334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
47	46	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
48		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
49		cnvimass 5194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) C_ dom A
50		fdm 5745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) -> dom A = NN0 )
51	17, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> dom A = NN0 )
52	49, 51	syl5sseq 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) C_ NN0 )
53		plyeq0.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- M = sup ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) , RR , < )
54		nn0ssz 10982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- NN0 C_ ZZ
55	52, 54	syl6ss 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) C_ ZZ )
56		plyeq0.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) =/= (/) )
57		plyeq0.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> N e. NN0 )
58	57	nn0red 10950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> N e. RR )
59	52	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) ) -> z e. NN0 )
60		plyeq0.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
61		plyco0 23225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) )
62	57, 18, 61	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) )
63	60, 62	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) )
64	63	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) ) -> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) )
65		ffn 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) -> A Fn NN0 )
66	17, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> A Fn NN0 )
67		elpreima 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A Fn NN0 -> ( z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) <-> ( z e. NN0 /\ ( A ` z ) e. ( S \ { 0 } ) ) ) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) <-> ( z e. NN0 /\ ( A ` z ) e. ( S \ { 0 } ) ) ) )
69	68	simplbda 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) ) -> ( A ` z ) e. ( S \ { 0 } ) )
70		eldifsni 4089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A ` z ) e. ( S \ { 0 } ) -> ( A ` z ) =/= 0 )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) ) -> ( A ` z ) =/= 0 )
72		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k = z -> ( A ` k ) = ( A ` z ) )
73	72	neeq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = z -> ( ( A ` k ) =/= 0 <-> ( A ` z ) =/= 0 ) )
74		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = z -> ( k <_ N <-> z <_ N ) )
75	73, 74	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = z -> ( ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) <-> ( ( A ` z ) =/= 0 -> z <_ N ) ) )
76	75	rspcv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. NN0 -> ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) -> ( ( A ` z ) =/= 0 -> z <_ N ) ) )
77	59, 64, 71, 76	syl3c 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) ) -> z <_ N )
78	77	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ N )
79		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = N -> ( z <_ x <-> z <_ N ) )
80	79	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = N -> ( A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ x <-> A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ N ) )
81	80	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. RR /\ A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ N ) -> E. x e. RR A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ x )
82	58, 78, 81	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ x )
83		suprzcl 11038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) C_ ZZ /\ ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ x ) -> sup ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) , RR , < ) e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) )
84	55, 56, 82, 83	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> sup ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) , RR , < ) e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) )
85	53, 84	syl5eqel 2553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) )
86	52, 85	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. NN0 )
87	86	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. ZZ )
88		zsubcl 11003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k - M ) e. ZZ )
89	48, 87, 88	syl2anr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( k - M ) e. ZZ )
90	89	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( k - M ) e. ZZ )
91	47, 90	rpexpcld 12477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( m ^ ( k - M ) ) e. RR+ )
92	91	rpred 11364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( m ^ ( k - M ) ) e. RR )
93	45, 92	remulcld 9689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) e. RR )
94	43, 93	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) e. RR )
95		nnrecre 10668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( 1 / m ) e. RR )
96	95	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( 1 / m ) e. RR )
97	22	absge0d 13583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> 0 <_ ( abs ` ( A ` k ) ) )
98	97	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> 0 <_ ( abs ` ( A ` k ) ) )
99		nnre 10638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. RR )
100	99	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> m e. RR )
101		nnge1 10657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> 1 <_ m )
102	101	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> 1 <_ m )
103		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> 1 e. RR )
104	90	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( k - M ) e. RR )
105		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> k < M )
106	48	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
107	106	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> k e. ZZ )
108	87	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> M e. ZZ )
109		zltp1le 11010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k < M <-> ( k + 1 ) <_ M ) )
110	107, 108, 109	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( k < M <-> ( k + 1 ) <_ M ) )
111	105, 110	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( k + 1 ) <_ M )
112	19	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
113	112	nn0red 10950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. RR )
114	113	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> k e. RR )
115	86	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> M e. NN0 )
116	115	nn0red 10950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> M e. RR )
117	116	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> M e. RR )
118	114, 103, 117	leaddsub2d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( k + 1 ) <_ M <-> 1 <_ ( M - k ) ) )
119	111, 118	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> 1 <_ ( M - k ) )
120	113	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. CC )
121	120	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> k e. CC )
122	116	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> M e. CC )
123	122	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> M e. CC )
124	121, 123	negsubdi2d 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> -u ( k - M ) = ( M - k ) )
125	119, 124	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> 1 <_ -u ( k - M ) )
126	103, 104, 125	lenegcon2d 10217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( k - M ) <_ -u 1 )
127		neg1z 10997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 e. ZZ
128		eluz 11196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k - M ) e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 e. ( ZZ>= ` ( k - M ) ) <-> ( k - M ) <_ -u 1 ) )
129	90, 127, 128	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( -u 1 e. ( ZZ>= ` ( k - M ) ) <-> ( k - M ) <_ -u 1 ) )
130	126, 129	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> -u 1 e. ( ZZ>= ` ( k - M ) ) )
131	100, 102, 130	leexp2ad 12486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( m ^ ( k - M ) ) <_ ( m ^ -u 1 ) )
132		nncn 10639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. CC )
133	132	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> m e. CC )
134		expn1 12320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. CC -> ( m ^ -u 1 ) = ( 1 / m ) )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( m ^ -u 1 ) = ( 1 / m ) )
136	131, 135	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( m ^ ( k - M ) ) <_ ( 1 / m ) )
137	92, 96, 45, 98, 136	lemul2ad 10569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( 1 / m ) ) )
138	24	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( A ` k ) ) e. CC )
139		nnne0 10664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
140	139	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> m =/= 0 )
141	138, 133, 140	divrecd 10408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / m ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( 1 / m ) ) )
142	34, 141	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / n ) ) ` m ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( 1 / m ) ) )
143	137, 43, 142	3brtr4d 4426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) / n ) ) ` m ) )
144	91	rpge0d 11368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> 0 <_ ( m ^ ( k - M ) ) )
145	45, 92, 98, 144	mulge0d 10211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) )
146	145, 43	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) )
147	1, 4, 26, 29, 37, 94, 143, 146	climsqz2 13782	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ~~> 0 )
148	27	mptex 6152	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) e. _V
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) e. _V )
150	38	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) = ( ( A ` k ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) )
151		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) )
152		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ` k ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) e. _V
153	150, 151, 152	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) = ( ( A ` k ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) )
154	153	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) = ( ( A ` k ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) )
155	18	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A : NN0 --> CC )
156	155, 19, 20	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
157	132	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> m e. CC )
158	139	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> m =/= 0 )
159	87	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> M e. ZZ )
160	48, 159, 88	syl2anr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( k - M ) e. ZZ )
161	157, 158, 160	expclzd 12459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( m ^ ( k - M ) ) e. CC )
162	156, 161	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) e. CC )
163	154, 162	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) e. CC )
164	163	an32s 821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) e. CC )
165	164	adantlr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) e. CC )
166	92	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( m ^ ( k - M ) ) e. CC )
167	44, 166	absmuld 13593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( m ^ ( k - M ) ) ) ) )
168	92, 144	absidd 13561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( m ^ ( k - M ) ) ) = ( m ^ ( k - M ) ) )
169	168	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( abs ` ( m ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) )
170	167, 169	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) )
171	153	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) = ( ( A ` k ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) )
172	171	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) ) = ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) ) )
173	170, 172, 43	3eqtr4rd 2516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) = ( abs ` ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) ) )
174	1, 4, 149, 29, 165, 173	climabs0 13726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( ( abs ` ( A ` k ) ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ~~> 0 ) )
175	147, 174	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ~~> 0 )
176	113	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> k e. RR )
177		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> k < M )
178	176, 177	ltned 9788	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> k =/= M )
179		elsn 3973	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { M } <-> k = M )
180	179	necon3bbii 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. { M } <-> k =/= M )
181	178, 180	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> -. k e. { M } )
182	181	iffalsed 3883	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) = 0 )
183	175, 182	breqtrrd 4422	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ k < M ) -> ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ~~> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
184		nncn 10639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. CC )
185	184	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) = 0 ) -> n e. CC )
186		nnne0 10664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
187	186	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) = 0 ) -> n =/= 0 )
188	89	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) = 0 ) -> ( k - M ) e. ZZ )
189	185, 187, 188	expclzd 12459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) = 0 ) -> ( n ^ ( k - M ) ) e. CC )
190	189	mul02d 9849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) = 0 ) -> ( 0 x. ( n ^ ( k - M ) ) ) = 0 )
191		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) = 0 ) -> ( A ` k ) = 0 )
192	191	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) = 0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) = ( 0 x. ( n ^ ( k - M ) ) ) )
193	191	ifeq1d 3890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) = 0 ) -> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) = if ( k e. { M } , 0 , 0 ) )
194		ifid 3909	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( k e. { M } , 0 , 0 ) = 0
195	193, 194	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) = 0 ) -> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) = 0 )
196	190, 192, 195	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) = 0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) = if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
197	21	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) -> ( A ` k ) e. CC )
198	197	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
199	198	mulid1d 9678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( ( A ` k ) x. 1 ) = ( A ` k ) )
200		nn0ssre 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- NN0 C_ RR
201	52, 200	syl6ss 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) C_ RR )
202	201	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) C_ RR )
203	56	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) =/= (/) )
204	82	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> E. x e. RR A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ x )
205	19	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> k e. NN0 )
206		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
207	17, 19, 206	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
208	207	anim1i 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) )
209		eldifsn 4088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A ` k ) e. ( ( S u. { 0 } ) \ { 0 } ) <-> ( ( A ` k ) e. ( S u. { 0 } ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) )
210	208, 209	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( A ` k ) e. ( ( S u. { 0 } ) \ { 0 } ) )
211		difun2 3838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( S u. { 0 } ) \ { 0 } ) = ( S \ { 0 } )
212	210, 211	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( A ` k ) e. ( S \ { 0 } ) )
213		elpreima 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A Fn NN0 -> ( k e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) <-> ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) e. ( S \ { 0 } ) ) ) )
214	66, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( k e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) <-> ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) e. ( S \ { 0 } ) ) ) )
215	214	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( k e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) <-> ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) e. ( S \ { 0 } ) ) ) )
216	205, 212, 215	mpbir2and 936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> k e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) )
217		suprub 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) C_ RR /\ ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ x ) /\ k e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) ) -> k <_ sup ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) , RR , < ) )
218	202, 203, 204, 216, 217	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> k <_ sup ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) , RR , < ) )
219	218, 53	syl6breqr 4436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> k <_ M )
220	219	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> k <_ M )
221	220	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> k <_ M )
222		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> M <_ k )
223	113	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> k e. RR )
224	116	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> M e. RR )
225	223, 224	letri3d 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( k = M <-> ( k <_ M /\ M <_ k ) ) )
226	221, 222, 225	mpbir2and 936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> k = M )
227	226	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( k - M ) = ( M - M ) )
228	122	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> M e. CC )
229	228	subidd 9993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( M - M ) = 0 )
230	227, 229	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( k - M ) = 0 )
231	230	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( n ^ ( k - M ) ) = ( n ^ 0 ) )
232	184	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> n e. CC )
233	232	exp0d 12448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( n ^ 0 ) = 1 )
234	231, 233	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( n ^ ( k - M ) ) = 1 )
235	234	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) = ( ( A ` k ) x. 1 ) )
236	226, 179	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> k e. { M } )
237	236	iftrued 3880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) = ( A ` k ) )
238	199, 235, 237	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) = if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
239	196, 238	pm2.61dane 2730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) /\ n e. NN ) -> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) = if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
240	239	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) -> ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) = ( n e. NN |-> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) ) )
241		fconstmpt 4883	. . . . . . . . 9 |- ( NN X. { if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) } ) = ( n e. NN |-> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
242	240, 241	syl6eqr 2523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) -> ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) = ( NN X. { if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) } ) )
243		ifcl 3914	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` k ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) e. CC )
244	197, 7, 243	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) -> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) e. CC )
245		1z 10991	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
246	1	eqimss2i 3473	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ NN
247	246, 27	climconst2 13689	. . . . . . . . 9 |- ( ( if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) e. CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( NN X. { if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) } ) ~~> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
248	244, 245, 247	sylancl 675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) -> ( NN X. { if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) } ) ~~> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
249	242, 248	eqbrtrd 4416	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ M <_ k ) -> ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ~~> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
250	183, 249, 113, 116	ltlecasei 9760	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ~~> if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
251		snex 4641	. . . . . . . 8 |- { 0 } e. _V
252	27, 251	xpex 6614	. . . . . . 7 |- ( NN X. { 0 } ) e. _V
253	252	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( NN X. { 0 } ) e. _V )
254	164	anasss 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 0 ... N ) /\ m e. NN ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) e. CC )
255		plyeq0.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0p = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
256	255	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0p ` m ) = ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` m ) )
257	256	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0p ` m ) = ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` m ) )
258	132	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
259		0pval 22708	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. CC -> ( 0p ` m ) = 0 )
260	258, 259	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0p ` m ) = 0 )
261		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = m -> ( z ^ k ) = ( m ^ k ) )
262	261	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = m -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) )
263	262	sumeq2sdv 13847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = m -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) )
264		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
265		sumex 13831	. . . . . . . . . . . 12 |- sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) e. _V
266	263, 264, 265	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. CC -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` m ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) )
267	258, 266	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` m ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) )
268	257, 260, 267	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0 = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) )
269	268	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0 / ( m ^ M ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) / ( m ^ M ) ) )
270		expcl 12328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. CC /\ M e. NN0 ) -> ( m ^ M ) e. CC )
271	132, 86, 270	syl2anr 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m ^ M ) e. CC )
272	139	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m =/= 0 )
273	258, 272, 159	expne0d 12460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m ^ M ) =/= 0 )
274	271, 273	div0d 10404	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0 / ( m ^ M ) ) = 0 )
275		fzfid 12224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
276		expcl 12328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( m ^ k ) e. CC )
277	258, 19, 276	syl2an 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( m ^ k ) e. CC )
278	156, 277	mulcld 9681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) e. CC )
279	275, 271, 278, 273	fsumdivc 13924	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) / ( m ^ M ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) / ( m ^ M ) ) )
280	269, 274, 279	3eqtr3d 2513	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0 = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) / ( m ^ M ) ) )
281		fvconst2g 6134	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. CC /\ m e. NN ) -> ( ( NN X. { 0 } ) ` m ) = 0 )
282	8, 281	sylan 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( NN X. { 0 } ) ` m ) = 0 )
283	159	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> M e. ZZ )
284	48	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
285	157, 158, 283, 284	expsubd 12465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( m ^ ( k - M ) ) = ( ( m ^ k ) / ( m ^ M ) ) )
286	285	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( m ^ ( k - M ) ) ) = ( ( A ` k ) x. ( ( m ^ k ) / ( m ^ M ) ) ) )
287	271	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( m ^ M ) e. CC )
288	273	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( m ^ M ) =/= 0 )
289	156, 277, 287, 288	divassd 10440	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) / ( m ^ M ) ) = ( ( A ` k ) x. ( ( m ^ k ) / ( m ^ M ) ) ) )
290	286, 154, 289	3eqtr4d 2515	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) = ( ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) / ( m ^ M ) ) )
291	290	sumeq2dv 13846	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( A ` k ) x. ( m ^ k ) ) / ( m ^ M ) ) )
292	280, 282, 291	3eqtr4d 2515	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( NN X. { 0 } ) ` m ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( n e. NN |-> ( ( A ` k ) x. ( n ^ ( k - M ) ) ) ) ` m ) )
293	1, 2, 3, 250, 253, 254, 292	climfsum 13957	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN X. { 0 } ) ~~> sum_ k e. ( 0 ... N ) if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
294		suprleub 10595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) C_ RR /\ ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ x ) /\ N e. RR ) -> ( sup ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) , RR , < ) <_ N <-> A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ N ) )
295	201, 56, 82, 58, 294	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sup ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) , RR , < ) <_ N <-> A. z e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) z <_ N ) )
296	78, 295	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sup ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) , RR , < ) <_ N )
297	53, 296	syl5eqbr 4429	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M <_ N )
298		nn0uz 11217	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
299	86, 298	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
300	57	nn0zd 11061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
301		elfz5 11818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ( 0 ... N ) <-> M <_ N ) )
302	299, 300, 301	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M e. ( 0 ... N ) <-> M <_ N ) )
303	297, 302	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( 0 ... N ) )
304	303	snssd 4108	. . . . . . 7 |- ( ph -> { M } C_ ( 0 ... N ) )
305	18, 86	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ` M ) e. CC )
306		elsni 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { M } -> k = M )
307	306	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { M } -> ( A ` k ) = ( A ` M ) )
308	307	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { M } -> ( ( A ` k ) e. CC <-> ( A ` M ) e. CC ) )
309	305, 308	syl5ibrcom 230	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. { M } -> ( A ` k ) e. CC ) )
310	309	ralrimiv 2808	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. { M } ( A ` k ) e. CC )
311	3	olcd 400	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... N ) e. Fin ) )
312		sumss2 13869	. . . . . . 7 |- ( ( ( { M } C_ ( 0 ... N ) /\ A. k e. { M } ( A ` k ) e. CC ) /\ ( ( 0 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... N ) e. Fin ) ) -> sum_ k e. { M } ( A ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
313	304, 310, 311, 312	syl21anc 1291	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. { M } ( A ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) )
314		ltso 9732	. . . . . . . . 9 |- < Or RR
315	314	supex 7995	. . . . . . . 8 |- sup ( ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) , RR , < ) e. _V
316	53, 315	eqeltri 2545	. . . . . . 7 |- M e. _V
317		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( A ` k ) = ( A ` M ) )
318	317	sumsn 13884	. . . . . . 7 |- ( ( M e. _V /\ ( A ` M ) e. CC ) -> sum_ k e. { M } ( A ` k ) = ( A ` M ) )
319	316, 305, 318	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. { M } ( A ` k ) = ( A ` M ) )
320	313, 319	eqtr3d 2507	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) if ( k e. { M } , ( A ` k ) , 0 ) = ( A ` M ) )
321	293, 320	breqtrd 4420	. . . 4 |- ( ph -> ( NN X. { 0 } ) ~~> ( A ` M ) )
322	246, 27	climconst2 13689	. . . . 5 |- ( ( 0 e. CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( NN X. { 0 } ) ~~> 0 )
323	7, 245, 322	mp2an 686	. . . 4 |- ( NN X. { 0 } ) ~~> 0
324		climuni 13693	. . . 4 |- ( ( ( NN X. { 0 } ) ~~> ( A ` M ) /\ ( NN X. { 0 } ) ~~> 0 ) -> ( A ` M ) = 0 )
325	321, 323, 324	sylancl 675	. . 3 |- ( ph -> ( A ` M ) = 0 )
326		fvex 5889	. . . 4 |- ( A ` M ) e. _V
327	326	elsnc 3984	. . 3 |- ( ( A ` M ) e. { 0 } <-> ( A ` M ) = 0 )
328	325, 327	sylibr 217	. 2 |- ( ph -> ( A ` M ) e. { 0 } )
329		elpreima 6017	. . . . . 6 |- ( A Fn NN0 -> ( M e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) <-> ( M e. NN0 /\ ( A ` M ) e. ( S \ { 0 } ) ) ) )
330	66, 329	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( `' A " ( S \ { 0 } ) ) <-> ( M e. NN0 /\ ( A ` M ) e. ( S \ { 0 } ) ) ) )
331	85, 330	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. NN0 /\ ( A ` M ) e. ( S \ { 0 } ) ) )
332	331	simprd 470	. . 3 |- ( ph -> ( A ` M ) e. ( S \ { 0 } ) )
333	332	eldifbd 3403	. 2 |- ( ph -> -. ( A ` M ) e. { 0 } )
334	328, 333	pm2.65i 178	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   ^cexp 12310   abscabs 13374   ~~> cli 13625   sum_csu 13829   0pc0p 22706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-0p 22707

This theorem is referenced by:  plyeq0  23244