Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivlem4 Structured version   Unicode version

Theorem plydivlem4 21888
 Description: Lemma for plydivex 21889. Induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl
plydiv.tm
plydiv.rc
plydiv.m1
plydiv.f Poly
plydiv.g Poly
plydiv.z
plydiv.r
plydiv.d
plydiv.e
plydiv.fz
plydiv.u
plydiv.h
plydiv.al Poly deg Poly deg
plydiv.a coeff
plydiv.b coeff
plydiv.m deg
plydiv.n deg
Assertion
Ref Expression
plydivlem4 Poly deg
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)   (,,,)   (,)   (,,,,,)   (,,)

Proof of Theorem plydivlem4
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . 4 Poly
2 plybss 21788 . . . . . . 7 Poly
31, 2syl 16 . . . . . 6
4 plydiv.pl . . . . . . . . . . . 12
5 plydiv.tm . . . . . . . . . . . 12
6 plydiv.rc . . . . . . . . . . . 12
7 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . 12
84, 5, 6, 7plydivlem1 21885 . . . . . . . . . . 11
9 plydiv.a . . . . . . . . . . . 12 coeff
109coef2 21825 . . . . . . . . . . 11 Poly
111, 8, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
12 plydiv.m . . . . . . . . . . 11 deg
13 dgrcl 21827 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
141, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11 deg
1512, 14syl5eqel 2543 . . . . . . . . . 10
1611, 15ffvelrnd 5946 . . . . . . . . 9
173, 16sseldd 3458 . . . . . . . 8
18 plydiv.g . . . . . . . . . . 11 Poly
19 plydiv.b . . . . . . . . . . . 12 coeff
2019coef2 21825 . . . . . . . . . . 11 Poly
2118, 8, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
22 plydiv.n . . . . . . . . . . 11 deg
23 dgrcl 21827 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
2418, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11 deg
2522, 24syl5eqel 2543 . . . . . . . . . 10
2621, 25ffvelrnd 5946 . . . . . . . . 9
273, 26sseldd 3458 . . . . . . . 8
28 plydiv.z . . . . . . . . 9
2922, 19dgreq0 21858 . . . . . . . . . . 11 Poly
3018, 29syl 16 . . . . . . . . . 10
3130necon3bid 2706 . . . . . . . . 9
3228, 31mpbid 210 . . . . . . . 8
3317, 27, 32divrecd 10214 . . . . . . 7
34 fvex 5802 . . . . . . . . . . 11
35 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . 14
36 neeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . 14
3735, 36anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13
3837anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12
39 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . 13
4039eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . 12
4138, 40imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
4234, 41, 6vtocl 3123 . . . . . . . . . 10
4342ex 434 . . . . . . . . 9
4426, 32, 43mp2and 679 . . . . . . . 8
455, 16, 44caovcld 6359 . . . . . . 7
4633, 45eqeltrd 2539 . . . . . 6
47 plydiv.d . . . . . 6
48 plydiv.h . . . . . . 7
4948ply1term 21798 . . . . . 6 Poly
503, 46, 47, 49syl3anc 1219 . . . . 5 Poly
5150, 18, 4, 5plymul 21812 . . . 4 Poly
521, 51, 4, 5, 7plysub 21813 . . 3 Poly
53 plydiv.al . . 3 Poly deg Poly deg
54 eqid 2451 . . . . . . 7 deg deg
5512, 54dgrsub 21865 . . . . . 6 Poly Poly deg deg deg
561, 51, 55syl2anc 661 . . . . 5 deg deg deg
57 plydiv.fz . . . . . . . . . . . . 13
5812, 9dgreq0 21858 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
591, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
6059necon3bid 2706 . . . . . . . . . . . . 13
6157, 60mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
6217, 27, 61, 32divne0d 10227 . . . . . . . . . . 11
633, 46sseldd 3458 . . . . . . . . . . . . 13
6448coe1term 21852 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
6563, 47, 47, 64syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12 coeff
66 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
6766iftruei 3899 . . . . . . . . . . . 12
6865, 67syl6eq 2508 . . . . . . . . . . 11 coeff
69 c0ex 9484 . . . . . . . . . . . . 13
7069fvconst2 6035 . . . . . . . . . . . 12
7147, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11
7262, 68, 713netr4d 2753 . . . . . . . . . 10 coeff
73 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
74 coe0 21849 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
7573, 74syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . 12 coeff
7675fveq1d 5794 . . . . . . . . . . 11 coeff
7776necon3i 2688 . . . . . . . . . 10 coeff
7872, 77syl 16 . . . . . . . . 9
79 eqid 2451 . . . . . . . . . 10 deg deg
8079, 22dgrmul 21863 . . . . . . . . 9 Poly Poly deg deg
8150, 78, 18, 28, 80syl22anc 1220 . . . . . . . 8 deg deg
8248dgr1term 21853 . . . . . . . . . . . 12 deg
8363, 62, 47, 82syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11 deg
84 plydiv.e . . . . . . . . . . 11
8583, 84eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10 deg
8685oveq1d 6208 . . . . . . . . 9 deg
8715nn0cnd 10742 . . . . . . . . . 10
8825nn0cnd 10742 . . . . . . . . . 10
8987, 88npcand 9827 . . . . . . . . 9
9086, 89eqtrd 2492 . . . . . . . 8 deg
9181, 90eqtrd 2492 . . . . . . 7 deg
9291ifeq1d 3908 . . . . . 6 deg deg deg
93 ifid 3927 . . . . . 6 deg
9492, 93syl6eq 2508 . . . . 5 deg deg
9556, 94breqtrd 4417 . . . 4 deg
96 eqid 2451 . . . . . . . 8 coeff coeff
979, 96coesub 21850 . . . . . . 7 Poly Poly coeff coeff
981, 51, 97syl2anc 661 . . . . . 6 coeff coeff
9998fveq1d 5794 . . . . 5 coeff coeff
1009coef3 21826 . . . . . . . 8 Poly
101 ffn 5660 . . . . . . . 8
1021, 100, 1013syl 20 . . . . . . 7
10396coef3 21826 . . . . . . . 8 Poly coeff
104 ffn 5660 . . . . . . . 8 coeff coeff
10551, 103, 1043syl 20 . . . . . . 7 coeff
106 nn0ex 10689 . . . . . . . 8
107106a1i 11 . . . . . . 7
108 inidm 3660 . . . . . . 7
109 eqidd 2452 . . . . . . 7
110 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
111110, 19, 79, 22coemulhi 21847 . . . . . . . . . 10 Poly Poly coeff deg coeffdeg
11250, 18, 111syl2anc 661 . . . . . . . . 9 coeff deg coeffdeg
11390fveq2d 5796 . . . . . . . . 9 coeff deg coeff
11483fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . 12 coeffdeg coeff
115114, 68eqtrd 2492 . . . . . . . . . . 11 coeffdeg
116115oveq1d 6208 . . . . . . . . . 10 coeffdeg
11717, 27, 32divcan1d 10212 . . . . . . . . . 10
118116, 117eqtrd 2492 . . . . . . . . 9 coeffdeg
119112, 113, 1183eqtr3d 2500 . . . . . . . 8 coeff
120119adantr 465 . . . . . . 7 coeff
121102, 105, 107, 107, 108, 109, 120ofval 6432 . . . . . 6 coeff
12215, 121mpdan 668 . . . . 5 coeff
12317subidd 9811 . . . . 5
12499, 122, 1233eqtrd 2496 . . . 4 coeff
125 dgrcl 21827 . . . . . . . . . 10 Poly deg
12652, 125syl 16 . . . . . . . . 9 deg
127126nn0red 10741 . . . . . . . 8 deg
12815nn0red 10741 . . . . . . . 8
12925nn0red 10741 . . . . . . . 8
130127, 128, 129ltsub1d 10052 . . . . . . 7 deg deg
13184breq2d 4405 . . . . . . 7 deg deg
132130, 131bitrd 253 . . . . . 6 deg deg
133132orbi2d 701 . . . . 5 deg deg
134 eqid 2451 . . . . . . 7 deg deg
135 eqid 2451 . . . . . . 7 coeff coeff
136134, 135dgrlt 21859 . . . . . 6 Poly deg deg coeff
13752, 15, 136syl2anc 661 . . . . 5 deg deg coeff
138133, 137bitr3d 255 . . . 4 deg deg coeff
13995, 124, 138mpbir2and 913 . . 3 deg
140 eqeq1 2455 . . . . . 6
141 fveq2 5792 . . . . . . . 8 deg deg
142141oveq1d 6208 . . . . . . 7 deg deg
143142breq1d 4403 . . . . . 6 deg deg
144140, 143orbi12d 709 . . . . 5 deg deg
145 plydiv.u . . . . . . . . 9
146 oveq1 6200 . . . . . . . . 9
147145, 146syl5eq 2504 . . . . . . . 8
148147eqeq1d 2453 . . . . . . 7
149147fveq2d 5796 . . . . . . . 8 deg deg
150149breq1d 4403 . . . . . . 7 deg deg
151148, 150orbi12d 709 . . . . . 6 deg deg
152151rexbidv 2855 . . . . 5 Poly deg Poly deg
153144, 152imbi12d 320 . . . 4 deg Poly deg deg Poly deg
154153rspcv 3168 . . 3 Poly Poly deg Poly deg deg Poly deg
15552, 53, 139, 154syl3c 61 . 2 Poly deg
15650adantr 465 . . . . . . 7 Poly Poly
157 simpr 461 . . . . . . 7 Poly Poly
1584adantlr 714 . . . . . . 7 Poly
159156, 157, 158plyadd 21811 . . . . . 6 Poly Poly
160159adantr 465 . . . . 5 Poly deg Poly
161 cnex 9467 . . . . . . . . . . 11
162161a1i 11 . . . . . . . . . 10 Poly
1631adantr 465 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
164 plyf 21792 . . . . . . . . . . 11 Poly
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . 10 Poly
166 mulcl 9470 . . . . . . . . . . . 12
167166adantl 466 . . . . . . . . . . 11 Poly
168 plyf 21792 . . . . . . . . . . . 12 Poly
169156, 168syl 16 . . . . . . . . . . 11 Poly
17018adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
171 plyf 21792 . . . . . . . . . . . 12 Poly
172170, 171syl 16 . . . . . . . . . . 11 Poly
173 inidm 3660 . . . . . . . . . . 11
174167, 169, 172, 162, 162, 173off 6437 . . . . . . . . . 10 Poly
175 plyf 21792 . . . . . . . . . . . 12 Poly
176175adantl 466 . . . . . . . . . . 11 Poly
177167, 172, 176, 162, 162, 173off 6437 . . . . . . . . . 10 Poly
178 subsub4 9746 . . . . . . . . . . 11
179178adantl 466 . . . . . . . . . 10 Poly
180162, 165, 174, 177, 179caofass 6457 . . . . . . . . 9 Poly
181 mulcom 9472 . . . . . . . . . . . . . 14
182181adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
183162, 169, 172, 182caofcom 6455 . . . . . . . . . . . 12 Poly
184183oveq1d 6208 . . . . . . . . . . 11 Poly
185 adddi 9475 . . . . . . . . . . . . 13
186185adantl 466 . . . . . . . . . . . 12 Poly
187162, 172, 169, 176, 186caofdi 6459 . . . . . . . . . . 11 Poly
188184, 187eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10 Poly
189188oveq2d 6209 . . . . . . . . 9 Poly
190180, 189eqtrd 2492 . . . . . . . 8 Poly
191190eqeq1d 2453 . . . . . . 7 Poly
192190fveq2d 5796 . . . . . . . 8 Poly deg deg
193192breq1d 4403 . . . . . . 7 Poly deg deg
194191, 193orbi12d 709 . . . . . 6 Poly deg deg
195194biimpa 484 . . . . 5 Poly deg deg
196 plydiv.r . . . . . . . . 9
197 oveq2 6201 . . . . . . . . . 10
198197oveq2d 6209 . . . . . . . . 9
199196, 198syl5eq 2504 . . . . . . . 8
200199eqeq1d 2453 . . . . . . 7
201199fveq2d 5796 . . . . . . . 8 deg deg
202201breq1d 4403 . . . . . . 7 deg deg
203200, 202orbi12d 709 . . . . . 6 deg deg
204203rspcev 3172 . . . . 5 Poly deg Poly deg
205160, 195, 204syl2anc 661 . . . 4 Poly deg Poly deg
206205ex 434 . . 3 Poly deg Poly deg
207206rexlimdva 2940 . 2 Poly deg Poly deg
208155, 207mpd 15 1 Poly deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758   wne 2644  wral 2795  wrex 2796  cvv 3071   wss 3429  cif 3892  csn 3978   class class class wbr 4393   cmpt 4451   cxp 4939   wfn 5514  wf 5515  cfv 5519  (class class class)co 6193   cof 6421  cc 9384  cc0 9386  c1 9387   caddc 9389   cmul 9391   clt 9522   cle 9523   cmin 9699  cneg 9700   cdiv 10097  cn0 10683  cexp 11975  c0p 21273  Polycply 21778  coeffccoe 21780  degcdgr 21781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-0p 21274  df-ply 21782  df-coe 21784  df-dgr 21785 This theorem is referenced by:  plydivex  21889
 Copyright terms: Public domain W3C validator