Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivlem3 Unicode version

Theorem plydivlem3 20165
 Description: Lemma for plydivex 20167. Base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl
plydiv.tm
plydiv.rc
plydiv.m1
plydiv.f Poly
plydiv.g Poly
plydiv.z
plydiv.r
plydiv.0 deg deg
Assertion
Ref Expression
plydivlem3 Poly deg deg
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem plydivlem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . 3 Poly
2 plybss 20066 . . 3 Poly
3 ply0 20080 . . 3 Poly
41, 2, 33syl 19 . 2 Poly
5 plydiv.0 . . 3 deg deg
6 cnex 9027 . . . . . . 7
76a1i 11 . . . . . 6
8 plyf 20070 . . . . . . 7 Poly
9 ffn 5550 . . . . . . 7
101, 8, 93syl 19 . . . . . 6
11 plydiv.g . . . . . . . 8 Poly
12 plyf 20070 . . . . . . . 8 Poly
13 ffn 5550 . . . . . . . 8
1411, 12, 133syl 19 . . . . . . 7
15 plyf 20070 . . . . . . . 8 Poly
16 ffn 5550 . . . . . . . 8
174, 15, 163syl 19 . . . . . . 7
18 inidm 3510 . . . . . . 7
1914, 17, 7, 7, 18offn 6275 . . . . . 6
20 eqidd 2405 . . . . . 6
21 eqidd 2405 . . . . . . . 8
22 0pval 19516 . . . . . . . . 9
2322adantl 453 . . . . . . . 8
2414, 17, 7, 7, 18, 21, 23ofval 6273 . . . . . . 7
2511, 12syl 16 . . . . . . . . 9
2625ffvelrnda 5829 . . . . . . . 8
2726mul01d 9221 . . . . . . 7
2824, 27eqtrd 2436 . . . . . 6
291, 8syl 16 . . . . . . . 8
3029ffvelrnda 5829 . . . . . . 7
3130subid1d 9356 . . . . . 6
327, 10, 19, 10, 20, 28, 31offveq 6284 . . . . 5
3332eqeq1d 2412 . . . 4
3432fveq2d 5691 . . . . . 6 deg deg
35 dgrcl 20105 . . . . . . . . . . 11 Poly deg
3611, 35syl 16 . . . . . . . . . 10 deg
3736nn0red 10231 . . . . . . . . 9 deg
3837recnd 9070 . . . . . . . 8 deg
3938addid2d 9223 . . . . . . 7 deg deg
4039eqcomd 2409 . . . . . 6 deg deg
4134, 40breq12d 4185 . . . . 5 deg deg deg deg
42 dgrcl 20105 . . . . . . . 8 Poly deg
431, 42syl 16 . . . . . . 7 deg
4443nn0red 10231 . . . . . 6 deg
45 0re 9047 . . . . . . 7
4645a1i 11 . . . . . 6
4744, 37, 46ltsubaddd 9578 . . . . 5 deg deg deg deg
4841, 47bitr4d 248 . . . 4 deg deg deg deg
4933, 48orbi12d 691 . . 3 deg deg deg deg
505, 49mpbird 224 . 2 deg deg
51 plydiv.r . . . . . 6
52 oveq2 6048 . . . . . . 7
5352oveq2d 6056 . . . . . 6
5451, 53syl5eq 2448 . . . . 5
5554eqeq1d 2412 . . . 4
5654fveq2d 5691 . . . . 5 deg deg
5756breq1d 4182 . . . 4 deg deg deg deg
5855, 57orbi12d 691 . . 3 deg deg deg deg
5958rspcev 3012 . 2 Poly deg deg Poly deg deg
604, 50, 59syl2anc 643 1 Poly deg deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wrex 2667  cvv 2916   wss 3280   class class class wbr 4172   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040   cof 6262  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   clt 9076   cmin 9247  cneg 9248   cdiv 9633  cn0 10177  c0p 19514  Polycply 20056  degcdgr 20059 This theorem is referenced by:  plydivex  20167 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-0p 19515  df-ply 20060  df-coe 20062  df-dgr 20063
 Copyright terms: Public domain W3C validator