MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivlem2 Structured version   Unicode version

Theorem plydivlem2 22562
Description: Lemma for plydivalg 22567. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plydiv.tm  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
plydiv.rc  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  x
)  e.  S )
plydiv.m1  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  S
)
plydiv.f  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plydiv.g  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plydiv.z  |-  ( ph  ->  G  =/=  0p )
plydiv.r  |-  R  =  ( F  oF  -  ( G  oF  x.  q )
)
Assertion
Ref Expression
plydivlem2  |-  ( (
ph  /\  q  e.  (Poly `  S ) )  ->  R  e.  (Poly `  S ) )
Distinct variable groups:    x, y,
q, F    ph, x, y    G, q, x, y    x, R, y    S, q, x, y
Allowed substitution hints:    ph( q)    R( q)

Proof of Theorem plydivlem2
StepHypRef Expression
1 plydiv.r . 2  |-  R  =  ( F  oF  -  ( G  oF  x.  q )
)
2 plydiv.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
32adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  (Poly `  S ) )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 plydiv.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  (Poly `  S ) )  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
6 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  (Poly `  S ) )  ->  q  e.  (Poly `  S ) )
7 plydiv.pl . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
87adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
9 plydiv.tm . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
109adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  S )
115, 6, 8, 10plymul 22488 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  (Poly `  S ) )  ->  ( G  oF  x.  q )  e.  (Poly `  S )
)
12 plydiv.m1 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  S
)
1312adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  (Poly `  S ) )  ->  -u 1  e.  S
)
143, 11, 8, 10, 13plysub 22489 . 2  |-  ( (
ph  /\  q  e.  (Poly `  S ) )  ->  ( F  oF  -  ( G  oF  x.  q
) )  e.  (Poly `  S ) )
151, 14syl5eqel 2535 1  |-  ( (
ph  /\  q  e.  (Poly `  S ) )  ->  R  e.  (Poly `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10212   0pc0p 21949  Polycply 22454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-ply 22458
This theorem is referenced by:  plydiveu  22566
  Copyright terms: Public domain W3C validator