Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivalg Structured version   Unicode version

Theorem plydivalg 22879
 Description: The division algorithm on polynomials over a subfield of the complex numbers. If and are polynomials over , then there is a unique quotient polynomial such that the remainder is either zero or has degree less than . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl
plydiv.tm
plydiv.rc
plydiv.m1
plydiv.f Poly
plydiv.g Poly
plydiv.z
plydiv.r
Assertion
Ref Expression
plydivalg Poly deg deg
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem plydivalg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.pl . . 3
2 plydiv.tm . . 3
3 plydiv.rc . . 3
4 plydiv.m1 . . 3
5 plydiv.f . . 3 Poly
6 plydiv.g . . 3 Poly
7 plydiv.z . . 3
8 plydiv.r . . 3
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8plydivex 22877 . 2 Poly deg deg
10 simpll 752 . . . . . 6 Poly Poly deg deg deg deg
1110, 1sylan 469 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg
1210, 2sylan 469 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg
1310, 3sylan 469 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg
1410, 4syl 17 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg
1510, 5syl 17 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg Poly
1610, 6syl 17 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg Poly
1710, 7syl 17 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg
18 eqid 2402 . . . . 5
19 simplrr 763 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg Poly
20 simprr 758 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg deg deg
21 simplrl 762 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg Poly
22 simprl 756 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg deg deg
2311, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 8, 21, 22plydiveu 22878 . . . 4 Poly Poly deg deg deg deg
2423ex 432 . . 3 Poly Poly deg deg deg deg
2524ralrimivva 2824 . 2 Poly Poly deg deg deg deg
26 oveq2 6242 . . . . . . 7
2726oveq2d 6250 . . . . . 6
288, 27syl5eq 2455 . . . . 5
2928eqeq1d 2404 . . . 4
3028fveq2d 5809 . . . . 5 deg deg
3130breq1d 4404 . . . 4 deg deg deg deg
3229, 31orbi12d 708 . . 3 deg deg deg deg
3332reu4 3242 . 2 Poly deg deg Poly deg deg Poly Poly deg deg deg deg
349, 25, 33sylanbrc 662 1 Poly deg deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 366   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2753  wrex 2754  wreu 2755   class class class wbr 4394  cfv 5525  (class class class)co 6234   cof 6475  cc0 9442  c1 9443   caddc 9445   cmul 9447   clt 9578   cmin 9761  cneg 9762   cdiv 10167  c0p 22260  Polycply 22765  degcdgr 22768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-0p 22261  df-ply 22769  df-coe 22771  df-dgr 22772 This theorem is referenced by:  quotlem  22880
 Copyright terms: Public domain W3C validator