MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycpn Structured version   Unicode version

Theorem plycpn 23234
Description: Polynomials are smooth. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
plycpn  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  |^|
ran  ( C^n `
 CC ) )

Proof of Theorem plycpn
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 23144 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
21adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  F : CC --> CC )
3 cnex 9622 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
43, 3fpm 7510 . . . . . 6  |-  ( F : CC --> CC  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
52, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
6 dvnply 23233 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  (Poly `  CC ) )
7 plycn 23207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  (Poly `  CC )  ->  ( ( CC  Dn F ) `  n )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
9 fdm 5748 . . . . . . . 8  |-  ( F : CC --> CC  ->  dom 
F  =  CC )
102, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  F  =  CC )
1110oveq1d 6318 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( dom  F -cn-> CC )  =  ( CC -cn-> CC ) )
128, 11eleqtrrd 2514 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
13 ssid 3484 . . . . . . 7  |-  CC  C_  CC
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  CC  C_  CC )
15 elcpn 22880 . . . . . 6  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F  e.  ( (
C^n `  CC ) `  n )  <->  ( F  e.  ( CC 
^pm  CC )  /\  (
( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) ) ) )
1614, 15sylan 474 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F  e.  ( (
C^n `  CC ) `  n )  <->  ( F  e.  ( CC 
^pm  CC )  /\  (
( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) ) ) )
175, 12, 16mpbir2and 931 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  F  e.  ( ( C^n `
 CC ) `  n ) )
1817ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A. n  e.  NN0  F  e.  ( ( C^n `  CC ) `  n ) )
19 fncpn 22879 . . . 4  |-  ( CC  C_  CC  ->  ( C^n `  CC )  Fn 
NN0 )
20 eleq2 2496 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( C^n `  CC ) `
 n )  -> 
( F  e.  x  <->  F  e.  ( ( C^n `  CC ) `
 n ) ) )
2120ralrn 6038 . . . 4  |-  ( ( C^n `  CC )  Fn  NN0  ->  ( A. x  e.  ran  ( C^n `  CC ) F  e.  x  <->  A. n  e.  NN0  F  e.  ( ( C^n `
 CC ) `  n ) ) )
2213, 19, 21mp2b 10 . . 3  |-  ( A. x  e.  ran  ( C^n `  CC ) F  e.  x  <->  A. n  e.  NN0  F  e.  ( ( C^n `  CC ) `  n ) )
2318, 22sylibr 216 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A. x  e.  ran  ( C^n `
 CC ) F  e.  x )
24 elintg 4261 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  e.  |^| ran  ( C^n `  CC )  <->  A. x  e.  ran  ( C^n `  CC ) F  e.  x
) )
2523, 24mpbird 236 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  |^|
ran  ( C^n `
 CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776    C_ wss 3437   |^|cint 4253   dom cdm 4851   ran crn 4852    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    ^pm cpm 7479   CCcc 9539   NN0cn0 10871   -cn->ccncf 21900    Dncdvn 22811   C^nccpn 22812  Polycply 23130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-subrg 17999  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-0p 22620  df-limc 22813  df-dv 22814  df-dvn 22815  df-cpn 22816  df-ply 23134  df-coe 23136  df-dgr 23137
This theorem is referenced by:  aalioulem3  23282
  Copyright terms: Public domain W3C validator