MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycpn Structured version   Unicode version

Theorem plycpn 22851
Description: Polynomials are smooth. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
plycpn  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  |^|
ran  ( C^n `
 CC ) )

Proof of Theorem plycpn
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 22761 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
21adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  F : CC --> CC )
3 cnex 9562 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
43, 3fpm 7444 . . . . . 6  |-  ( F : CC --> CC  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
6 dvnply 22850 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  (Poly `  CC ) )
7 plycn 22824 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  (Poly `  CC )  ->  ( ( CC  Dn F ) `  n )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
9 fdm 5717 . . . . . . . 8  |-  ( F : CC --> CC  ->  dom 
F  =  CC )
102, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  F  =  CC )
1110oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( dom  F -cn-> CC )  =  ( CC -cn-> CC ) )
128, 11eleqtrrd 2545 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
13 ssid 3508 . . . . . . 7  |-  CC  C_  CC
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  CC  C_  CC )
15 elcpn 22503 . . . . . 6  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F  e.  ( (
C^n `  CC ) `  n )  <->  ( F  e.  ( CC 
^pm  CC )  /\  (
( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) ) ) )
1614, 15sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F  e.  ( (
C^n `  CC ) `  n )  <->  ( F  e.  ( CC 
^pm  CC )  /\  (
( CC  Dn
F ) `  n
)  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) ) ) )
175, 12, 16mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  F  e.  ( ( C^n `
 CC ) `  n ) )
1817ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A. n  e.  NN0  F  e.  ( ( C^n `  CC ) `  n ) )
19 fncpn 22502 . . . 4  |-  ( CC  C_  CC  ->  ( C^n `  CC )  Fn 
NN0 )
20 eleq2 2527 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( C^n `  CC ) `
 n )  -> 
( F  e.  x  <->  F  e.  ( ( C^n `  CC ) `
 n ) ) )
2120ralrn 6010 . . . 4  |-  ( ( C^n `  CC )  Fn  NN0  ->  ( A. x  e.  ran  ( C^n `  CC ) F  e.  x  <->  A. n  e.  NN0  F  e.  ( ( C^n `
 CC ) `  n ) ) )
2213, 19, 21mp2b 10 . . 3  |-  ( A. x  e.  ran  ( C^n `  CC ) F  e.  x  <->  A. n  e.  NN0  F  e.  ( ( C^n `  CC ) `  n ) )
2318, 22sylibr 212 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A. x  e.  ran  ( C^n `
 CC ) F  e.  x )
24 elintg 4279 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  e.  |^| ran  ( C^n `  CC )  <->  A. x  e.  ran  ( C^n `  CC ) F  e.  x
) )
2523, 24mpbird 232 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  |^|
ran  ( C^n `
 CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    C_ wss 3461   |^|cint 4271   dom cdm 4988   ran crn 4989    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^pm cpm 7413   CCcc 9479   NN0cn0 10791   -cn->ccncf 21546    Dncdvn 22434   C^nccpn 22435  Polycply 22747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-0p 22243  df-limc 22436  df-dv 22437  df-dvn 22438  df-cpn 22439  df-ply 22751  df-coe 22753  df-dgr 22754
This theorem is referenced by:  aalioulem3  22896
  Copyright terms: Public domain W3C validator