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Theorem plyco0 21629
Description: Two ways to say that a function on the nonnegative integers has finite support. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyco0  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem plyco0
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( A `  k )  =/=  0
)
2 ffun 5554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  Fun 
A )
32adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  Fun  A )
4 peano2nn0 10612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
6 eluznn0 10916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
76ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 ) )
85, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 ) )
98ssrdv 3355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  NN0 )
10 fdm 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  dom 
A  =  NN0 )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  dom  A  =  NN0 )
129, 11sseqtr4d 3386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  dom  A )
13 funfvima2 5946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
143, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
16 nn0z 10661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  e.  ZZ )
1817peano2zd 10742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ZZ )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
20 nn0z 10661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
2120ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  e.  ZZ )
22 eluz 10866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
k ) )
2319, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( N  +  1 )  <_  k )
)
24 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
2524eleq2d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( A `  k
)  e.  { 0 } ) )
26 fvex 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A `
 k )  e. 
_V
2726elsnc 3894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A `  k )  e.  { 0 }  <-> 
( A `  k
)  =  0 )
2825, 27syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( A `  k
)  =  0 ) )
2915, 23, 283imtr3d 267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  <_  k  ->  ( A `  k )  =  0 ) )
3029necon3ad 2638 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  k ) )
311, 30mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  k )
32 nn0re 10580 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
3332ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  e.  RR )
3418zred 10739 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  RR )
3534ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
3633, 35ltnled 9513 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  <  ( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_ 
k ) )
3731, 36mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  <  ( N  +  1 ) )
3817ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  N  e.  ZZ )
39 zleltp1 10687 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  <_  N  <->  k  <  ( N  + 
1 ) ) )
4021, 38, 39syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  <_  N  <->  k  <  ( N  +  1 ) ) )
4137, 40mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  <_  N )
4241expr 615 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
4342ralrimiva 2793 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
44 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) )
45 eluznn0 10916 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  ->  n  e.  NN0 )
465, 44, 45syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
47 nn0re 10580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  e.  RR )
4948adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
5034adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
5146nn0red 10629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
5249ltp1d 10255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
53 eluzle 10865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  n )
5453ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  n )
5549, 50, 51, 52, 54ltletrd 9523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  <  n )
5649, 51ltnled 9513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  <  n  <->  -.  n  <_  N ) )
5755, 56mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  -.  n  <_  N )
58 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
59 fveq2 5684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( A `  k )  =  ( A `  n ) )
6059neeq1d 2615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  <->  ( A `  n )  =/=  0 ) )
61 breq1 4288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  <_  N  <->  n  <_  N ) )
6260, 61imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( ( A `  n
)  =/=  0  ->  n  <_  N ) ) )
6362rspcva 3064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  N )
)  ->  ( ( A `  n )  =/=  0  ->  n  <_  N ) )
6446, 58, 63syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  ->  n  <_  N ) )
6564necon1bd 2673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( -.  n  <_  N  -> 
( A `  n
)  =  0 ) )
6657, 65mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( A `  n )  =  0 )
67 ffn 5552 . . . . . . . . 9  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
6867ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  A  Fn  NN0 )
69 fniniseg 5817 . . . . . . . 8  |-  ( A  Fn  NN0  ->  ( n  e.  ( `' A " { 0 } )  <-> 
( n  e.  NN0  /\  ( A `  n
)  =  0 ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( `' A " { 0 } )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ( A `
 n )  =  0 ) ) )
7146, 66, 70mpbir2and 913 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( `' A " { 0 } ) )
7271expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  n  e.  ( `' A " { 0 } ) ) )
7372ssrdv 3355 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  ( `' A " { 0 } ) )
74 funimass3 5812 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
C_  { 0 }  <-> 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
753, 12, 74syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  C_  { 0 }  <->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
7675adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
C_  { 0 }  <-> 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
7773, 76mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  C_  { 0 } )
7848ltp1d 10255 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
7948, 34ltnled 9513 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  < 
( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
8078, 79mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  N )
8180adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  -.  ( N  +  1
)  <_  N )
82 fveq2 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( N  +  1
) ) )
8382neeq1d 2615 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  <->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0 ) )
84 breq1 4288 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
k  <_  N  <->  ( N  +  1 )  <_  N ) )
8583, 84imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  -> 
( N  +  1 )  <_  N )
) )
8685rspcva 3064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  N )
)  ->  ( ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( N  +  1 )  <_  N ) )
875, 86sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  -> 
( N  +  1 )  <_  N )
)
8887necon1bd 2673 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( -.  ( N  +  1 )  <_  N  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  0 ) )
8981, 88mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  0 )
90 uzid 10867 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
9118, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) )
92 funfvima2 5946 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
933, 12, 92syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  ( N  +  1
) )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
9491, 93mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( A `  ( N  +  1
) )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
9594adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
9689, 95eqeltrrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  0  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )
9796snssd 4011 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  { 0 }  C_  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
9877, 97eqssd 3366 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )
9943, 98impbida 828 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2600   A.wral 2709    C_ wss 3321   {csn 3870   class class class wbr 4285   `'ccnv 4831   dom cdm 4832   "cima 4835   Fun wfun 5405    Fn wfn 5406   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854
This theorem is referenced by:  elply2  21633  plyeq0lem  21647  coeeulem  21661  dgrlem  21666  dgrub2  21672  dgrlb  21673  coeeq2  21679  dgrle  21680  coeaddlem  21685  coemullem  21686  coe1termlem  21694  dgreq0  21701  coecj  21714  basellem2  22388
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