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Theorem plyco0 22317
Description: Two ways to say that a function on the nonnegative integers has finite support. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyco0  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem plyco0
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( A `  k )  =/=  0
)
2 ffun 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  Fun 
A )
32adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  Fun  A )
4 peano2nn0 10825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
6 eluznn0 11140 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
76ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 ) )
85, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 ) )
98ssrdv 3503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  NN0 )
10 fdm 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  dom 
A  =  NN0 )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  dom  A  =  NN0 )
129, 11sseqtr4d 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  dom  A )
13 funfvima2 6127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
143, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
16 nn0z 10876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  e.  ZZ )
1817peano2zd 10958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ZZ )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
20 nn0z 10876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
2120ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  e.  ZZ )
22 eluz 11084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
k ) )
2319, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( N  +  1 )  <_  k )
)
24 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
2524eleq2d 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( A `  k
)  e.  { 0 } ) )
26 fvex 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A `
 k )  e. 
_V
2726elsnc 4044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A `  k )  e.  { 0 }  <-> 
( A `  k
)  =  0 )
2825, 27syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( A `  k
)  =  0 ) )
2915, 23, 283imtr3d 267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  <_  k  ->  ( A `  k )  =  0 ) )
3029necon3ad 2670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  k ) )
311, 30mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  k )
32 nn0re 10793 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
3332ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  e.  RR )
3418zred 10955 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  RR )
3534ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
3633, 35ltnled 9720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  <  ( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_ 
k ) )
3731, 36mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  <  ( N  +  1 ) )
3817ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  N  e.  ZZ )
39 zleltp1 10902 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  <_  N  <->  k  <  ( N  + 
1 ) ) )
4021, 38, 39syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  <_  N  <->  k  <  ( N  +  1 ) ) )
4137, 40mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  <_  N )
4241expr 615 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
4342ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
44 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) )
45 eluznn0 11140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  ->  n  e.  NN0 )
465, 44, 45syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
47 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  e.  RR )
4948adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
5034adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
5146nn0red 10842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
5249ltp1d 10465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
53 eluzle 11083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  n )
5453ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  n )
5549, 50, 51, 52, 54ltletrd 9730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  <  n )
5649, 51ltnled 9720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  <  n  <->  -.  n  <_  N ) )
5755, 56mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  -.  n  <_  N )
58 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
59 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( A `  k )  =  ( A `  n ) )
6059neeq1d 2737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  <->  ( A `  n )  =/=  0 ) )
61 breq1 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  <_  N  <->  n  <_  N ) )
6260, 61imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( ( A `  n
)  =/=  0  ->  n  <_  N ) ) )
6362rspcva 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  N )
)  ->  ( ( A `  n )  =/=  0  ->  n  <_  N ) )
6446, 58, 63syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  ->  n  <_  N ) )
6564necon1bd 2678 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( -.  n  <_  N  -> 
( A `  n
)  =  0 ) )
6657, 65mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( A `  n )  =  0 )
67 ffn 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
6867ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  A  Fn  NN0 )
69 fniniseg 5993 . . . . . . . 8  |-  ( A  Fn  NN0  ->  ( n  e.  ( `' A " { 0 } )  <-> 
( n  e.  NN0  /\  ( A `  n
)  =  0 ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( `' A " { 0 } )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ( A `
 n )  =  0 ) ) )
7146, 66, 70mpbir2and 915 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( `' A " { 0 } ) )
7271expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  n  e.  ( `' A " { 0 } ) ) )
7372ssrdv 3503 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  ( `' A " { 0 } ) )
74 funimass3 5988 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
C_  { 0 }  <-> 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
753, 12, 74syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  C_  { 0 }  <->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
7675adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
C_  { 0 }  <-> 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
7773, 76mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  C_  { 0 } )
7848ltp1d 10465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
7948, 34ltnled 9720 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  < 
( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
8078, 79mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  N )
8180adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  -.  ( N  +  1
)  <_  N )
82 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( N  +  1
) ) )
8382neeq1d 2737 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  <->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0 ) )
84 breq1 4443 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
k  <_  N  <->  ( N  +  1 )  <_  N ) )
8583, 84imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  -> 
( N  +  1 )  <_  N )
) )
8685rspcva 3205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  N )
)  ->  ( ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( N  +  1 )  <_  N ) )
875, 86sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  -> 
( N  +  1 )  <_  N )
)
8887necon1bd 2678 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( -.  ( N  +  1 )  <_  N  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  0 ) )
8981, 88mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  0 )
90 uzid 11085 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
9118, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) )
92 funfvima2 6127 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
933, 12, 92syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  ( N  +  1
) )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
9491, 93mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( A `  ( N  +  1
) )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
9594adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
9689, 95eqeltrrd 2549 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  0  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )
9796snssd 4165 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  { 0 }  C_  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
9877, 97eqssd 3514 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )
9943, 98impbida 829 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807    C_ wss 3469   {csn 4020   class class class wbr 4440   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   "cima 4995   Fun wfun 5573    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072
This theorem is referenced by:  elply2  22321  plyeq0lem  22335  coeeulem  22349  dgrlem  22354  dgrub2  22360  dgrlb  22361  coeeq2  22367  dgrle  22368  coeaddlem  22373  coemullem  22374  coe1termlem  22382  dgreq0  22389  coecj  22402  basellem2  23076
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