MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyco0 Structured version   Unicode version

Theorem plyco0 21663
Description: Two ways to say that a function on the nonnegative integers has finite support. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyco0  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem plyco0
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( A `  k )  =/=  0
)
2 ffun 5564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  Fun 
A )
32adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  Fun  A )
4 peano2nn0 10623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
6 eluznn0 10927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
76ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 ) )
85, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 ) )
98ssrdv 3365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  NN0 )
10 fdm 5566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  dom 
A  =  NN0 )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  dom  A  =  NN0 )
129, 11sseqtr4d 3396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  dom  A )
13 funfvima2 5956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
143, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
16 nn0z 10672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  e.  ZZ )
1817peano2zd 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ZZ )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
20 nn0z 10672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
2120ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  e.  ZZ )
22 eluz 10877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
k ) )
2319, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( N  +  1 )  <_  k )
)
24 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
2524eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( A `  k
)  e.  { 0 } ) )
26 fvex 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A `
 k )  e. 
_V
2726elsnc 3904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A `  k )  e.  { 0 }  <-> 
( A `  k
)  =  0 )
2825, 27syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( A `  k
)  =  0 ) )
2915, 23, 283imtr3d 267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  <_  k  ->  ( A `  k )  =  0 ) )
3029necon3ad 2647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  k ) )
311, 30mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  k )
32 nn0re 10591 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
3332ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  e.  RR )
3418zred 10750 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  RR )
3534ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
3633, 35ltnled 9524 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  <  ( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_ 
k ) )
3731, 36mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  <  ( N  +  1 ) )
3817ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  N  e.  ZZ )
39 zleltp1 10698 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  <_  N  <->  k  <  ( N  + 
1 ) ) )
4021, 38, 39syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  ( k  <_  N  <->  k  <  ( N  +  1 ) ) )
4137, 40mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( A `  k
)  =/=  0 ) )  ->  k  <_  N )
4241expr 615 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A : NN0
--> CC )  /\  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
4342ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
44 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) )
45 eluznn0 10927 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  ->  n  e.  NN0 )
465, 44, 45syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
47 nn0re 10591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  e.  RR )
4948adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
5034adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
5146nn0red 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
5249ltp1d 10266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
53 eluzle 10876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  n )
5453ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  n )
5549, 50, 51, 52, 54ltletrd 9534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  <  n )
5649, 51ltnled 9524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  <  n  <->  -.  n  <_  N ) )
5755, 56mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  -.  n  <_  N )
58 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
59 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( A `  k )  =  ( A `  n ) )
6059neeq1d 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  <->  ( A `  n )  =/=  0 ) )
61 breq1 4298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  <_  N  <->  n  <_  N ) )
6260, 61imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( ( A `  n
)  =/=  0  ->  n  <_  N ) ) )
6362rspcva 3074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  N )
)  ->  ( ( A `  n )  =/=  0  ->  n  <_  N ) )
6446, 58, 63syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  ->  n  <_  N ) )
6564necon1bd 2682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( -.  n  <_  N  -> 
( A `  n
)  =  0 ) )
6657, 65mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( A `  n )  =  0 )
67 ffn 5562 . . . . . . . . 9  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
6867ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  A  Fn  NN0 )
69 fniniseg 5827 . . . . . . . 8  |-  ( A  Fn  NN0  ->  ( n  e.  ( `' A " { 0 } )  <-> 
( n  e.  NN0  /\  ( A `  n
)  =  0 ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( `' A " { 0 } )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ( A `
 n )  =  0 ) ) )
7146, 66, 70mpbir2and 913 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  ( A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( `' A " { 0 } ) )
7271expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  n  e.  ( `' A " { 0 } ) ) )
7372ssrdv 3365 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  ( `' A " { 0 } ) )
74 funimass3 5822 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
C_  { 0 }  <-> 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
753, 12, 74syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  C_  { 0 }  <->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
7675adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
C_  { 0 }  <-> 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  ( `' A " { 0 } ) ) )
7773, 76mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  C_  { 0 } )
7848ltp1d 10266 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
7948, 34ltnled 9524 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  < 
( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
8078, 79mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  -.  ( N  +  1 )  <_  N )
8180adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  -.  ( N  +  1
)  <_  N )
82 fveq2 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( N  +  1
) ) )
8382neeq1d 2624 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  <->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0 ) )
84 breq1 4298 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
k  <_  N  <->  ( N  +  1 )  <_  N ) )
8583, 84imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  -> 
( N  +  1 )  <_  N )
) )
8685rspcva 3074 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  N )
)  ->  ( ( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( N  +  1 )  <_  N ) )
875, 86sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  (
( A `  ( N  +  1 ) )  =/=  0  -> 
( N  +  1 )  <_  N )
)
8887necon1bd 2682 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( -.  ( N  +  1 )  <_  N  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  0 ) )
8981, 88mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  0 )
90 uzid 10878 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
9118, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( N  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) )
92 funfvima2 5956 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
933, 12, 92syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  ( N  +  1
) )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
9491, 93mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( A `  ( N  +  1
) )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
9594adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  ( A "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
9689, 95eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  0  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )
9796snssd 4021 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  { 0 }  C_  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
9877, 97eqssd 3376 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  /\  A. k  e. 
NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )
9943, 98impbida 828 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718    C_ wss 3331   {csn 3880   class class class wbr 4295   `'ccnv 4842   dom cdm 4843   "cima 4846   Fun wfun 5415    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    < clt 9421    <_ cle 9422   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865
This theorem is referenced by:  elply2  21667  plyeq0lem  21681  coeeulem  21695  dgrlem  21700  dgrub2  21706  dgrlb  21707  coeeq2  21713  dgrle  21714  coeaddlem  21719  coemullem  21720  coe1termlem  21728  dgreq0  21735  coecj  21748  basellem2  22422
  Copyright terms: Public domain W3C validator