MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycn Structured version   Unicode version

Theorem plycn 22523
Description: A polynomial is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plycn  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )

Proof of Theorem plycn
Dummy variables  z 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . 4  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
2 eqid 2441 . . . 4  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
31, 2coeid 22501 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... (deg `  F
) ) ( ( (coeff `  F ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
4 eqid 2441 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54cnfldtopon 21156 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
)
7 fzfid 12057 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( 0 ... (deg `  F
) )  e.  Fin )
85a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
91coef3 22495 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (coeff `  F
) : NN0 --> CC )
10 elfznn0 11774 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  k  e.  NN0 )
11 ffvelrn 6010 . . . . . . 7  |-  ( ( (coeff `  F ) : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  k )  e.  CC )
129, 10, 11syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( (coeff `  F ) `  k
)  e.  CC )
138, 8, 12cnmptc 20029 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( (coeff `  F ) `  k
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1410adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
154expcn 21242 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ k ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^
k ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
174mulcn 21237 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
198, 13, 16, 18cnmpt12f 20033 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( ( (coeff `  F ) `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
204, 6, 7, 19fsumcn 21240 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( ( (coeff `  F
) `  k )  x.  ( z ^ k
) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
213, 20eqeltrd 2529 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
224cncfcn1 21280 . 2  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
2321, 22syl6eleqr 2540 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1802    |-> cmpt 4491   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   0cc0 9490    x. cmul 9495   NN0cn0 10796   ...cfz 11676   ^cexp 12140   sum_csu 13482   TopOpenctopn 14691  ℂfldccnfld 18288  TopOnctopon 19262    Cn ccn 19591    tX ctx 19927   -cn->ccncf 21246  Polycply 22447  coeffccoe 22449  degcdgr 22450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-0p 21943  df-ply 22451  df-coe 22453  df-dgr 22454
This theorem is referenced by:  plycpn  22550  taylthlem2  22634  ftalem3  23213  signsply0  28374
  Copyright terms: Public domain W3C validator