MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycn Structured version   Unicode version

Theorem plycn 22385
Description: A polynomial is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plycn  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )

Proof of Theorem plycn
Dummy variables  z 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . 4  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
2 eqid 2460 . . . 4  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
31, 2coeid 22363 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... (deg `  F
) ) ( ( (coeff `  F ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
4 eqid 2460 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54cnfldtopon 21018 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
)
7 fzfid 12039 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( 0 ... (deg `  F
) )  e.  Fin )
85a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
91coef3 22357 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (coeff `  F
) : NN0 --> CC )
10 elfznn0 11759 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  k  e.  NN0 )
11 ffvelrn 6010 . . . . . . 7  |-  ( ( (coeff `  F ) : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  k )  e.  CC )
129, 10, 11syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( (coeff `  F ) `  k
)  e.  CC )
138, 8, 12cnmptc 19891 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( (coeff `  F ) `  k
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1410adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
154expcn 21104 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ k ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z ^
k ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
174mulcn 21099 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
198, 13, 16, 18cnmpt12f 19895 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( ( (coeff `  F ) `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
204, 6, 7, 19fsumcn 21102 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( ( (coeff `  F
) `  k )  x.  ( z ^ k
) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
213, 20eqeltrd 2548 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
224cncfcn1 21142 . 2  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
2321, 22syl6eleqr 2559 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762    |-> cmpt 4498   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481    x. cmul 9486   NN0cn0 10784   ...cfz 11661   ^cexp 12122   sum_csu 13457   TopOpenctopn 14666  ℂfldccnfld 18184  TopOnctopon 19155    Cn ccn 19484    tX ctx 19789   -cn->ccncf 21108  Polycply 22309  coeffccoe 22311  degcdgr 22312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-0p 21805  df-ply 22313  df-coe 22315  df-dgr 22316
This theorem is referenced by:  plycpn  22412  taylthlem2  22496  ftalem3  23069  signsply0  28134
  Copyright terms: Public domain W3C validator