Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycn Structured version   Unicode version

Theorem plycn 22385
 Description: A polynomial is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plycn Poly

Proof of Theorem plycn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . 4 coeff coeff
2 eqid 2460 . . . 4 deg deg
31, 2coeid 22363 . . 3 Poly degcoeff
4 eqid 2460 . . . 4 fld fld
54cnfldtopon 21018 . . . . 5 fld TopOn
65a1i 11 . . . 4 Poly fld TopOn
7 fzfid 12039 . . . 4 Poly deg
85a1i 11 . . . . 5 Poly deg fld TopOn
91coef3 22357 . . . . . . 7 Poly coeff
10 elfznn0 11759 . . . . . . 7 deg
11 ffvelrn 6010 . . . . . . 7 coeff coeff
129, 10, 11syl2an 477 . . . . . 6 Poly deg coeff
138, 8, 12cnmptc 19891 . . . . 5 Poly deg coeff fld fld
1410adantl 466 . . . . . 6 Poly deg
154expcn 21104 . . . . . 6 fld fld
1614, 15syl 16 . . . . 5 Poly deg fld fld
174mulcn 21099 . . . . . 6 fld fld fld
1817a1i 11 . . . . 5 Poly deg fld fld fld
198, 13, 16, 18cnmpt12f 19895 . . . 4 Poly deg coeff fld fld
204, 6, 7, 19fsumcn 21102 . . 3 Poly degcoeff fld fld
213, 20eqeltrd 2548 . 2 Poly fld fld
224cncfcn1 21142 . 2 fld fld
2321, 22syl6eleqr 2559 1 Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wcel 1762   cmpt 4498  wf 5575  cfv 5579  (class class class)co 6275  cc 9479  cc0 9481   cmul 9486  cn0 10784  cfz 11661  cexp 12122  csu 13457  ctopn 14666  ℂfldccnfld 18184  TopOnctopon 19155   ccn 19484   ctx 19789  ccncf 21108  Polycply 22309  coeffccoe 22311  degcdgr 22312 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-0p 21805  df-ply 22313  df-coe 22315  df-dgr 22316 This theorem is referenced by:  plycpn  22412  taylthlem2  22496  ftalem3  23069  signsply0  28134
 Copyright terms: Public domain W3C validator