Theorem plybss 22885

Description: Reverse closure of the parameter S of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plybss	|- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Proof of Theorem plybss

Dummy variables k a n z f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 22879	. . . 4 |- Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
2	1	dmmptss 5321	. . 3 |- dom Poly C_ ~P CC
3		elfvdm 5877	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S e. dom Poly )
4	2, 3	sseldi 3442	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S e. ~P CC )
5	4	elpwid 3967	1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1407   e. wcel 1844   {cab 2389   E.wrex 2757   u. cun 3414   C_ wss 3416   ~Pcpw 3957   {csn 3974   |-> cmpt 4455   dom cdm 4825   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   ^m cmap 7459   CCcc 9522   0cc0 9524   x. cmul 9529   NN0cn0 10838   ...cfz 11728   ^cexp 12212   sum_csu 13659  Polycply 22875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fv 5579  df-ply 22879

This theorem is referenced by:  elply  22886  plyf  22889  plyssc  22891  plyaddlem  22906  plymullem  22907  plysub  22910  dgrlem  22920  coeidlem  22928  plyco  22932  plycj  22968  plyreres  22973  plydivlem3  22985  plydivlem4  22986  elmnc  35462