MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem Structured version   Unicode version

Theorem plyaddlem 22344
Description: Lemma for plyadd 22346. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plyadd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyadd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyadd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plyaddlem  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, B    x, F, y, z    S, k, x, y, z    x, A, y, z    x, G, y, z    ph, k, x, y, z    k, M, z    k, N, z
Allowed substitution hints:    A( k)    F( k)    G( k)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem plyaddlem
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 plyadd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
3 plyadd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 plyadd.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
5 plyadd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
6 plybss 22323 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
71, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
8 0cnd 9585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
98snssd 4172 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
107, 9unssd 3680 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
11 cnex 9569 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
12 ssexg 4593 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
14 nn0ex 10797 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
15 elmapg 7430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
175, 16mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
18 fss 5737 . . . . 5  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  A : NN0 --> CC )
1917, 10, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
20 plyadd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
21 elmapg 7430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2213, 14, 21sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2320, 22mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
24 fss 5737 . . . . 5  |-  ( ( B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  B : NN0 --> CC )
2523, 10, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
26 plyadd.a2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
27 plyadd.b2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
28 plyadd.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
29 plyadd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
301, 2, 3, 4, 19, 25, 26, 27, 28, 29plyaddlem1 22342 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  oF  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
31 ifcl 3981 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  NN0 )
324, 3, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  NN0 )
33 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( S  u.  { 0 } )  =  ( S  u.  { 0 } )
34 plyadd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
357, 33, 34un0addcl 10825 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  y  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
3614a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
37 inidm 3707 . . . . . 6  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
3835, 17, 23, 36, 36, 37off 6536 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  oF  +  B ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
39 elfznn0 11766 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
40 ffvelrn 6017 . . . . 5  |-  ( ( ( A  oF  +  B ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  oF  +  B ) `  k )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4138, 39, 40syl2an 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  (
( A  oF  +  B ) `  k )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4210, 32, 41elplyd 22331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  oF  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  e.  (Poly `  ( S  u.  {
0 } ) ) )
4330, 42eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
44 plyun0 22326 . 2  |-  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) )  =  (Poly `  S )
4543, 44syl6eleq 2565 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520    ^m cmap 7417   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    <_ cle 9625   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   ^cexp 12129   sum_csu 13464  Polycply 22313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-sum 13465  df-ply 22317
This theorem is referenced by:  plyadd  22346
  Copyright terms: Public domain W3C validator