MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem Structured version   Unicode version

Theorem plyaddlem 21683
Description: Lemma for plyadd 21685. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plyadd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyadd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyadd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plyaddlem  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, B    x, F, y, z    S, k, x, y, z    x, A, y, z    x, G, y, z    ph, k, x, y, z    k, M, z    k, N, z
Allowed substitution hints:    A( k)    F( k)    G( k)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem plyaddlem
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 plyadd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
3 plyadd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 plyadd.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
5 plyadd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
6 plybss 21662 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
71, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
8 0cnd 9379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
98snssd 4018 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
107, 9unssd 3532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
11 cnex 9363 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
12 ssexg 4438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
14 nn0ex 10585 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
15 elmapg 7227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
175, 16mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
18 fss 5567 . . . . 5  |-  ( ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  A : NN0 --> CC )
1917, 10, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
20 plyadd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
21 elmapg 7227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2213, 14, 21sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2320, 22mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
24 fss 5567 . . . . 5  |-  ( ( B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )  ->  B : NN0 --> CC )
2523, 10, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
26 plyadd.a2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
27 plyadd.b2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
28 plyadd.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
29 plyadd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
301, 2, 3, 4, 19, 25, 26, 27, 28, 29plyaddlem1 21681 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  oF  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
31 ifcl 3831 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  NN0 )
324, 3, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  NN0 )
33 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( S  u.  { 0 } )  =  ( S  u.  { 0 } )
34 plyadd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
357, 33, 34un0addcl 10613 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  y  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
3614a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
37 inidm 3559 . . . . . 6  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
3835, 17, 23, 36, 36, 37off 6334 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  oF  +  B ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
39 elfznn0 11481 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
40 ffvelrn 5841 . . . . 5  |-  ( ( ( A  oF  +  B ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  oF  +  B ) `  k )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4138, 39, 40syl2an 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  (
( A  oF  +  B ) `  k )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
4210, 32, 41elplyd 21670 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  oF  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  e.  (Poly `  ( S  u.  {
0 } ) ) )
4330, 42eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
44 plyun0 21665 . 2  |-  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) )  =  (Poly `  S )
4543, 44syl6eleq 2533 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    u. cun 3326    C_ wss 3328   ifcif 3791   {csn 3877   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   "cima 4843   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318    ^m cmap 7214   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    <_ cle 9419   NN0cn0 10579   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   ^cexp 11865   sum_csu 13163  Polycply 21652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-ply 21656
This theorem is referenced by:  plyadd  21685
  Copyright terms: Public domain W3C validator