MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem Structured version   Unicode version

Theorem plyaddlem 22738
Description: Lemma for plyadd 22740. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyadd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
plyadd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyadd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
plyadd.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyadd.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyadd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plyaddlem  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, B    x, F, y, z    S, k, x, y, z    x, A, y, z    x, G, y, z    ph, k, x, y, z    k, M, z    k, N, z
Allowed substitution hints:    A( k)    F( k)    G( k)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem plyaddlem
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 plyadd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
3 plyadd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 plyadd.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
5 plyadd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
6 plybss 22717 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
71, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
8 0cnd 9606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
98snssd 4177 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  CC )
107, 9unssd 3676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
11 cnex 9590 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
12 ssexg 4602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
14 nn0ex 10822 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
15 elmapg 7451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
175, 16mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
1817, 10fssd 5746 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
19 plyadd.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
20 elmapg 7451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2113, 14, 20sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2219, 21mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
2322, 10fssd 5746 . . . 4  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
24 plyadd.a2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
25 plyadd.b2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
26 plyadd.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
27 plyadd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
281, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27plyaddlem1 22736 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  oF  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
294, 3ifcld 3987 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( M  <_  N ,  N ,  M )  e.  NN0 )
30 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( S  u.  { 0 } )  =  ( S  u.  { 0 } )
31 plyadd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
327, 30, 31un0addcl 10850 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  u.  {
0 } )  /\  y  e.  ( S  u.  { 0 } ) ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
3314a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
34 inidm 3703 . . . . . 6  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
3532, 17, 22, 33, 33, 34off 6553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  oF  +  B ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
36 elfznn0 11797 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ...
if ( M  <_  N ,  N ,  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
37 ffvelrn 6030 . . . . 5  |-  ( ( ( A  oF  +  B ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  oF  +  B ) `  k )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
3835, 36, 37syl2an 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M )
) )  ->  (
( A  oF  +  B ) `  k )  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
3910, 29, 38elplyd 22725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... if ( M  <_  N ,  N ,  M ) ) ( ( ( A  oF  +  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  e.  (Poly `  ( S  u.  {
0 } ) ) )
4028, 39eqeltrd 2545 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
41 plyun0 22720 . 2  |-  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) )  =  (Poly `  S )
4240, 41syl6eleq 2555 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537    ^m cmap 7438   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   ^cexp 12169   sum_csu 13520  Polycply 22707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-ply 22711
This theorem is referenced by:  plyadd  22740
  Copyright terms: Public domain W3C validator