MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1tmcl Structured version   Unicode version

Theorem ply1tmcl 17623
Description: Closure of the expression for a univariate polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1tmcl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ply1tmcl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1tmcl.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1tmcl.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
ply1tmcl.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
ply1tmcl.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
ply1tmcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1tmcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )

Proof of Theorem ply1tmcl
StepHypRef Expression
1 ply1tmcl.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1lmod 17605 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
323ad2ant1 1002 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  P  e.  LMod )
4 simp2 982 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  C  e.  K )
51ply1rng 17601 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
6 ply1tmcl.n . . . . . 6  |-  N  =  (mulGrp `  P )
76rngmgp 16587 . . . . 5  |-  ( P  e.  Ring  ->  N  e. 
Mnd )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  N  e. 
Mnd )
983ad2ant1 1002 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  N  e.  Mnd )
10 simp3 983 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  D  e.  NN0 )
11 ply1tmcl.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
12 ply1tmcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
1311, 1, 12vr1cl 17570 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  B )
14133ad2ant1 1002 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  X  e.  B )
156, 12mgpbas 16571 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  N
)
16 ply1tmcl.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  N )
1715, 16mulgnn0cl 15623 . . 3  |-  ( ( N  e.  Mnd  /\  D  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( D  .^  X )  e.  B )
189, 10, 14, 17syl3anc 1211 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  ( D  .^  X )  e.  B )
191ply1sca2 17607 . . 3  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  P )
20 ply1tmcl.m . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  P )
21 df-base 14162 . . . 4  |-  Base  = Slot  1
22 ply1tmcl.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
2321, 22strfvi 14197 . . 3  |-  K  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
2412, 19, 20, 23lmodvscl 16889 . 2  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  C  e.  K  /\  ( D  .^  X )  e.  B )  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
253, 4, 18, 24syl3anc 1211 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    _I cid 4618   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1c1 9271   NN0cn0 10567   Basecbs 14157   .scvsca 14225   Mndcmnd 15392  .gcmg 15397  mulGrpcmgp 16565   Ringcrg 16577   LModclmod 16872  var1cv1 17527  Poly1cpl1 17528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-tset 14240  df-ple 14241  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-subg 15658  df-ghm 15725  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-subrg 16787  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-psr 17351  df-mvr 17352  df-mpl 17353  df-opsr 17359  df-psr1 17533  df-vr1 17534  df-ply1 17535
This theorem is referenced by:  coe1tm  17624  coe1tmmul2  17627  coe1tmmul  17628  deg1tmle  21474  deg1tm  21475  ply1divex  21493
  Copyright terms: Public domain W3C validator