MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1subrg Structured version   Unicode version

Theorem ply1subrg 18725
Description: Univariate polynomials form a subring of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1val.2  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
ply1bas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1subrg  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  (SubRing `  S )
)

Proof of Theorem ply1subrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
2 eqid 2429 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
3 ply1val.1 . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 ply1val.2 . . . 4  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
5 ply1bas.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
63, 4, 5ply1bas 18723 . . 3  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
7 1on 7197 . . . 4  |-  1o  e.  On
87a1i 11 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  1o  e.  On )
9 id 23 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
101, 2, 6, 8, 9mplsubrg 18599 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  (SubRing `  ( 1o mPwSer  R ) ) )
11 eqidd 2430 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
) )
124psr1val 18714 . . . 4  |-  S  =  ( ( 1o ordPwSer  R ) `
 (/) )
13 0ss 3797 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( 1o  X.  1o )
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  C_  ( 1o  X.  1o ) )
151, 12, 14opsrbas 18637 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( Base `  S ) )
161, 12, 14opsrplusg 18638 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( +g  `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( +g  `  S ) )
1716oveqdr 6329 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  /\  y  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) ) ) )  ->  ( x ( +g  `  ( 1o mPwSer  R ) ) y )  =  ( x ( +g  `  S
) y ) )
181, 12, 14opsrmulr 18639 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( .r
`  ( 1o mPwSer  R ) )  =  ( .r
`  S ) )
1918oveqdr 6329 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  /\  y  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) ) ) )  ->  ( x ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) ) y )  =  ( x ( .r `  S
) y ) )
2011, 15, 17, 19subrgpropd 17977 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (SubRing `  ( 1o mPwSer  R ) )  =  (SubRing `  S )
)
2110, 20eleqtrd 2519 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  (SubRing `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442   (/)c0 3767    X. cxp 4852   Oncon0 5442   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1oc1o 7183   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   Ringcrg 17715  SubRingcsubrg 17939   mPwSer cmps 18510   mPoly cmpl 18512  PwSer1cps1 18703  Poly1cpl1 18705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-ple 15172  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-psr 18515  df-mpl 18517  df-opsr 18519  df-psr1 18708  df-ply1 18710
This theorem is referenced by:  ply1crng  18726  ply1assa  18727  ply1ring  18776
  Copyright terms: Public domain W3C validator