MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1scln0 Structured version   Unicode version

Theorem ply1scln0 18202
Description: Nonzero scalars create nonzero polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1scl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
ply1scl0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
ply1scl0.y  |-  Y  =  ( 0g `  P
)
ply1scln0.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
ply1scln0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  X )  =/=  Y )

Proof of Theorem ply1scln0
StepHypRef Expression
1 ply1scl.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ply1scl.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (algSc `  P )
3 ply1scln0.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
51, 2, 3, 4ply1sclf1 18200 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  A : K -1-1-> ( Base `  P
) )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  A : K -1-1-> ( Base `  P
) )
7 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  X  e.  K )
8 ply1scl0.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
93, 8ring0cl 17092 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  .0.  e.  K )
11 f1fveq 6169 . . . . . 6  |-  ( ( A : K -1-1-> (
Base `  P )  /\  ( X  e.  K  /\  .0.  e.  K ) )  ->  ( ( A `  X )  =  ( A `  .0.  )  <->  X  =  .0.  ) )
126, 7, 10, 11syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  (
( A `  X
)  =  ( A `
 .0.  )  <->  X  =  .0.  ) )
1312biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  (
( A `  X
)  =  ( A `
 .0.  )  ->  X  =  .0.  )
)
1413necon3d 2691 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  ( A `  X )  =/=  ( A `  .0.  ) ) )
15143impia 1193 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  X )  =/=  ( A `  .0.  ) )
16 ply1scl0.y . . . 4  |-  Y  =  ( 0g `  P
)
171, 2, 8, 16ply1scl0 18201 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  Y )
18173ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  .0.  )  =  Y )
1915, 18neeqtrd 2762 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  X )  =/=  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594   Basecbs 14507   0gc0g 14712   Ringcrg 17070  algSccascl 17830  Poly1cpl1 18086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-tset 14591  df-ple 14592  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-ascl 17833  df-psr 17875  df-mvr 17876  df-mpl 17877  df-opsr 17879  df-psr1 18089  df-vr1 18090  df-ply1 18091  df-coe1 18092
This theorem is referenced by:  deg1scl  22382  ply1nz  22390
  Copyright terms: Public domain W3C validator