MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1scl1 Structured version   Unicode version

Theorem ply1scl1 17756
Description: The one scalar is the unit polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1scl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
ply1scl1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
ply1scl1.n  |-  N  =  ( 1r `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1scl1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .1.  )  =  N )

Proof of Theorem ply1scl1
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 ply1scl1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
31, 2rngidcl 16677 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
4 ply1scl.a . . . 4  |-  A  =  (algSc `  P )
5 ply1scl.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
65ply1sca2 17721 . . . 4  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  P )
7 df-base 14191 . . . . 5  |-  Base  = Slot  1
87, 1strfvi 14226 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (  _I  `  R ) )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
10 ply1scl1.n . . . 4  |-  N  =  ( 1r `  P
)
114, 6, 8, 9, 10asclval 17418 . . 3  |-  (  .1. 
e.  ( Base `  R
)  ->  ( A `  .1.  )  =  (  .1.  ( .s `  P ) N ) )
123, 11syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .1.  )  =  (  .1.  ( .s
`  P ) N ) )
13 fvi 5760 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  _I 
`  R )  =  R )
1413fveq2d 5707 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  (  _I  `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
1514, 2syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  (  _I  `  R ) )  =  .1.  )
1615oveq1d 6118 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  (  _I 
`  R ) ) ( .s `  P
) N )  =  (  .1.  ( .s
`  P ) N ) )
175ply1lmod 17719 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
185ply1rng 17715 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
19 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
2019, 10rngidcl 16677 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  N  e.  ( Base `  P
) )
2118, 20syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  N  e.  ( Base `  P
) )
22 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 1r
`  (  _I  `  R ) )  =  ( 1r `  (  _I  `  R ) )
2319, 6, 9, 22lmodvs1 16988 . . 3  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  N  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 1r `  (  _I  `  R ) ) ( .s `  P
) N )  =  N )
2417, 21, 23syl2anc 661 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  (  _I 
`  R ) ) ( .s `  P
) N )  =  N )
2512, 16, 243eqtr2d 2481 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .1.  )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    _I cid 4643   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   1c1 9295   Basecbs 14186   .scvsca 14254   1rcur 16615   Ringcrg 16657   LModclmod 16960  algSccascl 17395  Poly1cpl1 17645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-ofr 6333  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-tset 14269  df-ple 14270  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-mhm 15476  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mulg 15560  df-subg 15690  df-ghm 15757  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-subrg 16875  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-ascl 17398  df-psr 17435  df-mpl 17437  df-opsr 17439  df-psr1 17648  df-ply1 17650
This theorem is referenced by:  lgsqrlem1  22692  lgsqrlem4  22695  mon1pid  29585  ply1idvr1  30839  coe1id  30846  evl1at1  30862
  Copyright terms: Public domain W3C validator