MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1scl0 Structured version   Unicode version

Theorem ply1scl0 17862
Description: The zero scalar is zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1scl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
ply1scl0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
ply1scl0.y  |-  Y  =  ( 0g `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1scl0  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  Y )

Proof of Theorem ply1scl0
StepHypRef Expression
1 eqid 2452 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 ply1scl0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31, 2rng0cl 16784 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
4 ply1scl.a . . . 4  |-  A  =  (algSc `  P )
5 ply1scl.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
65ply1sca2 17827 . . . 4  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  P )
7 df-base 14292 . . . . 5  |-  Base  = Slot  1
87, 1strfvi 14327 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (  _I  `  R ) )
9 eqid 2452 . . . 4  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
10 eqid 2452 . . . 4  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
114, 6, 8, 9, 10asclval 17524 . . 3  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  R
)  ->  ( A `  .0.  )  =  (  .0.  ( .s `  P ) ( 1r
`  P ) ) )
123, 11syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  (  .0.  ( .s
`  P ) ( 1r `  P ) ) )
13 fvi 5852 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  _I 
`  R )  =  R )
1413fveq2d 5798 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  (  _I  `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
1514, 2syl6reqr 2512 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  =  ( 0g `  (  _I 
`  R ) ) )
1615oveq1d 6210 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0.  ( .s `  P
) ( 1r `  P ) )  =  ( ( 0g `  (  _I  `  R ) ) ( .s `  P ) ( 1r
`  P ) ) )
175ply1lmod 17825 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
185ply1rng 17821 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
19 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
2019, 10rngidcl 16783 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  ( 1r
`  P )  e.  ( Base `  P
) )
2118, 20syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  P )  e.  ( Base `  P
) )
22 eqid 2452 . . . 4  |-  ( 0g
`  (  _I  `  R ) )  =  ( 0g `  (  _I  `  R ) )
23 ply1scl0.y . . . 4  |-  Y  =  ( 0g `  P
)
2419, 6, 9, 22, 23lmod0vs 17099 . . 3  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( 1r `  P )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 0g `  (  _I  `  R ) ) ( .s `  P
) ( 1r `  P ) )  =  Y )
2517, 21, 24syl2anc 661 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 0g `  (  _I 
`  R ) ) ( .s `  P
) ( 1r `  P ) )  =  Y )
2612, 16, 253eqtrd 2497 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    _I cid 4734   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   1c1 9389   Basecbs 14287   .scvsca 14356   0gc0g 14492   1rcur 16720   Ringcrg 16763   LModclmod 17066  algSccascl 17501  Poly1cpl1 17752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-ofr 6426  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-hash 12216  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-tset 14371  df-ple 14372  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-mhm 15578  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-mulg 15662  df-subg 15792  df-ghm 15859  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-subrg 16981  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-ascl 17504  df-psr 17541  df-mpl 17543  df-opsr 17545  df-psr1 17755  df-ply1 17757
This theorem is referenced by:  ply1scln0  17863  evl1gsumd  17911  facth1  21764  fta1g  21767  evl1at0  31002  pmat0opsc  31171  pmat1opsc  31172  pmat1ovscd  31173  mat2pmat1  31203  cpdmatlem2  31306  cp0mat  31313  cpmadumatpolylem2  31349
  Copyright terms: Public domain W3C validator