MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1sca Structured version   Unicode version

Theorem ply1sca 17834
Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1sca  |-  ( R  e.  V  ->  R  =  (Scalar `  P )
)

Proof of Theorem ply1sca
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
21psr1sca 17831 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  R  =  (Scalar `  (PwSer1 `  R
) ) )
3 fvex 5812 . . 3  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  _V
4 ply1lmod.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
54, 1ply1val 17777 . . . 4  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
6 eqid 2454 . . . 4  |-  (Scalar `  (PwSer1 `  R ) )  =  (Scalar `  (PwSer1 `  R
) )
75, 6resssca 14438 . . 3  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  _V  ->  (Scalar `  (PwSer1 `  R
) )  =  (Scalar `  P ) )
83, 7ax-mp 5 . 2  |-  (Scalar `  (PwSer1 `  R ) )  =  (Scalar `  P )
92, 8syl6eq 2511 1  |-  ( R  e.  V  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1oc1o 7026   Basecbs 14295  Scalarcsca 14363   mPoly cmpl 17546  PwSer1cps1 17758  Poly1cpl1 17760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-tset 14379  df-ple 14380  df-psr 17549  df-opsr 17553  df-psr1 17763  df-ply1 17765
This theorem is referenced by:  ply1sca2  17835  ply1ascl  17838  coe1pwmul  17859  ply1coefsupp  17873  ply1coe  17874  evls1sca  17886  evl1vsd  17906  evl1scvarpw  17925  evl1gsummon  17927  deg1pwle  21727  deg1pw  21728  ply1remlem  21770  fta1blem  21776  plypf1  21816  ply1vr1smo  30999  ply1idvr1  31000  ply1sclrmsm  31002  smon1ply1  31014  gsumsmonply1  31015  gsummoncoe1  31016  ply10s0  31017  ply1mulgsumlem4  31021  ply1mulgsum  31022  cply1coe0bi  31024  lply1binomsc  31030  cpmatacl  31225  cpmatinvcl  31226  mat2pmatbas  31235  mat2pmatghm  31239  mat2pmatmul  31240  mat2pmatlin  31244  decpmatid  31277  pmatcollpw2lem  31284  monmatcollpw  31286  pmatcollpwlem  31287  pmatcollpwscmatlem1  31296  pm2mpcl  31304  idpm2idmp  31308  mply1topmatcllem  31310  mply1topmatcl  31312  mp2pm2mplem2  31314  mp2pm2mplem4  31316  mp2pm2mplem5  31317  pm2mpghmlem2  31319  pm2mpghm  31323  pm2mpmhmlem1  31325  pm2mpmhmlem2  31326  monmat2matmon  31330  cpscmat  31348  cpscmatgsumbin  31350  cpscmatgsummon  31351
  Copyright terms: Public domain W3C validator