MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1rng Structured version   Unicode version

Theorem ply1rng 17678
Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1rng.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1rng  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )

Proof of Theorem ply1rng
StepHypRef Expression
1 ply1rng.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 eqid 2441 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
3 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
41, 2, 3ply1bas 17627 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
51, 2, 3ply1subrg 17629 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
64, 5syl5eqelr 2526 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
71, 2ply1val 17626 . . 3  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
87subrgrng 16848 . 2  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) )  ->  P  e.  Ring )
96, 8syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1oc1o 6909   Basecbs 14170   Ringcrg 16635  SubRingcsubrg 16841   mPoly cmpl 17398  PwSer1cps1 17607  Poly1cpl1 17609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-tset 14253  df-ple 14254  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-subrg 16843  df-psr 17401  df-mpl 17403  df-opsr 17405  df-psr1 17612  df-ply1 17614
This theorem is referenced by:  coe1z  17692  coe1add  17693  coe1subfv  17695  ply1tmcl  17700  coe1pwmul  17707  ply1sclf  17713  ply1scl0  17717  ply1scl1  17719  evls1sca  17731  evl1expd  17748  deg1addle2  21533  deg1add  21534  deg1suble  21538  deg1sub  21539  deg1sublt  21541  deg1mul2  21545  deg1mul3  21546  deg1mul3le  21547  deg1pwle  21550  deg1pw  21551  ply1nz  21552  ply1domn  21554  ply1divmo  21566  ply1divex  21567  uc1pmon1p  21582  r1pcl  21588  r1pid  21590  dvdsq1p  21591  dvdsr1p  21592  ply1remlem  21593  ply1rem  21594  ig1peu  21602  ig1pval2  21604  ig1pdvds  21607  ig1prsp  21608  ply1lpir  21609  plypf1  21639  lgsqrlem2  22640  lgsqrlem3  22641  lgsqrlem4  22642  hbtlem2  29405  hbtlem4  29407  hbtlem5  29409  hbtlem6  29410  hbt  29411  idomrootle  29485  ply1moncl  30727  ply1sclrmsm  30730  ply1coefsupp  30735  lply1binom  30736  lply1binomsc  30737  linply1  30738
  Copyright terms: Public domain W3C validator