MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1rng Structured version   Unicode version

Theorem ply1rng 17725
Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1rng.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1rng  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )

Proof of Theorem ply1rng
StepHypRef Expression
1 ply1rng.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
41, 2, 3ply1bas 17673 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
51, 2, 3ply1subrg 17675 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
64, 5syl5eqelr 2528 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
71, 2ply1val 17672 . . 3  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
87subrgrng 16890 . 2  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) )  ->  P  e.  Ring )
96, 8syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   1oc1o 6934   Basecbs 14195   Ringcrg 16667  SubRingcsubrg 16883   mPoly cmpl 17442  PwSer1cps1 17653  Poly1cpl1 17655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-ofr 6342  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-hash 12125  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-tset 14278  df-ple 14279  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-mhm 15485  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-ghm 15766  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-subrg 16885  df-psr 17445  df-mpl 17447  df-opsr 17449  df-psr1 17658  df-ply1 17660
This theorem is referenced by:  coe1z  17739  coe1add  17740  coe1subfv  17742  ply1tmcl  17747  coe1pwmul  17754  ply1sclf  17760  ply1scl0  17764  ply1scl1  17766  ply1coefsupp  17767  ply1coe  17768  evls1sca  17780  evls1gsumadd  17781  evl1expd  17801  evl1gsumdlem  17812  evl1scvarpw  17819  evl1scvarpwval  17820  evl1gsummon  17821  deg1addle2  21596  deg1add  21597  deg1suble  21601  deg1sub  21602  deg1sublt  21604  deg1mul2  21608  deg1mul3  21609  deg1mul3le  21610  deg1pwle  21613  deg1pw  21614  ply1nz  21615  ply1domn  21617  ply1divmo  21629  ply1divex  21630  uc1pmon1p  21645  r1pcl  21651  r1pid  21653  dvdsq1p  21654  dvdsr1p  21655  ply1remlem  21656  ply1rem  21657  ig1peu  21665  ig1pval2  21667  ig1pdvds  21670  ig1prsp  21671  ply1lpir  21672  plypf1  21702  lgsqrlem2  22703  lgsqrlem3  22704  lgsqrlem4  22705  hbtlem2  29506  hbtlem4  29508  hbtlem5  29510  hbtlem6  29511  hbt  29512  idomrootle  29586  ply1moncl  30859  ply1sclrmsm  30862  coe1fzgsumdlem  30870  mon1ply1  30873  gsumsmonply1  30875  gsummoncoe1  30876  ply1mulgsumlem4  30880  ply1mulgsum  30881  cply1coe0bi  30883  lply1binom  30887  lply1binomsc  30888  linply1  30889  pmatrng  31049  pmatlmod  31050  pmat0op  31051  pmat1op  31052  pmat1ovd  31053  cnstpmatacl  31068  cnstpmatinvcl  31069  cnstpmatmcllem  31070  cnstpmatmcl  31071  cnstpmatsubgpmat  31072  cnstpmatsrgpmat  31073  mat2pmatbas  31077  mat2pmatghm  31081  mat2pmatmhmlem1  31082  mat2pmatmhmlem2  31083  mat2pmatmhm  31084  mat2pmatrhm  31085  mat2pmatlin  31086  m2pmsmpxcl  31091  m2pminv2  31101  mply1topmatcllem  31108  mply1topmatcl  31110  pmatcollpw1id  31114  pmatcollpw1dstlem1  31115  pmatcollpw1dst  31116  pmatcollpw1lem4  31117  pmatcollpw1  31119  pmatcollpw2lem  31120  pmatcollpw2  31121  pmattomply1ghmlem1  31122  pmattomply1rn  31127  idpmattoidmply1  31130  mp2pm2mplem2  31132  mp2pm2mplem4  31134  mp2pm2mp  31136  pmattomply1ghm  31140  pmattomply1mhmlem0  31142  pmattomply1mhmlem1  31143  pmattomply1mhmlem2  31144  pmattomply1mhm  31145  pmattomply1rhm  31146  pmattomply1rngiso  31147
  Copyright terms: Public domain W3C validator