Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1rem Unicode version

Theorem ply1rem 20039
 Description: The polynomial remainder theorem, or little Bézout's theorem (by contrast to the regular Bézout's theorem bezout 12997). If a polynomial is divided by the linear factor , the remainder is equal to , the evaluation of the polynomial at (interpreted as a constant polynomial). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p Poly1
ply1rem.b
ply1rem.k
ply1rem.x var1
ply1rem.m
ply1rem.a algSc
ply1rem.g
ply1rem.o eval1
ply1rem.1 NzRing
ply1rem.2
ply1rem.3
ply1rem.4
ply1rem.e rem1p
Assertion
Ref Expression
ply1rem

Proof of Theorem ply1rem
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . . . . . . 9 NzRing
2 nzrrng 16287 . . . . . . . . 9 NzRing
31, 2syl 16 . . . . . . . 8
4 ply1rem.4 . . . . . . . 8
5 ply1rem.p . . . . . . . . . . 11 Poly1
6 ply1rem.b . . . . . . . . . . 11
7 ply1rem.k . . . . . . . . . . 11
8 ply1rem.x . . . . . . . . . . 11 var1
9 ply1rem.m . . . . . . . . . . 11
10 ply1rem.a . . . . . . . . . . 11 algSc
11 ply1rem.g . . . . . . . . . . 11
12 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11 eval1
13 ply1rem.2 . . . . . . . . . . 11
14 ply1rem.3 . . . . . . . . . . 11
15 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11 Monic1p Monic1p
16 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11 deg1 deg1
17 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 20038 . . . . . . . . . 10 Monic1p deg1
1918simp1d 969 . . . . . . . . 9 Monic1p
20 eqid 2404 . . . . . . . . . 10 Unic1p Unic1p
2120, 15mon1puc1p 20026 . . . . . . . . 9 Monic1p Unic1p
223, 19, 21syl2anc 643 . . . . . . . 8 Unic1p
23 ply1rem.e . . . . . . . . 9 rem1p
2423, 5, 6, 20, 16r1pdeglt 20034 . . . . . . . 8 Unic1p deg1 deg1
253, 4, 22, 24syl3anc 1184 . . . . . . 7 deg1 deg1
2618simp2d 970 . . . . . . 7 deg1
2725, 26breqtrd 4196 . . . . . 6 deg1
28 1e0p1 10366 . . . . . 6
2927, 28syl6breq 4211 . . . . 5 deg1
30 0nn0 10192 . . . . . 6
31 nn0leltp1 10289 . . . . . 6 deg1 deg1 deg1
3230, 31mpan2 653 . . . . 5 deg1 deg1 deg1
3329, 32syl5ibrcom 214 . . . 4 deg1 deg1
34 elsni 3798 . . . . . 6 deg1 deg1
35 0xr 9087 . . . . . . 7
36 mnfle 10685 . . . . . . 7
3735, 36ax-mp 8 . . . . . 6
3834, 37syl6eqbr 4209 . . . . 5 deg1 deg1
3938a1i 11 . . . 4 deg1 deg1
4023, 5, 6, 20r1pcl 20033 . . . . . . 7 Unic1p
413, 4, 22, 40syl3anc 1184 . . . . . 6
4216, 5, 6deg1cl 19959 . . . . . 6 deg1
4341, 42syl 16 . . . . 5 deg1
44 elun 3448 . . . . 5 deg1 deg1 deg1
4543, 44sylib 189 . . . 4 deg1 deg1
4633, 39, 45mpjaod 371 . . 3 deg1
4716, 5, 6, 10deg1le0 19987 . . . 4 deg1 coe1
483, 41, 47syl2anc 643 . . 3 deg1 coe1
4946, 48mpbid 202 . 2 coe1
50 eqid 2404 . . . . . . . . 9 quot1p quot1p
51 eqid 2404 . . . . . . . . 9
52 eqid 2404 . . . . . . . . 9
535, 6, 20, 50, 23, 51, 52r1pid 20035 . . . . . . . 8 Unic1p quot1p
543, 4, 22, 53syl3anc 1184 . . . . . . 7 quot1p
5554fveq2d 5691 . . . . . 6 quot1p
56 eqid 2404 . . . . . . . . . 10 s s
5712, 5, 56, 7evl1rhm 19902 . . . . . . . . 9 RingHom s
5813, 57syl 16 . . . . . . . 8 RingHom s
59 rhmghm 15781 . . . . . . . 8 RingHom s s
6058, 59syl 16 . . . . . . 7 s
615ply1rng 16597 . . . . . . . . 9
623, 61syl 16 . . . . . . . 8
6350, 5, 6, 20q1pcl 20031 . . . . . . . . 9 Unic1p quot1p
643, 4, 22, 63syl3anc 1184 . . . . . . . 8 quot1p
655, 6, 15mon1pcl 20020 . . . . . . . . 9 Monic1p
6619, 65syl 16 . . . . . . . 8
676, 51rngcl 15632 . . . . . . . 8 quot1p quot1p
6862, 64, 66, 67syl3anc 1184 . . . . . . 7 quot1p
69 eqid 2404 . . . . . . . 8 s s
706, 52, 69ghmlin 14966 . . . . . . 7 s quot1p quot1p quot1p s
7160, 68, 41, 70syl3anc 1184 . . . . . 6 quot1p quot1p s
72 eqid 2404 . . . . . . 7 s s
73 fvex 5701 . . . . . . . . 9
747, 73eqeltri 2474 . . . . . . . 8
7574a1i 11 . . . . . . 7
766, 72rhmf 15782 . . . . . . . . 9 RingHom s s
7758, 76syl 16 . . . . . . . 8 s
7877, 68ffvelrnd 5830 . . . . . . 7 quot1p s
7977, 41ffvelrnd 5830 . . . . . . 7 s
80 eqid 2404 . . . . . . 7
8156, 72, 1, 75, 78, 79, 80, 69pwsplusgval 13667 . . . . . 6 quot1p s quot1p
8255, 71, 813eqtrd 2440 . . . . 5 quot1p
8382fveq1d 5689 . . . 4 quot1p
8456, 7, 72, 1, 75, 78pwselbas 13666 . . . . . . 7 quot1p
85 ffn 5550 . . . . . . 7 quot1p quot1p
8684, 85syl 16 . . . . . 6 quot1p
8756, 7, 72, 1, 75, 79pwselbas 13666 . . . . . . 7
88 ffn 5550 . . . . . . 7
8987, 88syl 16 . . . . . 6
90 fnfvof 6276 . . . . . 6 quot1p quot1p quot1p
9186, 89, 75, 14, 90syl22anc 1185 . . . . 5 quot1p quot1p
92 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11 s s
936, 51, 92rhmmul 15783 . . . . . . . . . 10 RingHom s quot1p quot1p quot1p s
9458, 64, 66, 93syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 quot1p quot1p s
9577, 64ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10 quot1p s
9677, 66ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10 s
97 eqid 2404 . . . . . . . . . 10
9856, 72, 1, 75, 95, 96, 97, 92pwsmulrval 13668 . . . . . . . . 9 quot1p s quot1p
9994, 98eqtrd 2436 . . . . . . . 8 quot1p quot1p
10099fveq1d 5689 . . . . . . 7 quot1p quot1p
10156, 7, 72, 1, 75, 95pwselbas 13666 . . . . . . . . 9 quot1p
102 ffn 5550 . . . . . . . . 9 quot1p quot1p
103101, 102syl 16 . . . . . . . 8 quot1p
10456, 7, 72, 1, 75, 96pwselbas 13666 . . . . . . . . 9
105 ffn 5550 . . . . . . . . 9
106104, 105syl 16 . . . . . . . 8
107 fnfvof 6276 . . . . . . . 8 quot1p quot1p quot1p
108103, 106, 75, 14, 107syl22anc 1185 . . . . . . 7 quot1p quot1p
109 snidg 3799 . . . . . . . . . . . . 13
11014, 109syl 16 . . . . . . . . . . . 12
11118simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12
112110, 111eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . 11
113 fniniseg 5810 . . . . . . . . . . . 12
114106, 113syl 16 . . . . . . . . . . 11
115112, 114mpbid 202 . . . . . . . . . 10
116115simprd 450 . . . . . . . . 9
117116oveq2d 6056 . . . . . . . 8 quot1p quot1p
118101, 14ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9 quot1p
1197, 97, 17rngrz 15656 . . . . . . . . 9 quot1p quot1p
1203, 118, 119syl2anc 643 . . . . . . . 8 quot1p
121117, 120eqtrd 2436 . . . . . . 7 quot1p
122100, 108, 1213eqtrd 2440 . . . . . 6 quot1p
123122oveq1d 6055 . . . . 5 quot1p
124 rnggrp 15624 . . . . . . 7
1253, 124syl 16 . . . . . 6
12687, 14ffvelrnd 5830 . . . . . 6
1277, 80, 17grplid 14790 . . . . . 6
128125, 126, 127syl2anc 643 . . . . 5
12991, 123, 1283eqtrd 2440 . . . 4 quot1p
13049fveq2d 5691 . . . . . . 7 coe1
131 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
132131, 6, 5, 7coe1f 16564 . . . . . . . . . 10 coe1
13341, 132syl 16 . . . . . . . . 9 coe1
134 ffvelrn 5827 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
135133, 30, 134sylancl 644 . . . . . . . 8 coe1
13612, 5, 7, 10evl1sca 19903 . . . . . . . 8 coe1 coe1 coe1
13713, 135, 136syl2anc 643 . . . . . . 7 coe1 coe1
138130, 137eqtrd 2436 . . . . . 6 coe1
139138fveq1d 5689 . . . . 5 coe1
140 fvex 5701 . . . . . . 7 coe1
141140fvconst2 5906 . . . . . 6 coe1 coe1
14214, 141syl 16 . . . . 5 coe1 coe1
143139, 142eqtrd 2436 . . . 4 coe1
14483, 129, 1433eqtrd 2440 . . 3 coe1
145144fveq2d 5691 . 2 coe1
14649, 145eqtr4d 2439 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  cvv 2916   cun 3278  csn 3774   class class class wbr 4172   cxp 4835  ccnv 4836  cima 4840   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040   cof 6262  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmnf 9074  cxr 9075   clt 9076   cle 9077  cn0 10177  cbs 13424   cplusg 13484  cmulr 13485   s cpws 13625  c0g 13678  cgrp 14640  csg 14643   cghm 14958  crg 15615  ccrg 15616   RingHom crh 15772  NzRingcnzr 16283  algSccascl 16326  var1cv1 16525  Poly1cpl1 16526  eval1ce1 16528  coe1cco1 16529   deg1 cdg1 19930  Monic1pcmn1 20001  Unic1pcuc1p 20002  quot1pcq1p 20003  rem1pcr1p 20004 This theorem is referenced by:  facth1  20040 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-nzr 16284  df-rlreg 16298  df-assa 16327  df-asp 16328  df-ascl 16329  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374  df-evls 16375  df-evl 16376  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-vr1 16532  df-ply1 16533  df-evl1 16535  df-coe1 16536  df-cnfld 16659  df-mdeg 19931  df-deg1 19932  df-mon1 20006  df-uc1p 20007  df-q1p 20008  df-r1p 20009
 Copyright terms: Public domain W3C validator