MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgfvi Structured version   Unicode version

Theorem ply1plusgfvi 18410
Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ply1plusgfvi  |-  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )

Proof of Theorem ply1plusgfvi
StepHypRef Expression
1 fvi 5930 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  (  _I  `  R )  =  R )
21fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (Poly1 `  (  _I  `  R ) )  =  (Poly1 `  R
) )
32fveq2d 5876 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) ) )
4 eqid 2457 . . . . . 6  |-  (Poly1 `  (/) )  =  (Poly1 `  (/) )
5 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  (/) )  =  ( 1o mPoly  (/) )
6 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )
74, 5, 6ply1plusg 18393 . . . . 5  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly 
(/) ) )
8 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 1o mPwSer  (/) )  =  ( 1o mPwSer  (/) )
9 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly 
(/) ) )
105, 8, 9mplplusg 18388 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
11 base0 14685 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
12 psr1baslem 18351 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
13 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( Base `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
14 1on 7155 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  On
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  1o  e.  On )
168, 11, 12, 13, 15psrbas 18157 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( Base `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )  =  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) ) )
1716trud 1404 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )
18 0nn0 10831 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
1918fconst6 5781 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o 
X.  { 0 } ) : 1o --> NN0
20 nn0ex 10822 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
2114elexi 3119 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
2220, 21elmap 7466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
0 } ) : 1o --> NN0 )
2319, 22mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 
X.  { 0 } )  e.  ( NN0 
^m  1o )
24 ne0i 3799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( NN0  ^m  1o )  =/=  (/) )
25 map0b 7476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  =/=  (/)  ->  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )  =  (/) )
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )  =  (/)
2717, 26eqtr2i 2487 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )
28 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (/) )  =  ( +g  `  (/) )
29 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
308, 27, 28, 29psrplusg 18161 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  ( (/)  X.  (/) ) )
31 xp0 5432 . . . . . . 7  |-  ( (/)  X.  (/) )  =  (/)
3231reseq2i 5280 . . . . . 6  |-  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  ( (/)  X.  (/) ) )  =  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  (/) )
3310, 30, 323eqtri 2490 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  (/) )
34 res0 5288 . . . . . 6  |-  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  (/) )  =  (/)
35 df-plusg 14725 . . . . . . 7  |-  +g  = Slot  2
3635str0 14684 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
3734, 36eqtri 2486 . . . . 5  |-  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  (/) )  =  ( +g  `  (/) )
387, 33, 373eqtri 2490 . . . 4  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  (/) )
39 fvprc 5866 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (  _I  `  R )  =  (/) )
4039fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  (  _I  `  R
) )  =  (Poly1 `  (/) ) )
4140fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) ) )
42 fvprc 5866 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  R )  =  (/) )
4342fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  R
) )  =  ( +g  `  (/) ) )
4438, 41, 433eqtr4a 2524 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) ) )
453, 44pm2.61i 164 . 2  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )
4645eqcomi 2470 1  |-  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   {csn 4032    _I cid 4799   Oncon0 4887    X. cxp 5006    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   1oc1o 7141    ^m cmap 7438   0cc0 9509   2c2 10606   NN0cn0 10816   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   mPwSer cmps 18127   mPoly cmpl 18129  Poly1cpl1 18343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-tset 14731  df-ple 14732  df-psr 18132  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-psr1 18346  df-ply1 18348
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator