MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgfvi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ply1plusgfvi 18912
Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ply1plusgfvi  |-  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )

Proof of Theorem ply1plusgfvi
StepHypRef Expression
1 fvi 5937 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  (  _I  `  R )  =  R )
21fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (Poly1 `  (  _I  `  R ) )  =  (Poly1 `  R
) )
32fveq2d 5883 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) ) )
4 eqid 2471 . . . . . 6  |-  (Poly1 `  (/) )  =  (Poly1 `  (/) )
5 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  (/) )  =  ( 1o mPoly  (/) )
6 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )
74, 5, 6ply1plusg 18895 . . . . 5  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly 
(/) ) )
8 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( 1o mPwSer  (/) )  =  ( 1o mPwSer  (/) )
9 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly 
(/) ) )
105, 8, 9mplplusg 18890 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
11 base0 15240 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
12 psr1baslem 18855 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
13 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( Base `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
14 1on 7207 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  On
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  1o  e.  On )
168, 11, 12, 13, 15psrbas 18679 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( Base `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )  =  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) ) )
1716trud 1461 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )
18 0nn0 10908 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
1918fconst6 5786 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o 
X.  { 0 } ) : 1o --> NN0
20 nn0ex 10899 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
2114elexi 3041 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
2220, 21elmap 7518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
0 } ) : 1o --> NN0 )
2319, 22mpbir 214 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 
X.  { 0 } )  e.  ( NN0 
^m  1o )
24 ne0i 3728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( NN0  ^m  1o )  =/=  (/) )
25 map0b 7528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  =/=  (/)  ->  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )  =  (/) )
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )  =  (/)
2717, 26eqtr2i 2494 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )
28 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (/) )  =  ( +g  `  (/) )
29 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
308, 27, 28, 29psrplusg 18682 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  ( (/)  X.  (/) ) )
31 xp0 5261 . . . . . . 7  |-  ( (/)  X.  (/) )  =  (/)
3231reseq2i 5108 . . . . . 6  |-  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  ( (/)  X.  (/) ) )  =  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  (/) )
3310, 30, 323eqtri 2497 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  (/) )
34 res0 5115 . . . . . 6  |-  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  (/) )  =  (/)
35 df-plusg 15281 . . . . . . 7  |-  +g  = Slot  2
3635str0 15239 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
3734, 36eqtri 2493 . . . . 5  |-  (  oF ( +g  `  (/) )  |`  (/) )  =  ( +g  `  (/) )
387, 33, 373eqtri 2497 . . . 4  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  (/) )
39 fvprc 5873 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (  _I  `  R )  =  (/) )
4039fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  (  _I  `  R
) )  =  (Poly1 `  (/) ) )
4140fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) ) )
42 fvprc 5873 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  R )  =  (/) )
4342fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  R
) )  =  ( +g  `  (/) ) )
4438, 41, 433eqtr4a 2531 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) ) )
453, 44pm2.61i 169 . 2  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )
4645eqcomi 2480 1  |-  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   {csn 3959    _I cid 4749    X. cxp 4837    |` cres 4841   Oncon0 5430   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   1oc1o 7193    ^m cmap 7490   0cc0 9557   2c2 10681   NN0cn0 10893   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   mPwSer cmps 18652   mPoly cmpl 18654  Poly1cpl1 18847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-tset 15287  df-ple 15288  df-psr 18657  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-psr1 18850  df-ply1 18852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator