MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1nz Structured version   Unicode version

Theorem ply1nz 22252
Description: Univariate polynomials over a nonzero ring are a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1nz  |-  ( R  e. NzRing  ->  P  e. NzRing )

Proof of Theorem ply1nz
StepHypRef Expression
1 nzrrng 17686 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
2 ply1domn.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1rng 18055 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( R  e. NzRing  ->  P  e.  Ring )
5 eqid 2462 . . . . . 6  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
6 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
82, 5, 6, 7ply1sclf 18092 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (algSc `  P ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  P )
)
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  (algSc `  P
) : ( Base `  R ) --> ( Base `  P ) )
10 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
116, 10rngidcl 17001 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
121, 11syl 16 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )
)
139, 12ffvelrnd 6015 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  P
) )
14 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
1510, 14nzrnz 17685 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
16 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
172, 5, 14, 16, 6ply1scln0 18098 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  =/=  ( 0g `  P ) )
181, 12, 15, 17syl3anc 1223 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  =/=  ( 0g `  P ) )
19 eldifsn 4147 . . 3  |-  ( ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R
) )  e.  ( ( Base `  P
)  \  { ( 0g `  P ) } )  <->  ( ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  =/=  ( 0g `  P ) ) )
2013, 18, 19sylanbrc 664 . 2  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( ( Base `  P )  \  {
( 0g `  P
) } ) )
2116, 7rngelnzr 17690 . 2  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
(algSc `  P ) `  ( 1r `  R
) )  e.  ( ( Base `  P
)  \  { ( 0g `  P ) } ) )  ->  P  e. NzRing )
224, 20, 21syl2anc 661 1  |-  ( R  e. NzRing  ->  P  e. NzRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657    \ cdif 3468   {csn 4022   -->wf 5577   ` cfv 5581   Basecbs 14481   0gc0g 14686   1rcur 16938   Ringcrg 16981  NzRingcnzr 17682  algSccascl 17726  Poly1cpl1 17982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-ofr 6518  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-tset 14565  df-ple 14566  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-subrg 17205  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-nzr 17683  df-ascl 17729  df-psr 17771  df-mvr 17772  df-mpl 17773  df-opsr 17775  df-psr1 17985  df-vr1 17986  df-ply1 17987  df-coe1 17988
This theorem is referenced by:  ply1nzb  22253  ply1domn  22254  mon1pid  30761  mon1psubm  30762
  Copyright terms: Public domain W3C validator