MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1nz Structured version   Unicode version

Theorem ply1nz 22812
Description: Univariate polynomials over a nonzero ring are a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1nz  |-  ( R  e. NzRing  ->  P  e. NzRing )

Proof of Theorem ply1nz
StepHypRef Expression
1 nzrring 18227 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
2 ply1domn.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1ring 18607 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( R  e. NzRing  ->  P  e.  Ring )
5 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
6 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
82, 5, 6, 7ply1sclf 18644 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (algSc `  P ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  P )
)
91, 8syl 17 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  (algSc `  P
) : ( Base `  R ) --> ( Base `  P ) )
10 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
116, 10ringidcl 17537 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
121, 11syl 17 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )
)
139, 12ffvelrnd 6009 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  P
) )
14 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
1510, 14nzrnz 18226 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
16 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
172, 5, 14, 16, 6ply1scln0 18650 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  =/=  ( 0g `  P ) )
181, 12, 15, 17syl3anc 1230 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  =/=  ( 0g `  P ) )
19 eldifsn 4096 . . 3  |-  ( ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R
) )  e.  ( ( Base `  P
)  \  { ( 0g `  P ) } )  <->  ( ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  =/=  ( 0g `  P ) ) )
2013, 18, 19sylanbrc 662 . 2  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( ( Base `  P )  \  {
( 0g `  P
) } ) )
2116, 7ringelnzr 18232 . 2  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
(algSc `  P ) `  ( 1r `  R
) )  e.  ( ( Base `  P
)  \  { ( 0g `  P ) } ) )  ->  P  e. NzRing )
224, 20, 21syl2anc 659 1  |-  ( R  e. NzRing  ->  P  e. NzRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    \ cdif 3410   {csn 3971   -->wf 5564   ` cfv 5568   Basecbs 14839   0gc0g 15052   1rcur 17471   Ringcrg 17516  NzRingcnzr 18223  algSccascl 18278  Poly1cpl1 18534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-tset 14926  df-ple 14927  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-nzr 18224  df-ascl 18281  df-psr 18323  df-mvr 18324  df-mpl 18325  df-opsr 18327  df-psr1 18537  df-vr1 18538  df-ply1 18539  df-coe1 18540
This theorem is referenced by:  ply1nzb  22813  ply1domn  22814  mon1pid  35509  mon1psubm  35510
  Copyright terms: Public domain W3C validator