MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mulr Structured version   Unicode version

Theorem ply1mulr 18039
Description: Value of multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1plusg.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
ply1plusg.s  |-  S  =  ( 1o mPoly  R )
ply1mulr.n  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
Assertion
Ref Expression
ply1mulr  |-  .x.  =  ( .r `  S )

Proof of Theorem ply1mulr
StepHypRef Expression
1 ply1mulr.n . 2  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
2 ply1plusg.s . . . 4  |-  S  =  ( 1o mPoly  R )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
52, 3, 4mplmulr 18033 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
6 eqid 2467 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
7 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  (PwSer1 `  R ) )
86, 3, 7psr1mulr 18036 . . 3  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
9 fvex 5874 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  _V
10 ply1plusg.y . . . . . 6  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
1110, 6ply1val 18004 . . . . 5  |-  Y  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
1211, 7ressmulr 14604 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  _V  ->  ( .r `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  Y
) )
139, 12ax-mp 5 . . 3  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  Y )
145, 8, 133eqtr2i 2502 . 2  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  Y
)
151, 14eqtr4i 2499 1  |-  .x.  =  ( .r `  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1oc1o 7120   Basecbs 14486   .rcmulr 14552   mPwSer cmps 17771   mPoly cmpl 17773  PwSer1cps1 17985  Poly1cpl1 17987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-mulr 14565  df-ple 14571  df-psr 17776  df-mpl 17778  df-opsr 17780  df-psr1 17990  df-ply1 17992
This theorem is referenced by:  ressply1mul  18043  subrgply1  18045  ply1opprmul  18051  ply1mpl1  18069  coe1mul  18082  coe1tm  18085  ply1coe  18108  ply1coeOLD  18109  evls1rhm  18130  evl1rhm  18139  deg1mulle2  22245  ply1ass23l  32055
  Copyright terms: Public domain W3C validator