MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mulr Structured version   Unicode version

Theorem ply1mulr 18588
Description: Value of multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1plusg.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
ply1plusg.s  |-  S  =  ( 1o mPoly  R )
ply1mulr.n  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
Assertion
Ref Expression
ply1mulr  |-  .x.  =  ( .r `  S )

Proof of Theorem ply1mulr
StepHypRef Expression
1 ply1mulr.n . 2  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
2 ply1plusg.s . . . 4  |-  S  =  ( 1o mPoly  R )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
52, 3, 4mplmulr 18582 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
6 eqid 2402 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
7 eqid 2402 . . . 4  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  (PwSer1 `  R ) )
86, 3, 7psr1mulr 18585 . . 3  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
9 fvex 5859 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  _V
10 ply1plusg.y . . . . . 6  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
1110, 6ply1val 18553 . . . . 5  |-  Y  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
1211, 7ressmulr 14966 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  _V  ->  ( .r `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  Y
) )
139, 12ax-mp 5 . . 3  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  Y )
145, 8, 133eqtr2i 2437 . 2  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  Y
)
151, 14eqtr4i 2434 1  |-  .x.  =  ( .r `  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1oc1o 7160   Basecbs 14841   .rcmulr 14910   mPwSer cmps 18320   mPoly cmpl 18322  PwSer1cps1 18534  Poly1cpl1 18536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-mulr 14923  df-ple 14929  df-psr 18325  df-mpl 18327  df-opsr 18329  df-psr1 18539  df-ply1 18541
This theorem is referenced by:  ressply1mul  18592  subrgply1  18594  ply1opprmul  18600  ply1mpl1  18618  coe1mul  18631  coe1tm  18634  ply1coe  18657  ply1coeOLD  18658  evls1rhm  18679  evl1rhm  18688  deg1mulle2  22802  ply1ass23l  38493
  Copyright terms: Public domain W3C validator