MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mulr Structured version   Unicode version

Theorem ply1mulr 17657
Description: Value of multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1plusg.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
ply1plusg.s  |-  S  =  ( 1o mPoly  R )
ply1mulr.n  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
Assertion
Ref Expression
ply1mulr  |-  .x.  =  ( .r `  S )

Proof of Theorem ply1mulr
StepHypRef Expression
1 ply1mulr.n . 2  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
2 ply1plusg.s . . . 4  |-  S  =  ( 1o mPoly  R )
3 eqid 2441 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
4 eqid 2441 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
52, 3, 4mplmulr 17651 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
6 eqid 2441 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
7 eqid 2441 . . . 4  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  (PwSer1 `  R ) )
86, 3, 7psr1mulr 17654 . . 3  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
9 fvex 5698 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  _V
10 ply1plusg.y . . . . . 6  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
1110, 6ply1val 17626 . . . . 5  |-  Y  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
1211, 7ressmulr 14287 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  _V  ->  ( .r `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  Y
) )
139, 12ax-mp 5 . . 3  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  Y )
145, 8, 133eqtr2i 2467 . 2  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  Y
)
151, 14eqtr4i 2464 1  |-  .x.  =  ( .r `  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1oc1o 6909   Basecbs 14170   .rcmulr 14235   mPwSer cmps 17396   mPoly cmpl 17398  PwSer1cps1 17607  Poly1cpl1 17609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-mulr 14248  df-ple 14254  df-psr 17401  df-mpl 17403  df-opsr 17405  df-psr1 17612  df-ply1 17614
This theorem is referenced by:  ressply1mul  17661  subrgply1  17663  ply1opprmul  17669  ply1mpl1  17686  coe1mul  17699  coe1tm  17701  ply1coe  17720  evls1rhm  17730  evl1rhm  17736  deg1mulle2  21540  ply1ass23l  30729
  Copyright terms: Public domain W3C validator