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Theorem ply1mulgsumlem2 30987
Description: Lemma 2 for ply1mulgsum 30990. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1mulgsum.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1mulgsum.a  |-  A  =  (coe1 `  K )
ply1mulgsum.c  |-  C  =  (coe1 `  L )
ply1mulgsum.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1mulgsum.pm  |-  .X.  =  ( .r `  P )
ply1mulgsum.sm  |-  .x.  =  ( .s `  P )
ply1mulgsum.rm  |-  .*  =  ( .r `  R )
ply1mulgsum.m  |-  M  =  (mulGrp `  P )
ply1mulgsum.e  |-  .^  =  (.g
`  M )
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
Distinct variable groups:    A, n, s    B, n, s    C, n, s    n, K, s   
n, L, s    R, n, s    A, l, n    B, l    C, l    K, l    L, l    R, l, s    .* , s
Allowed substitution hints:    P( n, s, l)    .x. ( n, s, l)    .X. ( n, s, l)    .^ ( n, s, l)    .* ( n, l)    M( n, s, l)    X( n, s, l)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem2
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ply1mulgsum.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 ply1mulgsum.a . . 3  |-  A  =  (coe1 `  K )
4 ply1mulgsum.c . . 3  |-  C  =  (coe1 `  L )
5 ply1mulgsum.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  R )
6 ply1mulgsum.pm . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  P )
7 ply1mulgsum.sm . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  P )
8 ply1mulgsum.rm . . 3  |-  .*  =  ( .r `  R )
9 ply1mulgsum.m . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  P )
10 ply1mulgsum.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  M )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1mulgsumlem1 30986 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. z  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
12 2re 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
14 nn0re 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  RR )
1513, 14remulcld 9515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( 2  x.  z )  e.  RR )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( 2  x.  z )  e.  RR )
17 nn0re 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  RR )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  n  e.  RR )
20 elfznn0 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  l  e.  NN0 )
21 nn0re 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  e.  NN0  ->  l  e.  RR )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  l  e.  RR )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  l  e.  RR )
2416, 19, 23ltsub1d 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  <->  ( ( 2  x.  z )  -  l )  <  (
n  -  l ) ) )
2514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  z  e.  RR )
2623, 25, 16lesub2d 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( l  <_ 
z  <->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  <_  (
( 2  x.  z
)  -  l ) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( l  <_  z  <->  ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l ) ) )
2815, 14resubcld 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  e.  RR )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  e.  RR )
3015adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  z
)  e.  RR )
31 resubcl 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( 2  x.  z
)  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  l
)  e.  RR )
3230, 22, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  l )  e.  RR )
33 resubcl 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( n  -  l
)  e.  RR )
3418, 22, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( n  -  l )  e.  RR )
35 lelttr 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( 2  x.  z )  -  z
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  z )  -  l
)  e.  RR  /\  ( n  -  l
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( 2  x.  z )  -  z
)  <  ( n  -  l ) ) )
3629, 32, 34, 35syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( 2  x.  z )  -  z
)  <  ( n  -  l ) ) )
37 nn0cn 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
38 2txmxeqx 30309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( 2  x.  z
)  -  z )  =  z )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  =  z )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  =  z )
4140breq1d 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  z )  < 
( n  -  l
)  <->  z  <  (
n  -  l ) ) )
4236, 41sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
z  <  ( n  -  l ) ) )
4342expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  l )  < 
( n  -  l
)  ->  ( (
( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  ->  z  <  ( n  -  l
) ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( ( 2  x.  z )  -  z )  <_  (
( 2  x.  z
)  -  l )  ->  z  <  (
n  -  l ) ) )
4527, 44sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) )
4645ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  l )  < 
( n  -  l
)  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) )
4724, 46sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) )
4847ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) )
4948com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( l  <_ 
z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  <  n  ->  (
l  e.  ( 0 ... n )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) ) )
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( (
2  x.  z )  <  n  ->  (
l  e.  ( 0 ... n )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) ) )
5251imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( l  <_ 
z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) )
5352impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
z  <  ( n  -  l ) )
54 fznn0sub2 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  ( 0 ... n ) )
55 elfznn0 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  l )  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  NN0 )
56 breq2 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
z  <  x  <->  z  <  ( n  -  l ) ) )
57 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  ( A `  x )  =  ( A `  ( n  -  l
) ) )
5857eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( A `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
59 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( n  -  l
) ) )
6059eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( C `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
6158, 60anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( A `
 ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
6256, 61imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( ( A `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
6362rspcva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  -  l
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( ( A `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
64 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) )
6563, 64syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  -  l
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
6665ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  l )  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
6754, 55, 663syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
z  <  ( n  -  l )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
6867com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
6968ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7069imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( z  <  (
n  -  l )  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7253, 71mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) )
7372oveq2d 6206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( ( A `  l )  .*  ( 0g `  R ) ) )
74 simplr1 1030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  R  e.  Ring )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  ->  R  e.  Ring )
77 simplr2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  K  e.  B )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  K  e.  B )
7978, 20anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( K  e.  B  /\  l  e. 
NN0 ) )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( K  e.  B  /\  l  e.  NN0 ) )
81 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
823, 2, 1, 81coe1fvalcl 30972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  B  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( A `  l
)  e.  ( Base `  R ) )
8380, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( A `  l
)  e.  ( Base `  R ) )
84 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
8581, 8, 84rngrz 16788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A `  l )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( A `  l
)  .*  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
8676, 83, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
8773, 86eqtrd 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
88 ltnle 9555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( z  <  l  <->  -.  l  <_  z )
)
8914, 21, 88syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( z  <  l  <->  -.  l  <_  z )
)
9089bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( -.  l  <_ 
z  <->  z  <  l
) )
9190expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( z  e.  NN0  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
9220, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
z  e.  NN0  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
9392com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
9493ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l
) ) )
9594imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l
) )
96 breq2 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  l  ->  (
z  <  x  <->  z  <  l ) )
97 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  l  ->  ( A `  x )  =  ( A `  l ) )
9897eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  l  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
99 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  l  ->  ( C `  x )  =  ( C `  l ) )
10099eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  l  ->  (
( C `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
10198, 100anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  l  ->  (
( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( A `
 l )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
10296, 101imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  l  ->  (
( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( z  <  l  ->  ( ( A `  l )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
103102rspcva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  l  ->  ( ( A `  l )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
104 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A `  l
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( A `  l
)  =  ( 0g
`  R ) )
105103, 104syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
106105ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
10720, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
108107com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
109108ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
110109imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
11195, 110sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( -.  l  <_  z  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
112111impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( A `  l
)  =  ( 0g
`  R ) )
113112oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( ( 0g `  R )  .*  ( C `  ( n  -  l
) ) ) )
11475adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  ->  R  e.  Ring )
115 simplr3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  L  e.  B )
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  L  e.  B )
11754, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  NN0 )
118116, 117anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( L  e.  B  /\  ( n  -  l )  e. 
NN0 ) )
119118adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( L  e.  B  /\  ( n  -  l
)  e.  NN0 )
)
1204, 2, 1, 81coe1fvalcl 30972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  B  /\  ( n  -  l
)  e.  NN0 )  ->  ( C `  (
n  -  l ) )  e.  ( Base `  R ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  e.  ( Base `  R ) )
12281, 8, 84rnglz 16787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 0g `  R
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
123114, 121, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( 0g `  R )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
124113, 123eqtrd 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
12587, 124pm2.61ian 788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 l )  .*  ( C `  (
n  -  l ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
126125mpteq2dva 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) )  =  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( 0g `  R ) ) )
127126oveq2d 6206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) ) )
128 rngmnd 16760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
1291283ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  R  e.  Mnd )
130 ovex 6215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... n )  e. 
_V
131129, 130jctir 538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  (
0 ... n )  e. 
_V ) )
132131ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... n
)  e.  _V )
)
13384gsumz 15613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... n
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
134132, 133syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
135127, 134eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
136135ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) )
137136ralrimiva 2822 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
138 2nn0 10697 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
139138a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
140 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e. 
NN0 )
141139, 140nn0mulcld 10742 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( 2  x.  z )  e. 
NN0 )
142141ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( 2  x.  z )  e. 
NN0 )
143 breq1 4393 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  (
s  <  n  <->  ( 2  x.  z )  < 
n ) )
144143imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  (
( s  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  <->  ( (
2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
145144ralbidv 2839 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
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 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
146145adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  s  =  ( 2  x.  z ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
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 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
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147142, 146rspcedv 3173 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
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 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
148137, 147mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
149148ex 434 . . 3  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
150149rexlimiva 2932 . 2  |-  ( E. z  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
15111, 150mpcom 36 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3068   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383    x. cmul 9388    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696   2c2 10472   NN0cn0 10680   ...cfz 11538   Basecbs 14276   .rcmulr 14341   .scvsca 14344   0gc0g 14480    gsumg cgsu 14481   Mndcmnd 15511  .gcmg 15516  mulGrpcmgp 16696   Ringcrg 16751  var1cv1 17739  Poly1cpl1 17740  coe1cco1 17741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-seq 11908  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-tset 14359  df-ple 14360  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-mgp 16697  df-rng 16753  df-psr 17529  df-mpl 17531  df-opsr 17533  df-psr1 17743  df-ply1 17745  df-coe1 17746
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