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Theorem ply1mulgsumlem2 38952
Description: Lemma 2 for ply1mulgsum 38955. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1mulgsum.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1mulgsum.a  |-  A  =  (coe1 `  K )
ply1mulgsum.c  |-  C  =  (coe1 `  L )
ply1mulgsum.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1mulgsum.pm  |-  .X.  =  ( .r `  P )
ply1mulgsum.sm  |-  .x.  =  ( .s `  P )
ply1mulgsum.rm  |-  .*  =  ( .r `  R )
ply1mulgsum.m  |-  M  =  (mulGrp `  P )
ply1mulgsum.e  |-  .^  =  (.g
`  M )
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
Distinct variable groups:    A, n, s    B, n, s    C, n, s    n, K, s   
n, L, s    R, n, s    A, l, n    B, l    C, l    K, l    L, l    R, l, s    .* , s
Allowed substitution hints:    P( n, s, l)    .x. ( n, s, l)    .X. ( n, s, l)    .^ ( n, s, l)    .* ( n, l)    M( n, s, l)    X( n, s, l)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem2
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ply1mulgsum.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 ply1mulgsum.a . . 3  |-  A  =  (coe1 `  K )
4 ply1mulgsum.c . . 3  |-  C  =  (coe1 `  L )
5 ply1mulgsum.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  R )
6 ply1mulgsum.pm . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  P )
7 ply1mulgsum.sm . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  P )
8 ply1mulgsum.rm . . 3  |-  .*  =  ( .r `  R )
9 ply1mulgsum.m . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  P )
10 ply1mulgsum.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  M )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1mulgsumlem1 38951 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. z  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
12 2nn0 10875 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
14 id 23 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e. 
NN0 )
1513, 14nn0mulcld 10919 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( 2  x.  z )  e. 
NN0 )
1615ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( 2  x.  z )  e. 
NN0 )
17 breq1 4420 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  (
s  <  n  <->  ( 2  x.  z )  < 
n ) )
1817imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  (
( s  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  <->  ( (
2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
1918ralbidv 2862 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
2019adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  s  =  ( 2  x.  z ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
21 2re 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
23 nn0re 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  RR )
2422, 23remulcld 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( 2  x.  z )  e.  RR )
2524ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( 2  x.  z )  e.  RR )
26 nn0re 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
2726adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  RR )
2827adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  n  e.  RR )
29 elfznn0 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  l  e.  NN0 )
30 nn0re 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  e.  NN0  ->  l  e.  RR )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  l  e.  RR )
3231adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  l  e.  RR )
3325, 28, 32ltsub1d 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  <->  ( ( 2  x.  z )  -  l )  <  (
n  -  l ) ) )
3423ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  z  e.  RR )
3532, 34, 25lesub2d 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( l  <_ 
z  <->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  <_  (
( 2  x.  z
)  -  l ) ) )
3635adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( l  <_  z  <->  ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l ) ) )
3724, 23resubcld 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  e.  RR )
3837ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  e.  RR )
3924adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  z
)  e.  RR )
40 resubcl 9927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( 2  x.  z
)  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  l
)  e.  RR )
4139, 31, 40syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  l )  e.  RR )
42 resubcl 9927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( n  -  l
)  e.  RR )
4327, 31, 42syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( n  -  l )  e.  RR )
44 lelttr 9713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( 2  x.  z )  -  z
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  z )  -  l
)  e.  RR  /\  ( n  -  l
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( 2  x.  z )  -  z
)  <  ( n  -  l ) ) )
4538, 41, 43, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( 2  x.  z )  -  z
)  <  ( n  -  l ) ) )
46 nn0cn 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
47 2txmxeqx 38404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( 2  x.  z
)  -  z )  =  z )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  =  z )
4948ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  =  z )
5049breq1d 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  z )  < 
( n  -  l
)  <->  z  <  (
n  -  l ) ) )
5145, 50sylibd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
z  <  ( n  -  l ) ) )
5251expcomd 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  l )  < 
( n  -  l
)  ->  ( (
( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  ->  z  <  ( n  -  l
) ) ) )
5352imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( ( 2  x.  z )  -  z )  <_  (
( 2  x.  z
)  -  l )  ->  z  <  (
n  -  l ) ) )
5436, 53sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) )
5554ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  l )  < 
( n  -  l
)  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) )
5633, 55sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) )
5756ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) )
5857com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( l  <_ 
z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) )
5958ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  <  n  ->  (
l  e.  ( 0 ... n )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) ) )
6059ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( (
2  x.  z )  <  n  ->  (
l  e.  ( 0 ... n )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) ) )
6160imp41 596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( l  <_ 
z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) )
6261impcom 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
z  <  ( n  -  l ) )
63 fznn0sub2 11884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  ( 0 ... n ) )
64 elfznn0 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  l )  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  NN0 )
65 breq2 4421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
z  <  x  <->  z  <  ( n  -  l ) ) )
66 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  ( A `  x )  =  ( A `  ( n  -  l
) ) )
6766eqeq1d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( A `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
68 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( n  -  l
) ) )
6968eqeq1d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( C `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7067, 69anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( A `
 ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7165, 70imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( ( A `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
7271rspcva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  -  l
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( ( A `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
73 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) )
7472, 73syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  -  l
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7574ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  l )  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7663, 64, 753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
z  <  ( n  -  l )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
7776com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7877ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7978imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
8079adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( z  <  (
n  -  l )  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
8162, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) )
8281oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( ( A `  l )  .*  ( 0g `  R ) ) )
83 simplr1 1047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
8483ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  R  e.  Ring )
8584adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  ->  R  e.  Ring )
86 simplr2 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  K  e.  B )
8786adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  K  e.  B )
8887, 29anim12i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( K  e.  B  /\  l  e. 
NN0 ) )
8988adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( K  e.  B  /\  l  e.  NN0 ) )
90 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
913, 2, 1, 90coe1fvalcl 18733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  B  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( A `  l
)  e.  ( Base `  R ) )
9289, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( A `  l
)  e.  ( Base `  R ) )
93 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
9490, 8, 93ringrz 17746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A `  l )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( A `  l
)  .*  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9585, 92, 94syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9682, 95eqtrd 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
97 ltnle 9702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( z  <  l  <->  -.  l  <_  z )
)
9823, 30, 97syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( z  <  l  <->  -.  l  <_  z )
)
9998bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( -.  l  <_ 
z  <->  z  <  l
) )
10099expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( z  e.  NN0  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
10129, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
z  e.  NN0  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
102101com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
103102ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l
) ) )
104103imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l
) )
105 breq2 4421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  l  ->  (
z  <  x  <->  z  <  l ) )
106 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  l  ->  ( A `  x )  =  ( A `  l ) )
107106eqeq1d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  l  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
108 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  l  ->  ( C `  x )  =  ( C `  l ) )
109108eqeq1d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  l  ->  (
( C `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
110107, 109anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  l  ->  (
( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( A `
 l )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
111105, 110imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  l  ->  (
( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( z  <  l  ->  ( ( A `  l )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
112111rspcva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  l  ->  ( ( A `  l )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
113 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A `  l
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( A `  l
)  =  ( 0g
`  R ) )
114112, 113syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
115114ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
11629, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
117116com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
118117ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
119118imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
120104, 119sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( -.  l  <_  z  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
121120impcom 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( A `  l
)  =  ( 0g
`  R ) )
122121oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( ( 0g `  R )  .*  ( C `  ( n  -  l
) ) ) )
12384adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  ->  R  e.  Ring )
124 simplr3 1049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  L  e.  B )
125124adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  L  e.  B )
126 fznn0sub 11818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  NN0 )
127125, 126anim12i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( L  e.  B  /\  ( n  -  l )  e. 
NN0 ) )
128127adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( L  e.  B  /\  ( n  -  l
)  e.  NN0 )
)
1294, 2, 1, 90coe1fvalcl 18733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  B  /\  ( n  -  l
)  e.  NN0 )  ->  ( C `  (
n  -  l ) )  e.  ( Base `  R ) )
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  e.  ( Base `  R ) )
13190, 8, 93ringlz 17745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 0g `  R
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
132123, 130, 131syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( 0g `  R )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
133122, 132eqtrd 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
13496, 133pm2.61ian 797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 l )  .*  ( C `  (
n  -  l ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
135134mpteq2dva 4503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) )  =  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( 0g `  R ) ) )
136135oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) ) )
137 ringmnd 17717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
1381373ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  R  e.  Mnd )
139 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... n )  e. 
_V
140138, 139jctir 540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  (
0 ... n )  e. 
_V ) )
141140ad3antlr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... n
)  e.  _V )
)
14293gsumz 16565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... n
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
143141, 142syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
144136, 143eqtrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
145144ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) )
146145ralrimiva 2837 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
14716, 20, 146rspcedvd 3184 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
148147ex 435 . . 3  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
149148rexlimiva 2911 . 2  |-  ( E. z  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
15011, 149mpcom 37 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528    x. cmul 9533    < clt 9664    <_ cle 9665    - cmin 9849   2c2 10648   NN0cn0 10858   ...cfz 11771   Basecbs 15073   .rcmulr 15143   .scvsca 15146   0gc0g 15290    gsumg cgsu 15291   Mndcmnd 16479  .gcmg 16616  mulGrpcmgp 17651   Ringcrg 17708  var1cv1 18697  Poly1cpl1 18698  coe1cco1 18699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-seq 12200  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-tset 15161  df-ple 15162  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-mgp 17652  df-ring 17710  df-psr 18508  df-mpl 18510  df-opsr 18512  df-psr1 18701  df-ply1 18703  df-coe1 18704
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