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Theorem ply1mulgsumlem2 31935
Description: Lemma 2 for ply1mulgsum 31938. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1mulgsum.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1mulgsum.a  |-  A  =  (coe1 `  K )
ply1mulgsum.c  |-  C  =  (coe1 `  L )
ply1mulgsum.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1mulgsum.pm  |-  .X.  =  ( .r `  P )
ply1mulgsum.sm  |-  .x.  =  ( .s `  P )
ply1mulgsum.rm  |-  .*  =  ( .r `  R )
ply1mulgsum.m  |-  M  =  (mulGrp `  P )
ply1mulgsum.e  |-  .^  =  (.g
`  M )
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
Distinct variable groups:    A, n, s    B, n, s    C, n, s    n, K, s   
n, L, s    R, n, s    A, l, n    B, l    C, l    K, l    L, l    R, l, s    .* , s
Allowed substitution hints:    P( n, s, l)    .x. ( n, s, l)    .X. ( n, s, l)    .^ ( n, s, l)    .* ( n, l)    M( n, s, l)    X( n, s, l)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem2
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ply1mulgsum.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 ply1mulgsum.a . . 3  |-  A  =  (coe1 `  K )
4 ply1mulgsum.c . . 3  |-  C  =  (coe1 `  L )
5 ply1mulgsum.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  R )
6 ply1mulgsum.pm . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  P )
7 ply1mulgsum.sm . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  P )
8 ply1mulgsum.rm . . 3  |-  .*  =  ( .r `  R )
9 ply1mulgsum.m . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  P )
10 ply1mulgsum.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  M )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1mulgsumlem1 31934 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. z  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
12 2re 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
14 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  RR )
1513, 14remulcld 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( 2  x.  z )  e.  RR )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( 2  x.  z )  e.  RR )
17 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  RR )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  n  e.  RR )
20 elfznn0 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  l  e.  NN0 )
21 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  e.  NN0  ->  l  e.  RR )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  l  e.  RR )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  l  e.  RR )
2416, 19, 23ltsub1d 10150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  <->  ( ( 2  x.  z )  -  l )  <  (
n  -  l ) ) )
2514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  z  e.  RR )
2623, 25, 16lesub2d 10149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( l  <_ 
z  <->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  <_  (
( 2  x.  z
)  -  l ) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( l  <_  z  <->  ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l ) ) )
2815, 14resubcld 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  e.  RR )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  e.  RR )
3015adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  z
)  e.  RR )
31 resubcl 9872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( 2  x.  z
)  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  l
)  e.  RR )
3230, 22, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  l )  e.  RR )
33 resubcl 9872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( n  -  l
)  e.  RR )
3418, 22, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( n  -  l )  e.  RR )
35 lelttr 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( 2  x.  z )  -  z
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  z )  -  l
)  e.  RR  /\  ( n  -  l
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( 2  x.  z )  -  z
)  <  ( n  -  l ) ) )
3629, 32, 34, 35syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( 2  x.  z )  -  z
)  <  ( n  -  l ) ) )
37 nn0cn 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
38 2txmxeqx 31605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( 2  x.  z
)  -  z )  =  z )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  =  z )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  =  z )
4140breq1d 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  z )  < 
( n  -  l
)  <->  z  <  (
n  -  l ) ) )
4236, 41sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
z  <  ( n  -  l ) ) )
4342expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  l )  < 
( n  -  l
)  ->  ( (
( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  ->  z  <  ( n  -  l
) ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( ( 2  x.  z )  -  z )  <_  (
( 2  x.  z
)  -  l )  ->  z  <  (
n  -  l ) ) )
4527, 44sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) )
4645ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  l )  < 
( n  -  l
)  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) )
4724, 46sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) )
4847ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) )
4948com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( l  <_ 
z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  <  n  ->  (
l  e.  ( 0 ... n )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) ) )
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( (
2  x.  z )  <  n  ->  (
l  e.  ( 0 ... n )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) ) )
5251imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( l  <_ 
z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) )
5352impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
z  <  ( n  -  l ) )
54 fznn0sub2 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  ( 0 ... n ) )
55 elfznn0 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  l )  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  NN0 )
56 breq2 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
z  <  x  <->  z  <  ( n  -  l ) ) )
57 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  ( A `  x )  =  ( A `  ( n  -  l
) ) )
5857eqeq1d 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( A `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
59 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( n  -  l
) ) )
6059eqeq1d 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( C `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
6158, 60anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( A `
 ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
6256, 61imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( ( A `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
6362rspcva 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  -  l
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( ( A `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
64 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) )
6563, 64syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  -  l
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
6665ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  l )  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
6754, 55, 663syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
z  <  ( n  -  l )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
6867com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
6968ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7069imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( z  <  (
n  -  l )  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7253, 71mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) )
7372oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( ( A `  l )  .*  ( 0g `  R ) ) )
74 simplr1 1033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  R  e.  Ring )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  ->  R  e.  Ring )
77 simplr2 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  K  e.  B )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  K  e.  B )
7978, 20anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( K  e.  B  /\  l  e. 
NN0 ) )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( K  e.  B  /\  l  e.  NN0 ) )
81 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
823, 2, 1, 81coe1fvalcl 18015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  B  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( A `  l
)  e.  ( Base `  R ) )
8380, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( A `  l
)  e.  ( Base `  R ) )
84 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
8581, 8, 84rngrz 17016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A `  l )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( A `  l
)  .*  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
8676, 83, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
8773, 86eqtrd 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
88 ltnle 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( z  <  l  <->  -.  l  <_  z )
)
8914, 21, 88syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( z  <  l  <->  -.  l  <_  z )
)
9089bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( -.  l  <_ 
z  <->  z  <  l
) )
9190expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( z  e.  NN0  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
9220, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
z  e.  NN0  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
9392com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
9493ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l
) ) )
9594imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l
) )
96 breq2 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  l  ->  (
z  <  x  <->  z  <  l ) )
97 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  l  ->  ( A `  x )  =  ( A `  l ) )
9897eqeq1d 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  l  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
99 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  l  ->  ( C `  x )  =  ( C `  l ) )
10099eqeq1d 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  l  ->  (
( C `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
10198, 100anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  l  ->  (
( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( A `
 l )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
10296, 101imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  l  ->  (
( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( z  <  l  ->  ( ( A `  l )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
103102rspcva 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  l  ->  ( ( A `  l )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
104 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A `  l
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( A `  l
)  =  ( 0g
`  R ) )
105103, 104syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
106105ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
10720, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
108107com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
109108ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
110109imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
11195, 110sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( -.  l  <_  z  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
112111impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( A `  l
)  =  ( 0g
`  R ) )
113112oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( ( 0g `  R )  .*  ( C `  ( n  -  l
) ) ) )
11475adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  ->  R  e.  Ring )
115 simplr3 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  L  e.  B )
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  L  e.  B )
11754, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  NN0 )
118116, 117anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( L  e.  B  /\  ( n  -  l )  e. 
NN0 ) )
119118adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( L  e.  B  /\  ( n  -  l
)  e.  NN0 )
)
1204, 2, 1, 81coe1fvalcl 18015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  B  /\  ( n  -  l
)  e.  NN0 )  ->  ( C `  (
n  -  l ) )  e.  ( Base `  R ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  e.  ( Base `  R ) )
12281, 8, 84rnglz 17015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 0g `  R
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
123114, 121, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( 0g `  R )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
124113, 123eqtrd 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
12587, 124pm2.61ian 788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 l )  .*  ( C `  (
n  -  l ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
126125mpteq2dva 4526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) )  =  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( 0g `  R ) ) )
127126oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) ) )
128 rngmnd 16988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
1291283ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  R  e.  Mnd )
130 ovex 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... n )  e. 
_V
131129, 130jctir 538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  (
0 ... n )  e. 
_V ) )
132131ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... n
)  e.  _V )
)
13384gsumz 15817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... n
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
134132, 133syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
135127, 134eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
136135ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) )
137136ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
138 2nn0 10801 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
139138a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
140 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e. 
NN0 )
141139, 140nn0mulcld 10846 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( 2  x.  z )  e. 
NN0 )
142141ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( 2  x.  z )  e. 
NN0 )
143 breq1 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  (
s  <  n  <->  ( 2  x.  z )  < 
n ) )
144143imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  (
( s  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  <->  ( (
2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
145144ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
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 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
146145adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  s  =  ( 2  x.  z ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
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|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
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147142, 146rspcedv 3211 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
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 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
148137, 147mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
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 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
149148ex 434 . . 3  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
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 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
150149rexlimiva 2944 . 2  |-  ( E. z  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
15111, 150mpcom 36 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   2c2 10574   NN0cn0 10784   ...cfz 11661   Basecbs 14479   .rcmulr 14545   .scvsca 14548   0gc0g 14684    gsumg cgsu 14685   Mndcmnd 15715  .gcmg 15720  mulGrpcmgp 16924   Ringcrg 16979  var1cv1 17979  Poly1cpl1 17980  coe1cco1 17981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-seq 12064  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-tset 14563  df-ple 14564  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mgp 16925  df-rng 16981  df-psr 17769  df-mpl 17771  df-opsr 17773  df-psr1 17983  df-ply1 17985  df-coe1 17986
This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem3  31936  ply1mulgsumlem4  31937
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