Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsumlem2 Structured version   Unicode version

Theorem ply1mulgsumlem2 33241
Description: Lemma 2 for ply1mulgsum 33244. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1mulgsum.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1mulgsum.a  |-  A  =  (coe1 `  K )
ply1mulgsum.c  |-  C  =  (coe1 `  L )
ply1mulgsum.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1mulgsum.pm  |-  .X.  =  ( .r `  P )
ply1mulgsum.sm  |-  .x.  =  ( .s `  P )
ply1mulgsum.rm  |-  .*  =  ( .r `  R )
ply1mulgsum.m  |-  M  =  (mulGrp `  P )
ply1mulgsum.e  |-  .^  =  (.g
`  M )
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
Distinct variable groups:    A, n, s    B, n, s    C, n, s    n, K, s   
n, L, s    R, n, s    A, l, n    B, l    C, l    K, l    L, l    R, l, s    .* , s
Allowed substitution hints:    P( n, s, l)    .x. ( n, s, l)    .X. ( n, s, l)    .^ ( n, s, l)    .* ( n, l)    M( n, s, l)    X( n, s, l)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem2
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ply1mulgsum.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 ply1mulgsum.a . . 3  |-  A  =  (coe1 `  K )
4 ply1mulgsum.c . . 3  |-  C  =  (coe1 `  L )
5 ply1mulgsum.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  R )
6 ply1mulgsum.pm . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  P )
7 ply1mulgsum.sm . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  P )
8 ply1mulgsum.rm . . 3  |-  .*  =  ( .r `  R )
9 ply1mulgsum.m . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  P )
10 ply1mulgsum.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  M )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1mulgsumlem1 33240 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. z  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
12 2nn0 10808 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
14 id 22 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e. 
NN0 )
1513, 14nn0mulcld 10853 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( 2  x.  z )  e. 
NN0 )
1615ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( 2  x.  z )  e. 
NN0 )
17 breq1 4442 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  (
s  <  n  <->  ( 2  x.  z )  < 
n ) )
1817imbi1d 315 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  (
( s  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  <->  ( (
2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
1918ralbidv 2893 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
2019adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  s  =  ( 2  x.  z ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
21 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
23 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  RR )
2422, 23remulcld 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( 2  x.  z )  e.  RR )
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( 2  x.  z )  e.  RR )
26 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
2726adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  RR )
2827adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  n  e.  RR )
29 elfznn0 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  l  e.  NN0 )
30 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  e.  NN0  ->  l  e.  RR )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  l  e.  RR )
3231adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  l  e.  RR )
3325, 28, 32ltsub1d 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  <->  ( ( 2  x.  z )  -  l )  <  (
n  -  l ) ) )
3423ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  z  e.  RR )
3532, 34, 25lesub2d 10156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( l  <_ 
z  <->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  <_  (
( 2  x.  z
)  -  l ) ) )
3635adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( l  <_  z  <->  ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l ) ) )
3724, 23resubcld 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  e.  RR )
3837ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  e.  RR )
3924adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  z
)  e.  RR )
40 resubcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( 2  x.  z
)  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  l
)  e.  RR )
4139, 31, 40syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  l )  e.  RR )
42 resubcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( n  -  l
)  e.  RR )
4327, 31, 42syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( n  -  l )  e.  RR )
44 lelttr 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( 2  x.  z )  -  z
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  z )  -  l
)  e.  RR  /\  ( n  -  l
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( 2  x.  z )  -  z
)  <  ( n  -  l ) ) )
4538, 41, 43, 44syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( 2  x.  z )  -  z
)  <  ( n  -  l ) ) )
46 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
47 2txmxeqx 32691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( 2  x.  z
)  -  z )  =  z )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  =  z )
4948ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  =  z )
5049breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  z )  < 
( n  -  l
)  <->  z  <  (
n  -  l ) ) )
5145, 50sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
z  <  ( n  -  l ) ) )
5251expcomd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  l )  < 
( n  -  l
)  ->  ( (
( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  ->  z  <  ( n  -  l
) ) ) )
5352imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( ( 2  x.  z )  -  z )  <_  (
( 2  x.  z
)  -  l )  ->  z  <  (
n  -  l ) ) )
5436, 53sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) )
5554ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  l )  < 
( n  -  l
)  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) )
5633, 55sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) )
5756ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( l  <_ 
z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) )
5958ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  <  n  ->  (
l  e.  ( 0 ... n )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) ) )
6059ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( (
2  x.  z )  <  n  ->  (
l  e.  ( 0 ... n )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) ) )
6160imp41 591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( l  <_ 
z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) )
6261impcom 428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
z  <  ( n  -  l ) )
63 fznn0sub2 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  ( 0 ... n ) )
64 elfznn0 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  l )  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  NN0 )
65 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
z  <  x  <->  z  <  ( n  -  l ) ) )
66 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  ( A `  x )  =  ( A `  ( n  -  l
) ) )
6766eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( A `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
68 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( n  -  l
) ) )
6968eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( C `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7067, 69anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( A `
 ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7165, 70imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( ( A `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
7271rspcva 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  -  l
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( ( A `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
73 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) )
7472, 73syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  -  l
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7574ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  l )  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7663, 64, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
z  <  ( n  -  l )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7877ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7978imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
8079adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( z  <  (
n  -  l )  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
8162, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) )
8281oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( ( A `  l )  .*  ( 0g `  R ) ) )
83 simplr1 1036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
8483ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  R  e.  Ring )
8584adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  ->  R  e.  Ring )
86 simplr2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  K  e.  B )
8786adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  K  e.  B )
8887, 29anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( K  e.  B  /\  l  e. 
NN0 ) )
8988adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( K  e.  B  /\  l  e.  NN0 ) )
90 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
913, 2, 1, 90coe1fvalcl 18446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  B  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( A `  l
)  e.  ( Base `  R ) )
9289, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( A `  l
)  e.  ( Base `  R ) )
93 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
9490, 8, 93ringrz 17431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A `  l )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( A `  l
)  .*  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9585, 92, 94syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9682, 95eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
97 ltnle 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( z  <  l  <->  -.  l  <_  z )
)
9823, 30, 97syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( z  <  l  <->  -.  l  <_  z )
)
9998bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( -.  l  <_ 
z  <->  z  <  l
) )
10099expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( z  e.  NN0  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
10129, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
z  e.  NN0  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
102101com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
103102ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l
) ) )
104103imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l
) )
105 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  l  ->  (
z  <  x  <->  z  <  l ) )
106 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  l  ->  ( A `  x )  =  ( A `  l ) )
107106eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  l  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
108 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  l  ->  ( C `  x )  =  ( C `  l ) )
109108eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  l  ->  (
( C `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
110107, 109anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  l  ->  (
( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( A `
 l )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
111105, 110imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  l  ->  (
( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( z  <  l  ->  ( ( A `  l )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
112111rspcva 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  l  ->  ( ( A `  l )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
113 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A `  l
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( A `  l
)  =  ( 0g
`  R ) )
114112, 113syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
115114ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
11629, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
117116com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
118117ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
119118imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
120104, 119sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( -.  l  <_  z  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
121120impcom 428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( A `  l
)  =  ( 0g
`  R ) )
122121oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( ( 0g `  R )  .*  ( C `  ( n  -  l
) ) ) )
12384adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  ->  R  e.  Ring )
124 simplr3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  L  e.  B )
125124adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  L  e.  B )
126 fznn0sub 11720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  NN0 )
127125, 126anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( L  e.  B  /\  ( n  -  l )  e. 
NN0 ) )
128127adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( L  e.  B  /\  ( n  -  l
)  e.  NN0 )
)
1294, 2, 1, 90coe1fvalcl 18446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  B  /\  ( n  -  l
)  e.  NN0 )  ->  ( C `  (
n  -  l ) )  e.  ( Base `  R ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  e.  ( Base `  R ) )
13190, 8, 93ringlz 17430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 0g `  R
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
132123, 130, 131syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( 0g `  R )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
133122, 132eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
13496, 133pm2.61ian 788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 l )  .*  ( C `  (
n  -  l ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
135134mpteq2dva 4525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) )  =  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( 0g `  R ) ) )
136135oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) ) )
137 ringmnd 17402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
1381373ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  R  e.  Mnd )
139 ovex 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... n )  e. 
_V
140138, 139jctir 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  (
0 ... n )  e. 
_V ) )
141140ad3antlr 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... n
)  e.  _V )
)
14293gsumz 16204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... n
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
143141, 142syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
144136, 143eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
145144ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) )
146145ralrimiva 2868 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
14716, 20, 146rspcedvd 3212 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
148147ex 432 . . 3  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
149148rexlimiva 2942 . 2  |-  ( E. z  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
15011, 149mpcom 36 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   2c2 10581   NN0cn0 10791   ...cfz 11675   Basecbs 14716   .rcmulr 14785   .scvsca 14788   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118  .gcmg 16255  mulGrpcmgp 17336   Ringcrg 17393  var1cv1 18410  Poly1cpl1 18411  coe1cco1 18412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-seq 12090  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-tset 14803  df-ple 14804  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mgp 17337  df-ring 17395  df-psr 18200  df-mpl 18202  df-opsr 18204  df-psr1 18414  df-ply1 18416  df-coe1 18417
This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem3  33242  ply1mulgsumlem4  33243
  Copyright terms: Public domain W3C validator