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Theorem ply1mulgsumlem2 32697
Description: Lemma 2 for ply1mulgsum 32700. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1mulgsum.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1mulgsum.a  |-  A  =  (coe1 `  K )
ply1mulgsum.c  |-  C  =  (coe1 `  L )
ply1mulgsum.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1mulgsum.pm  |-  .X.  =  ( .r `  P )
ply1mulgsum.sm  |-  .x.  =  ( .s `  P )
ply1mulgsum.rm  |-  .*  =  ( .r `  R )
ply1mulgsum.m  |-  M  =  (mulGrp `  P )
ply1mulgsum.e  |-  .^  =  (.g
`  M )
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
Distinct variable groups:    A, n, s    B, n, s    C, n, s    n, K, s   
n, L, s    R, n, s    A, l, n    B, l    C, l    K, l    L, l    R, l, s    .* , s
Allowed substitution hints:    P( n, s, l)    .x. ( n, s, l)    .X. ( n, s, l)    .^ ( n, s, l)    .* ( n, l)    M( n, s, l)    X( n, s, l)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem2
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ply1mulgsum.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 ply1mulgsum.a . . 3  |-  A  =  (coe1 `  K )
4 ply1mulgsum.c . . 3  |-  C  =  (coe1 `  L )
5 ply1mulgsum.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  R )
6 ply1mulgsum.pm . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  P )
7 ply1mulgsum.sm . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  P )
8 ply1mulgsum.rm . . 3  |-  .*  =  ( .r `  R )
9 ply1mulgsum.m . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  P )
10 ply1mulgsum.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  M )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1mulgsumlem1 32696 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. z  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
12 2nn0 10813 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
14 id 22 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e. 
NN0 )
1513, 14nn0mulcld 10858 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( 2  x.  z )  e. 
NN0 )
1615ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( 2  x.  z )  e. 
NN0 )
17 breq1 4436 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  (
s  <  n  <->  ( 2  x.  z )  < 
n ) )
1817imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  (
( s  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  <->  ( (
2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
1918ralbidv 2880 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( 2  x.  z )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
2019adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  s  =  ( 2  x.  z ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
21 2re 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
23 nn0re 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  RR )
2422, 23remulcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( 2  x.  z )  e.  RR )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( 2  x.  z )  e.  RR )
26 nn0re 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  RR )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  n  e.  RR )
29 elfznn0 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  l  e.  NN0 )
30 nn0re 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  e.  NN0  ->  l  e.  RR )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  l  e.  RR )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  l  e.  RR )
3325, 28, 32ltsub1d 10162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  <->  ( ( 2  x.  z )  -  l )  <  (
n  -  l ) ) )
3423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  z  e.  RR )
3532, 34, 25lesub2d 10161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( l  <_ 
z  <->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  <_  (
( 2  x.  z
)  -  l ) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( l  <_  z  <->  ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l ) ) )
3724, 23resubcld 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  e.  RR )
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  e.  RR )
3924adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  z
)  e.  RR )
40 resubcl 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( 2  x.  z
)  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  l
)  e.  RR )
4139, 31, 40syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  l )  e.  RR )
42 resubcl 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( n  -  l
)  e.  RR )
4327, 31, 42syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( n  -  l )  e.  RR )
44 lelttr 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( 2  x.  z )  -  z
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  z )  -  l
)  e.  RR  /\  ( n  -  l
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( 2  x.  z )  -  z
)  <  ( n  -  l ) ) )
4538, 41, 43, 44syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( 2  x.  z )  -  z
)  <  ( n  -  l ) ) )
46 nn0cn 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
47 2txmxeqx 32151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( 2  x.  z
)  -  z )  =  z )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  =  z )
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  -  z )  =  z )
5049breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  z )  < 
( n  -  l
)  <->  z  <  (
n  -  l ) ) )
5145, 50sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
z  <  ( n  -  l ) ) )
5251expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  l )  < 
( n  -  l
)  ->  ( (
( 2  x.  z
)  -  z )  <_  ( ( 2  x.  z )  -  l )  ->  z  <  ( n  -  l
) ) ) )
5352imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( ( ( 2  x.  z )  -  z )  <_  (
( 2  x.  z
)  -  l )  ->  z  <  (
n  -  l ) ) )
5436, 53sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) )  /\  (
( 2  x.  z
)  -  l )  <  ( n  -  l ) )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) )
5554ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( ( 2  x.  z )  -  l )  < 
( n  -  l
)  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) )
5633, 55sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) )
5756ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( l  <_ 
z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) )
5958ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  z )  <  n  ->  (
l  e.  ( 0 ... n )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) ) )
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( (
2  x.  z )  <  n  ->  (
l  e.  ( 0 ... n )  -> 
( l  <_  z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) ) ) ) )
6160imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( l  <_ 
z  ->  z  <  ( n  -  l ) ) )
6261impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
z  <  ( n  -  l ) )
63 fznn0sub2 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  ( 0 ... n ) )
64 elfznn0 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  l )  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  NN0 )
65 breq2 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
z  <  x  <->  z  <  ( n  -  l ) ) )
66 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  ( A `  x )  =  ( A `  ( n  -  l
) ) )
6766eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( A `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
68 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( n  -  l
) ) )
6968eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( C `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7067, 69anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( A `
 ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7165, 70imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( n  -  l )  ->  (
( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( ( A `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
7271rspcva 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  -  l
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( ( A `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) )
7472, 73syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  -  l
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7574ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  l )  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7663, 64, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
z  <  ( n  -  l )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( z  <  ( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7877ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
7978imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z  < 
( n  -  l
)  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( z  <  (
n  -  l )  ->  ( C `  ( n  -  l
) )  =  ( 0g `  R ) ) )
8162, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  =  ( 0g
`  R ) )
8281oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( ( A `  l )  .*  ( 0g `  R ) ) )
83 simplr1 1037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
8483ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  R  e.  Ring )
8584adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  ->  R  e.  Ring )
86 simplr2 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  K  e.  B )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  K  e.  B )
8887, 29anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( K  e.  B  /\  l  e. 
NN0 ) )
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( K  e.  B  /\  l  e.  NN0 ) )
90 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
913, 2, 1, 90coe1fvalcl 18119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  B  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( A `  l
)  e.  ( Base `  R ) )
9289, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( A `  l
)  e.  ( Base `  R ) )
93 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
9490, 8, 93ringrz 17104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A `  l )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( A `  l
)  .*  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9585, 92, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9682, 95eqtrd 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
97 ltnle 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( z  <  l  <->  -.  l  <_  z )
)
9823, 30, 97syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( z  <  l  <->  -.  l  <_  z )
)
9998bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  l  e.  NN0 )  -> 
( -.  l  <_ 
z  <->  z  <  l
) )
10099expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( z  e.  NN0  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
10129, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
z  e.  NN0  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
102101com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l ) ) )
103102ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l
) ) )
104103imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( -.  l  <_  z  <->  z  <  l
) )
105 breq2 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  l  ->  (
z  <  x  <->  z  <  l ) )
106 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  l  ->  ( A `  x )  =  ( A `  l ) )
107106eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  l  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
108 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  l  ->  ( C `  x )  =  ( C `  l ) )
109108eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  l  ->  (
( C `  x
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
110107, 109anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  l  ->  (
( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( A `
 l )  =  ( 0g `  R
)  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
111105, 110imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  l  ->  (
( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( z  <  l  ->  ( ( A `  l )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
112111rspcva 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  l  ->  ( ( A `  l )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
113 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A `  l
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  l )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( A `  l
)  =  ( 0g
`  R ) )
114112, 113syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
115114ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
11629, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
117116com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  (
( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n
)  ->  ( z  <  l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
118117ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
119118imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( z  < 
l  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
120104, 119sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( -.  l  <_  z  ->  ( A `  l )  =  ( 0g `  R ) ) )
121120impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( A `  l
)  =  ( 0g
`  R ) )
122121oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( ( 0g `  R )  .*  ( C `  ( n  -  l
) ) ) )
12384adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  ->  R  e.  Ring )
124 simplr3 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  L  e.  B )
125124adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  L  e.  B )
126 fznn0sub 11720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  l )  e.  NN0 )
127125, 126anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( L  e.  B  /\  ( n  -  l )  e. 
NN0 ) )
128127adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( L  e.  B  /\  ( n  -  l
)  e.  NN0 )
)
1294, 2, 1, 90coe1fvalcl 18119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  B  /\  ( n  -  l
)  e.  NN0 )  ->  ( C `  (
n  -  l ) )  e.  ( Base `  R ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( C `  (
n  -  l ) )  e.  ( Base `  R ) )
13190, 8, 93ringlz 17103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C `  ( n  -  l ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 0g `  R
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
132123, 130, 131syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( 0g `  R )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
133122, 132eqtrd 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  l  <_  z  /\  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z )  < 
n )  /\  l  e.  ( 0 ... n
) ) )  -> 
( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
13496, 133pm2.61ian 788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  /\  l  e.  (
0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 l )  .*  ( C `  (
n  -  l ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
135134mpteq2dva 4519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) )  =  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( 0g `  R ) ) )
136135oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) ) )
137 ringmnd 17075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
1381373ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  R  e.  Mnd )
139 ovex 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... n )  e. 
_V
140138, 139jctir 538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  (
0 ... n )  e. 
_V ) )
141140ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... n
)  e.  _V )
)
14293gsumz 15874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... n
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
143141, 142syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
144136, 143eqtrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( 2  x.  z
)  <  n )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
145144ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  z )  <  n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n ) 
|->  ( ( A `  l )  .*  ( C `  ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) ) )
146145ralrimiva 2855 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  A. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  z )  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
14716, 20, 146rspcedvd 3199 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\ 
A. x  e.  NN0  ( z  <  x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
148147ex 434 . . 3  |-  ( ( z  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
z  <  x  ->  ( ( A `  x
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
149148rexlimiva 2929 . 2  |-  ( E. z  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( z  < 
x  ->  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
15011, 149mpcom 36 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  ( 0 ... n )  |->  ( ( A `  l
)  .*  ( C `
 ( n  -  l ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805   2c2 10586   NN0cn0 10796   ...cfz 11676   Basecbs 14504   .rcmulr 14570   .scvsca 14573   0gc0g 14709    gsumg cgsu 14710   Mndcmnd 15788  .gcmg 15925  mulGrpcmgp 17009   Ringcrg 17066  var1cv1 18083  Poly1cpl1 18084  coe1cco1 18085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-seq 12082  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-tset 14588  df-ple 14589  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-mgp 17010  df-ring 17068  df-psr 17873  df-mpl 17875  df-opsr 17877  df-psr1 18087  df-ply1 18089  df-coe1 18090
This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem3  32698  ply1mulgsumlem4  32699
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