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Theorem ply1mulgsumlem1 30999
Description: Lemma 1 for ply1mulgsum 31003. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1mulgsum.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1mulgsum.a  |-  A  =  (coe1 `  K )
ply1mulgsum.c  |-  C  =  (coe1 `  L )
ply1mulgsum.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1mulgsum.pm  |-  .X.  =  ( .r `  P )
ply1mulgsum.sm  |-  .x.  =  ( .s `  P )
ply1mulgsum.rm  |-  .*  =  ( .r `  R )
ply1mulgsum.m  |-  M  =  (mulGrp `  P )
ply1mulgsum.e  |-  .^  =  (.g
`  M )
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n, s    B, n, s    C, n, s    n, K, s   
n, L, s    R, n, s
Allowed substitution hints:    P( n, s)    .x. ( n, s)    .X. ( n, s)    .^ ( n, s)    .* ( n, s)    M( n, s)    X( n, s)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem1
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.a . . . 4  |-  A  =  (coe1 `  K )
2 ply1mulgsum.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 ply1mulgsum.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
51, 2, 3, 4coe1ae0 30986 . . 3  |-  ( K  e.  B  ->  E. b  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
653ad2ant2 1010 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. b  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
7 ply1mulgsum.c . . . . 5  |-  C  =  (coe1 `  L )
87, 2, 3, 4coe1ae0 30986 . . . 4  |-  ( L  e.  B  ->  E. a  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
983ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. a  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
10 r19.26 2955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN0  ( ( a  <  n  -> 
( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. n  e.  NN0  (
b  <  n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
11 nn0cn 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  CC )
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0 )  -> 
a  e.  CC )
13 nn0cn 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0 )  -> 
b  e.  CC )
1512, 14addcomd 9683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0 )  -> 
( a  +  b )  =  ( b  +  a ) )
16153adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
a  +  b )  =  ( b  +  a ) )
1716breq1d 4411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  n  <->  ( b  +  a )  < 
n ) )
18 nn0sumltlt 30891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( b  +  a )  <  n  -> 
a  <  n )
)
1917, 18sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  n  -> 
a  <  n )
)
20193expia 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( ( a  +  b )  <  n  ->  a  <  n ) ) )
2120ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( ( a  +  b )  <  n  ->  a  <  n ) ) )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  a  <  n ) ) )
2322imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  +  b )  <  n  ->  a  <  n ) )
2423imim1d 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
2524com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  +  b )  <  n  ->  ( ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
2625imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( a  +  b )  <  n )  ->  ( ( a  <  n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
27 nn0sumltlt 30891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  n  -> 
b  <  n )
)
28273expia 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( ( a  +  b )  <  n  ->  b  <  n ) ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  b  <  n ) ) )
3029imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  +  b )  <  n  ->  b  <  n ) )
3130imim1d 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3231com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  +  b )  <  n  ->  ( ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3332imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( a  +  b )  <  n )  ->  ( ( b  <  n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( A `  n
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
3426, 33anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( a  +  b )  <  n )  ->  ( ( ( a  <  n  -> 
( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
( C `  n
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3534imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( a  +  b )  < 
n )  /\  (
( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( ( C `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
3635ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( a  +  b )  < 
n )  /\  (
( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
3736exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  +  b )  <  n  ->  ( ( ( a  <  n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  /\  ( b  <  n  ->  ( A `  n
)  =  ( 0g
`  R ) ) )  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
3837com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( ( a  <  n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  /\  ( b  <  n  ->  ( A `  n
)  =  ( 0g
`  R ) ) )  ->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  (
( A `  n
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
3938ralimdva 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( A. n  e.  NN0  ( ( a  <  n  -> 
( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  ( ( a  +  b )  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
4010, 39syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  ( ( a  +  b )  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
4140imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  ( ( a  +  b )  <  n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
42 nn0addcl 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( a  +  b )  e.  NN0 )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( a  +  b )  e. 
NN0 )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( a  +  b )  e.  NN0 )
45 breq1 4404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( a  +  b )  ->  (
s  <  n  <->  ( a  +  b )  < 
n ) )
4645imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( a  +  b )  ->  (
( s  <  n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  (
( A `  n
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
4746ralbidv 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( a  +  b )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  <  n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( a  +  b )  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  s  =  ( a  +  b ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( a  +  b )  <  n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
4944, 48rspcedv 3183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( A. n  e. 
NN0  ( ( a  +  b )  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e.  NN0  (
s  <  n  ->  ( ( A `  n
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
5041, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e.  NN0  (
s  <  n  ->  ( ( A `  n
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
5150exp31 604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( ( R  e. 
Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B
)  ->  ( ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
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5251com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( ( A. n  e.  NN0  ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. n  e.  NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e.  NN0  (
s  <  n  ->  ( ( A `  n
)  =  ( 0g
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( A. n  e. 
NN0  ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( b  <  n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( R  e. 
Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B
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NN0  ( s  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) ) ) )
5453com34 83 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( A. n  e. 
NN0  ( a  < 
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5554impancom 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  A. n  e.  NN0  (
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( b  e.  NN0  ->  ( ( R  e. 
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5756impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A. n  e.  NN0  (
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6059rexlimiva 2942 . . 3  |-  ( E. a  e.  NN0  A. n  e.  NN0  ( a  < 
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NN0  ( s  < 
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392    + caddc 9397    < clt 9530   NN0cn0 10691   Basecbs 14293   .rcmulr 14359   .scvsca 14362   0gc0g 14498  .gcmg 15534  mulGrpcmgp 16714   Ringcrg 16769  var1cv1 17757  Poly1cpl1 17758  coe1cco1 17759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-tset 14377  df-ple 14378  df-psr 17547  df-mpl 17549  df-opsr 17551  df-psr1 17761  df-ply1 17763  df-coe1 17764
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