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Theorem ply1mulgsumlem1 33259
Description: Lemma 1 for ply1mulgsum 33263. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1mulgsum.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1mulgsum.a  |-  A  =  (coe1 `  K )
ply1mulgsum.c  |-  C  =  (coe1 `  L )
ply1mulgsum.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1mulgsum.pm  |-  .X.  =  ( .r `  P )
ply1mulgsum.sm  |-  .x.  =  ( .s `  P )
ply1mulgsum.rm  |-  .*  =  ( .r `  R )
ply1mulgsum.m  |-  M  =  (mulGrp `  P )
ply1mulgsum.e  |-  .^  =  (.g
`  M )
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n, s    B, n, s    C, n, s    n, K, s   
n, L, s    R, n, s
Allowed substitution hints:    P( n, s)    .x. ( n, s)    .X. ( n, s)    .^ ( n, s)    .* ( n, s)    M( n, s)    X( n, s)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem1
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.a . . . 4  |-  A  =  (coe1 `  K )
2 ply1mulgsum.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 ply1mulgsum.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
51, 2, 3, 4coe1ae0 18455 . . 3  |-  ( K  e.  B  ->  E. b  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
653ad2ant2 1016 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. b  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
7 ply1mulgsum.c . . . . 5  |-  C  =  (coe1 `  L )
87, 2, 3, 4coe1ae0 18455 . . . 4  |-  ( L  e.  B  ->  E. a  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
983ad2ant3 1017 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. a  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
10 nn0addcl 10827 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( a  +  b )  e.  NN0 )
1110adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( a  +  b )  e. 
NN0 )
1211adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( a  +  b )  e.  NN0 )
13 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( a  +  b )  ->  (
s  <  n  <->  ( a  +  b )  < 
n ) )
1413imbi1d 315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( a  +  b )  ->  (
( s  <  n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  (
( A `  n
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
1514ralbidv 2893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( a  +  b )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  <  n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( a  +  b )  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
1615adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  /\  s  =  ( a  +  b ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( s  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  A. n  e.  NN0  ( ( a  +  b )  <  n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
17 r19.26 2981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN0  ( ( a  <  n  -> 
( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  <->  ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. n  e.  NN0  (
b  <  n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
18 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  CC )
1918adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0 )  -> 
a  e.  CC )
20 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
2120adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0 )  -> 
b  e.  CC )
2219, 21addcomd 9771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0 )  -> 
( a  +  b )  =  ( b  +  a ) )
23223adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
a  +  b )  =  ( b  +  a ) )
2423breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  n  <->  ( b  +  a )  < 
n ) )
25 nn0sumltlt 33212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( b  +  a )  <  n  -> 
a  <  n )
)
2624, 25sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  n  -> 
a  <  n )
)
27263expia 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  a  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( ( a  +  b )  <  n  ->  a  <  n ) ) )
2827ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( ( a  +  b )  <  n  ->  a  <  n ) ) )
2928adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  a  <  n ) ) )
3029imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  +  b )  <  n  ->  a  <  n ) )
3130imim1d 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3231com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  +  b )  <  n  ->  ( ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3332imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( a  +  b )  <  n )  ->  ( ( a  <  n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
34 nn0sumltlt 33212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  n  -> 
b  <  n )
)
35343expia 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( ( a  +  b )  <  n  ->  b  <  n ) ) )
3635adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  b  <  n ) ) )
3736imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  +  b )  <  n  ->  b  <  n ) )
3837imim1d 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3938com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  +  b )  <  n  ->  ( ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4039imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( a  +  b )  <  n )  ->  ( ( b  <  n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( A `  n
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
4133, 40anim12d 561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( a  +  b )  <  n )  ->  ( ( ( a  <  n  -> 
( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
( C `  n
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4241imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( a  +  b )  < 
n )  /\  (
( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( ( C `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
4342ancomd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( a  +  b )  < 
n )  /\  (
( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )
4443exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( a  +  b )  <  n  ->  ( ( ( a  <  n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  /\  ( b  <  n  ->  ( A `  n
)  =  ( 0g
`  R ) ) )  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
4544com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( ( a  <  n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  /\  ( b  <  n  ->  ( A `  n
)  =  ( 0g
`  R ) ) )  ->  ( (
a  +  b )  <  n  ->  (
( A `  n
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
4645ralimdva 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( A. n  e.  NN0  ( ( a  <  n  -> 
( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  ( ( a  +  b )  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
4717, 46syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )
)  ->  ( ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  ( ( a  +  b )  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) )
4847imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  ( ( a  +  b )  <  n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4912, 16, 48rspcedvd 3212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( a  e. 
NN0  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B ) )  /\  ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e.  NN0  (
s  <  n  ->  ( ( A `  n
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
5049exp31 602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( ( R  e. 
Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B
)  ->  ( ( A. n  e.  NN0  ( a  <  n  ->  ( C `  n
)  =  ( 0g
`  R ) )  /\  A. n  e. 
NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e. 
NN0  ( s  < 
n  ->  ( ( A `  n )  =  ( 0g `  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
5150com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( ( A. n  e.  NN0  ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. n  e.  NN0  ( b  < 
n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
( R  e.  Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B )  ->  E. s  e.  NN0  A. n  e.  NN0  (
s  <  n  ->  ( ( A `  n
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
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( A. n  e. 
NN0  ( a  < 
n  ->  ( C `  n )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  ( b  <  n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( R  e. 
Ring  /\  K  e.  B  /\  L  e.  B
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NN0  ( s  < 
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5352com34 83 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( A. n  e. 
NN0  ( a  < 
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5453impancom 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  A. n  e.  NN0  (
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5554com14 88 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN0  ( b  <  n  ->  ( A `  n )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
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5655impcom 428 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A. n  e.  NN0  (
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5958rexlimiva 2942 . . 3  |-  ( E. a  e.  NN0  A. n  e.  NN0  ( a  < 
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NN0  ( s  < 
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479    + caddc 9484    < clt 9617   NN0cn0 10791   Basecbs 14719   .rcmulr 14788   .scvsca 14791   0gc0g 14932  .gcmg 16258  mulGrpcmgp 17339   Ringcrg 17396  var1cv1 18413  Poly1cpl1 18414  coe1cco1 18415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-tset 14806  df-ple 14807  df-psr 18203  df-mpl 18205  df-opsr 18207  df-psr1 18417  df-ply1 18419  df-coe1 18420
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