MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mpl0 Structured version   Unicode version

Theorem ply1mpl0 18508
Description: The univariate polynomial ring has the same zero as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mpl0.m  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
ply1mpl0.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1mpl0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
Assertion
Ref Expression
ply1mpl0  |-  .0.  =  ( 0g `  M )

Proof of Theorem ply1mpl0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mpl0.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
2 eqidd 2403 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( Base `  P
)  =  ( Base `  P ) )
3 ply1mpl0.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
5 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
63, 4, 5ply1bas 18446 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
7 ply1mpl0.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
87fveq2i 5808 . . . . . 6  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
96, 8eqtr4i 2434 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  M )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( Base `  P
)  =  ( Base `  M ) )
11 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
123, 7, 11ply1plusg 18478 . . . . . 6  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  M )
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( +g  `  P
)  =  ( +g  `  M ) )
1413oveqdr 6258 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( Base `  P
)  /\  y  e.  ( Base `  P )
) )  ->  (
x ( +g  `  P
) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
152, 10, 14grpidpropd 16104 . . 3  |-  ( T. 
->  ( 0g `  P
)  =  ( 0g
`  M ) )
1615trud 1414 . 2  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  M
)
171, 16eqtri 2431 1  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405   T. wtru 1406    e. wcel 1842   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   1oc1o 7080   Basecbs 14733   +g cplusg 14801   0gc0g 14946   mPoly cmpl 18214  PwSer1cps1 18426  Poly1cpl1 18428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-ple 14821  df-0g 14948  df-psr 18217  df-mpl 18219  df-opsr 18221  df-psr1 18431  df-ply1 18433
This theorem is referenced by:  coe1z  18516  ply1coe  18549  deg1z  22671  deg1nn0cl  22672  deg1ldg  22676  ply1nzb  22707
  Copyright terms: Public domain W3C validator