Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1moncl Structured version   Unicode version

Theorem ply1moncl 30727
Description: TODO-AV: place before ply1tmcl 17700 and use it to shorten proof. Closure of the expression for a univariate monomial. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1moncl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1moncl.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1moncl.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
ply1moncl.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
ply1moncl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1moncl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( D  .^  X )  e.  B )

Proof of Theorem ply1moncl
StepHypRef Expression
1 ply1moncl.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1rng 17678 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
3 ply1moncl.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  P )
43rngmgp 16641 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  N  e. 
Mnd )
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  N  e. 
Mnd )
65adantr 462 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  D  e.  NN0 )  ->  N  e.  Mnd )
7 simpr 458 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  D  e.  NN0 )  ->  D  e.  NN0 )
8 ply1moncl.x . . . 4  |-  X  =  (var1 `  R )
9 ply1moncl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
108, 1, 9vr1cl 17647 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  B )
1110adantr 462 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  D  e.  NN0 )  ->  X  e.  B )
123, 9mgpbas 16587 . . 3  |-  B  =  ( Base `  N
)
13 ply1moncl.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  N )
1412, 13mulgnn0cl 15636 . 2  |-  ( ( N  e.  Mnd  /\  D  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( D  .^  X )  e.  B )
156, 7, 11, 14syl3anc 1213 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( D  .^  X )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   NN0cn0 10575   Basecbs 14170   Mndcmnd 15405  .gcmg 15410  mulGrpcmgp 16581   Ringcrg 16635  var1cv1 17608  Poly1cpl1 17609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-tset 14253  df-ple 14254  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-subrg 16843  df-psr 17401  df-mvr 17402  df-mpl 17403  df-opsr 17405  df-psr1 17612  df-vr1 17613  df-ply1 17614
This theorem is referenced by:  ply1idvr1  30728
  Copyright terms: Public domain W3C validator