MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lpir Structured version   Unicode version

Theorem ply1lpir 22705
Description: The ring of polynomials over a division ring has the principal ideal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lpir.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1lpir  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e. LPIR )

Proof of Theorem ply1lpir
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngring 17530 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 ply1lpir.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1ring 18416 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e.  Ring )
5 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
6 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  (LIdeal `  P )  =  (LIdeal `  P )
75, 6lidlss 17983 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  (LIdeal `  P
)  ->  i  C_  ( Base `  P )
)
87adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  C_  ( Base `  P )
)
9 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (idlGen1p `  R
)  =  (idlGen1p `  R
)
102, 9, 6ig1pcl 22702 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (idlGen1p `  R ) `  i
)  e.  i )
118, 10sseldd 3500 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (idlGen1p `  R ) `  i
)  e.  ( Base `  P ) )
12 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (RSpan `  P )  =  (RSpan `  P )
132, 9, 6, 12ig1prsp 22704 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  =  ( (RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )
14 sneq 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  { j }  =  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } )
1514fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  ( (RSpan `  P
) `  { j } )  =  ( (RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )
1615eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  ( i  =  ( (RSpan `  P ) `  { j } )  <-> 
i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
( (idlGen1p `
 R ) `  i ) } ) ) )
1716rspcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( ( (idlGen1p `
 R ) `  i )  e.  (
Base `  P )  /\  i  =  (
(RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )  ->  E. j  e.  ( Base `  P ) i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
j } ) )
1811, 13, 17syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. j  e.  ( Base `  P
) i  =  ( (RSpan `  P ) `  { j } ) )
194adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  P  e.  Ring )
20 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (LPIdeal `  P
)  =  (LPIdeal `  P
)
2120, 12, 5islpidl 18021 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  ( i  e.  (LPIdeal `  P
)  <->  E. j  e.  (
Base `  P )
i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
j } ) ) )
2219, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( i  e.  (LPIdeal `  P )  <->  E. j  e.  ( Base `  P ) i  =  ( (RSpan `  P
) `  { j } ) ) )
2318, 22mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  e.  (LPIdeal `  P ) )
2423ex 434 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( i  e.  (LIdeal `  P )  ->  i  e.  (LPIdeal `  P
) ) )
2524ssrdv 3505 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (LIdeal `  P )  C_  (LPIdeal `  P )
)
2620, 6islpir2 18026 . 2  |-  ( P  e. LPIR 
<->  ( P  e.  Ring  /\  (LIdeal `  P )  C_  (LPIdeal `  P )
) )
274, 25, 26sylanbrc 664 1  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e. LPIR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808    C_ wss 3471   {csn 4032   ` cfv 5594   Basecbs 14644   Ringcrg 17325   DivRingcdr 17523  LIdealclidl 17943  RSpancrsp 17944  LPIdealclpidl 18016  LPIRclpir 18017  Poly1cpl1 18343  idlGen1pcig1p 22656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-lpidl 18018  df-lpir 18019  df-rlreg 18058  df-ascl 18090  df-psr 18132  df-mvr 18133  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-psr1 18346  df-vr1 18347  df-ply1 18348  df-coe1 18349  df-cnfld 18548  df-mdeg 22579  df-deg1 22580  df-mon1 22657  df-uc1p 22658  df-q1p 22659  df-r1p 22660  df-ig1p 22661
This theorem is referenced by:  ply1pid  22706
  Copyright terms: Public domain W3C validator