MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lmod Structured version   Unicode version

Theorem ply1lmod 18061
Description: Univariate polynomials form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1lmod  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )

Proof of Theorem ply1lmod
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
21psr1lmod 18058 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (PwSer1 `  R
)  e.  LMod )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
53, 1, 4ply1bas 18002 . . 3  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
63, 1, 4ply1lss 18003 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) ) )
75, 6syl5eqelr 2560 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) ) )
8 ply1lmod.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
98, 1ply1val 18001 . . 3  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
10 eqid 2467 . . 3  |-  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) )
119, 10lsslmod 17386 . 2  |-  ( ( (PwSer1 `  R )  e. 
LMod  /\  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R
) ) )  ->  P  e.  LMod )
122, 7, 11syl2anc 661 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1oc1o 7120   Basecbs 14483   Ringcrg 16983   LModclmod 17292   LSubSpclss 17358   mPoly cmpl 17770  PwSer1cps1 17982  Poly1cpl1 17984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-tset 14567  df-ple 14568  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-psr 17773  df-mpl 17775  df-opsr 17777  df-psr1 17987  df-ply1 17989
This theorem is referenced by:  ply10s0  18065  ply1tmcl  18081  coe1pwmul  18088  ply1sclf  18094  ply1scl0  18099  ply1scl1  18101  ply1idvr1  18102  ply1coefsupp  18104  ply1coe  18105  cply1coe0bi  18110  gsumsmonply1  18113  gsummoncoe1  18114  lply1binomsc  18117  evls1sca  18128  evl1scvarpw  18167  evl1gsummon  18169  cpmatacl  18981  cpmatinvcl  18982  mat2pmatbas  18991  mat2pmatghm  18995  mat2pmatmul  18996  decpmatid  19035  pmatcollpwscmatlem1  19054  pm2mpcl  19062  idpm2idmp  19066  mply1topmatcllem  19068  mply1topmatcl  19070  mp2pm2mplem2  19072  mp2pm2mplem4  19074  mp2pm2mplem5  19075  pm2mpghmlem2  19077  pm2mpghm  19081  pm2mpmhmlem1  19083  pm2mpmhmlem2  19084  monmat2matmon  19089  chpscmat  19107  chpscmatgsumbin  19109  chpscmatgsummon  19110  deg1invg  22239  deg1pwle  22252  deg1pw  22253  ply1remlem  22295  plypf1  22341  ply1vr1smo  32054  ply1mulgsumlem4  32062  ply1mulgsum  32063
  Copyright terms: Public domain W3C validator