MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lmod Structured version   Unicode version

Theorem ply1lmod 18613
Description: Univariate polynomials form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1lmod  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )

Proof of Theorem ply1lmod
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
21psr1lmod 18610 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (PwSer1 `  R
)  e.  LMod )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
53, 1, 4ply1bas 18554 . . 3  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
63, 1, 4ply1lss 18555 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) ) )
75, 6syl5eqelr 2495 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) ) )
8 ply1lmod.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
98, 1ply1val 18553 . . 3  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
10 eqid 2402 . . 3  |-  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) )
119, 10lsslmod 17926 . 2  |-  ( ( (PwSer1 `  R )  e. 
LMod  /\  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R
) ) )  ->  P  e.  LMod )
122, 7, 11syl2anc 659 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1oc1o 7160   Basecbs 14841   Ringcrg 17518   LModclmod 17832   LSubSpclss 17898   mPoly cmpl 18322  PwSer1cps1 18534  Poly1cpl1 18536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-tset 14928  df-ple 14929  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-psr 18325  df-mpl 18327  df-opsr 18329  df-psr1 18539  df-ply1 18541
This theorem is referenced by:  ply10s0  18617  ply1tmcl  18633  coe1pwmul  18640  ply1sclf  18646  ply1scl0  18651  ply1scl1  18653  ply1idvr1  18654  ply1coefsupp  18656  ply1coe  18657  cply1coe0bi  18662  gsumsmonply1  18665  gsummoncoe1  18666  lply1binomsc  18669  evls1sca  18680  evl1scvarpw  18719  evl1gsummon  18721  cpmatacl  19509  cpmatinvcl  19510  mat2pmatbas  19519  mat2pmatghm  19523  mat2pmatmul  19524  decpmatid  19563  pmatcollpwscmatlem1  19582  pm2mpcl  19590  idpm2idmp  19594  mply1topmatcllem  19596  mply1topmatcl  19598  mp2pm2mplem4  19602  mp2pm2mplem5  19603  pm2mpghmlem2  19605  pm2mpghm  19609  pm2mpmhmlem1  19611  pm2mpmhmlem2  19612  monmat2matmon  19617  chpscmat  19635  chpscmatgsumbin  19637  chpscmatgsummon  19638  deg1invg  22799  deg1pwle  22812  deg1pw  22813  ply1remlem  22855  plypf1  22901  ply1vr1smo  38492  ply1mulgsumlem4  38500  ply1mulgsum  38501
  Copyright terms: Public domain W3C validator