Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divmo Structured version   Unicode version

Theorem ply1divmo 23084
 Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials such that and the leading coefficient of is not a zero divisor, there is at most one polynomial which satisfies where the degree of is less than the degree of . (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p Poly1
ply1divalg.d deg1
ply1divalg.b
ply1divalg.m
ply1divalg.z
ply1divalg.t
ply1divalg.r1
ply1divalg.f
ply1divalg.g1
ply1divalg.g2
ply1divmo.g3 coe1
ply1divmo.e RLReg
Assertion
Ref Expression
ply1divmo
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem ply1divmo
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . . . . 13
21adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
3 ply1divalg.p . . . . . . . . . . . . 13 Poly1
43ply1ring 18840 . . . . . . . . . . . 12
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11
6 ringgrp 17784 . . . . . . . . . . 11
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10
8 ply1divalg.f . . . . . . . . . . . 12
98adantr 466 . . . . . . . . . . 11
10 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . . . . 13
1110adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
12 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . . . . 13
14 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . 13
1513, 14ringcl 17793 . . . . . . . . . . . 12
165, 11, 12, 15syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
17 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . 12
1813, 17grpsubcl 16733 . . . . . . . . . . 11
197, 9, 16, 18syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
20 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12
2113, 14ringcl 17793 . . . . . . . . . . . 12
225, 11, 20, 21syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
2313, 17grpsubcl 16733 . . . . . . . . . . 11
247, 9, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
2513, 17grpsubcl 16733 . . . . . . . . . 10
267, 19, 24, 25syl3anc 1264 . . . . . . . . 9
27 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10 deg1
2827, 3, 13deg1xrcl 23029 . . . . . . . . 9
2926, 28syl 17 . . . . . . . 8
3027, 3, 13deg1xrcl 23029 . . . . . . . . . 10
3124, 30syl 17 . . . . . . . . 9
3227, 3, 13deg1xrcl 23029 . . . . . . . . . 10
3319, 32syl 17 . . . . . . . . 9
3431, 33ifcld 3954 . . . . . . . 8
3527, 3, 13deg1xrcl 23029 . . . . . . . . 9
3611, 35syl 17 . . . . . . . 8
3729, 34, 363jca 1185 . . . . . . 7
3837adantr 466 . . . . . 6
393, 27, 2, 13, 17, 19, 24deg1suble 23054 . . . . . . . 8
4039adantr 466 . . . . . . 7
41 xrmaxlt 11483 . . . . . . . . 9
4233, 31, 36, 41syl3anc 1264 . . . . . . . 8
4342biimpar 487 . . . . . . 7
4440, 43jca 534 . . . . . 6
45 xrlelttr 11460 . . . . . 6
4638, 44, 45sylc 62 . . . . 5
4746ex 435 . . . 4
48 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . . . . 13
49 ply1divalg.z . . . . . . . . . . . . . 14
5027, 3, 49, 13deg1nn0cl 23035 . . . . . . . . . . . . 13
511, 10, 48, 50syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12
5251ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11
5352nn0red 10933 . . . . . . . . . 10
541ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11
5513, 17grpsubcl 16733 . . . . . . . . . . . . 13
567, 20, 12, 55syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12
5756adantr 466 . . . . . . . . . . 11
5813, 49, 17grpsubeq0 16739 . . . . . . . . . . . . . . 15
597, 20, 12, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14
60 equcom 1848 . . . . . . . . . . . . . 14
6159, 60syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . 13
6261necon3bid 2678 . . . . . . . . . . . 12
6362biimpar 487 . . . . . . . . . . 11
6427, 3, 49, 13deg1nn0cl 23035 . . . . . . . . . . 11
6554, 57, 63, 64syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
66 nn0addge1 10923 . . . . . . . . . 10
6753, 65, 66syl2anc 665 . . . . . . . . 9
68 ply1divmo.e . . . . . . . . . 10 RLReg
6910ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10
7048ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10
71 ply1divmo.g3 . . . . . . . . . . 11 coe1
7271ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10 coe1
7327, 3, 68, 13, 14, 49, 54, 69, 70, 72, 57, 63deg1mul2 23061 . . . . . . . . 9
7467, 73breqtrrd 4450 . . . . . . . 8
75 ringabl 17809 . . . . . . . . . . . . 13
765, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12
7713, 17, 76, 9, 16, 22ablnnncan1 17464 . . . . . . . . . . 11
7813, 14, 17, 5, 11, 20, 12ringsubdi 17826 . . . . . . . . . . 11
7977, 78eqtr4d 2466 . . . . . . . . . 10
8079fveq2d 5885 . . . . . . . . 9
8180adantr 466 . . . . . . . 8
8274, 81breqtrrd 4450 . . . . . . 7
83 xrlenlt 9706 . . . . . . . . 9
8436, 29, 83syl2anc 665 . . . . . . . 8
8584adantr 466 . . . . . . 7
8682, 85mpbid 213 . . . . . 6
8786ex 435 . . . . 5
8887necon4ad 2640 . . . 4
8947, 88syld 45 . . 3
9089ralrimivva 2843 . 2
91 oveq2 6313 . . . . . 6
9291oveq2d 6321 . . . . 5
9392fveq2d 5885 . . . 4
9493breq1d 4433 . . 3
9594rmo4 3263 . 2
9690, 95sylibr 215 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  wrmo 2774  cif 3911   class class class wbr 4423  cfv 5601  (class class class)co 6305  cr 9545   caddc 9549  cxr 9681   clt 9682   cle 9683  cn0 10876  cbs 15120  cmulr 15190  c0g 15337  cgrp 16668  csg 16670  cabl 17430  crg 17779  RLRegcrlreg 18502  Poly1cpl1 18769  coe1cco1 18770   deg1 cdg1 23001 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-hash 12522  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-ghm 16880  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-subrg 18005  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-rlreg 18506  df-psr 18579  df-mpl 18581  df-opsr 18583  df-psr1 18772  df-ply1 18774  df-coe1 18775  df-cnfld 18970  df-mdeg 23002  df-deg1 23003 This theorem is referenced by:  ply1divalg  23086
 Copyright terms: Public domain W3C validator