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Theorem ply1divmo 23084
Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials  F ,  G such that  G  =/=  0 and the leading coefficient of  G is not a zero divisor, there is at most one polynomial  q which satisfies  F  =  ( G  x.  q )  +  r where the degree of  r is less than the degree of  G. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1divalg.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ply1divalg.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1divalg.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1divalg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ply1divalg.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
ply1divalg.r1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
ply1divalg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
ply1divalg.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
ply1divalg.g2  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
ply1divmo.g3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
ply1divmo.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1divmo  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Distinct variable groups:    ph, q    B, q    D, q    F, q    G, q    .- , q    .xb , q
Allowed substitution hints:    P( q)    R( q)    E( q)    .0. ( q)

Proof of Theorem ply1divmo
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
21adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
3 ply1divalg.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  (Poly1 `  R )
43ply1ring 18840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Ring )
6 ringgrp 17784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Grp )
8 ply1divalg.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
98adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  F  e.  B )
10 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1110adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  G  e.  B )
12 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
q  e.  B )
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  P
)
14 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .xb  =  ( .r `  P )
1513, 14ringcl 17793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( G  .xb  q )  e.  B )
165, 11, 12, 15syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  q
)  e.  B )
17 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .-  =  ( -g `  P )
1813, 17grpsubcl 16733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( G  .xb  q )  e.  B )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  q ) )  e.  B )
197, 9, 16, 18syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  q ) )  e.  B )
20 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
r  e.  B )
2113, 14ringcl 17793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( G  .xb  r )  e.  B )
225, 11, 20, 21syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  r
)  e.  B )
2313, 17grpsubcl 16733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( G  .xb  r )  e.  B )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )
247, 9, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )
2513, 17grpsubcl 16733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) )  e.  B  /\  ( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )  ->  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B
)
267, 19, 24, 25syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B )
27 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2827, 3, 13deg1xrcl 23029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B  ->  ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR* )
2926, 28syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR* )
3027, 3, 13deg1xrcl 23029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  .-  ( G 
.xb  r ) )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  e. 
RR* )
3124, 30syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  RR* )
3227, 3, 13deg1xrcl 23029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  .-  ( G 
.xb  q ) )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  e. 
RR* )
3319, 32syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  e.  RR* )
3431, 33ifcld 3954 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR* )
3527, 3, 13deg1xrcl 23029 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
3611, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  G
)  e.  RR* )
3729, 34, 363jca 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e.  RR*  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* ) )
3837adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  e.  RR*  /\  if ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) ) ,  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G
)  e.  RR* )
)
393, 27, 2, 13, 17, 19, 24deg1suble 23054 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) ) )
4039adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) ) )
41 xrmaxlt 11483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  e. 
RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  ( if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G )  <->  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
4233, 31, 36, 41syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( if ( ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G )  <->  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
4342biimpar 487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )
4440, 43jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <_  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
45 xrlelttr 11460 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR*  /\  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  (
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
4638, 44, 45sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )
4746ex 435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  < 
( D `  G
) ) )
48 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
49 ply1divalg.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
5027, 3, 49, 13deg1nn0cl 23035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  G  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
511, 10, 48, 50syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  NN0 )
5251ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
5352nn0red 10933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  e.  RR )
541ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  R  e.  Ring )
5513, 17grpsubcl 16733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  r  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( r  .-  q
)  e.  B )
567, 20, 12, 55syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( r  .-  q
)  e.  B )
5756adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
r  .-  q )  e.  B )
5813, 49, 17grpsubeq0 16739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  r  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  r  =  q ) )
597, 20, 12, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  r  =  q ) )
60 equcom 1848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  q  <->  q  =  r )
6159, 60syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  q  =  r ) )
6261necon3bid 2678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =/=  .0.  <->  q  =/=  r ) )
6362biimpar 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
r  .-  q )  =/=  .0.  )
6427, 3, 49, 13deg1nn0cl 23035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  .-  q )  e.  B  /\  (
r  .-  q )  =/=  .0.  )  ->  ( D `  ( r  .-  q ) )  e. 
NN0 )
6554, 57, 63, 64syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( r  .-  q ) )  e. 
NN0 )
66 nn0addge1 10923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR  /\  ( D `  ( r 
.-  q ) )  e.  NN0 )  -> 
( D `  G
)  <_  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r  .-  q
) ) ) )
6753, 65, 66syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r 
.-  q ) ) ) )
68 ply1divmo.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (RLReg `  R )
6910ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  G  e.  B )
7048ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  G  =/=  .0.  )
71 ply1divmo.g3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
7271ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
7327, 3, 68, 13, 14, 49, 54, 69, 70, 72, 57, 63deg1mul2 23061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q
) ) )  =  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r 
.-  q ) ) ) )
7467, 73breqtrrd 4450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q ) ) ) )
75 ringabl 17809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Abel )
765, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Abel )
7713, 17, 76, 9, 16, 22ablnnncan1 17464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  =  ( ( G 
.xb  r )  .-  ( G  .xb  q ) ) )
7813, 14, 17, 5, 11, 20, 12ringsubdi 17826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  (
r  .-  q )
)  =  ( ( G  .xb  r )  .-  ( G  .xb  q
) ) )
7977, 78eqtr4d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  =  ( G  .xb  ( r  .-  q
) ) )
8079fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  =  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q ) ) ) )
8180adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  =  ( D `  ( G 
.xb  ( r  .-  q ) ) ) )
8274, 81breqtrrd 4450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ) )
83 xrlenlt 9706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  e.  RR* )  ->  ( ( D `
 G )  <_ 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <  ( D `  G )
) )
8436, 29, 83syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  G )  <_  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <  ( D `  G )
) )
8584adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
( D `  G
)  <_  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
8682, 85mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  < 
( D `  G
) )
8786ex 435 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( q  =/=  r  ->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
8887necon4ad 2640 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G )  -> 
q  =  r ) )
8947, 88syld 45 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
q  =  r ) )
9089ralrimivva 2843 . 2  |-  ( ph  ->  A. q  e.  B  A. r  e.  B  ( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
q  =  r ) )
91 oveq2 6313 . . . . . 6  |-  ( q  =  r  ->  ( G  .xb  q )  =  ( G  .xb  r
) )
9291oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( q  =  r  ->  ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  =  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )
9392fveq2d 5885 . . . 4  |-  ( q  =  r  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  =  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )
9493breq1d 4433 . . 3  |-  ( q  =  r  ->  (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
9594rmo4 3263 . 2  |-  ( E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  A. q  e.  B  A. r  e.  B  ( (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  < 
( D `  G
) )  ->  q  =  r ) )
9690, 95sylibr 215 1  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E*wrmo 2774   ifcif 3911   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9545    + caddc 9549   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683   NN0cn0 10876   Basecbs 15120   .rcmulr 15190   0gc0g 15337   Grpcgrp 16668   -gcsg 16670   Abelcabl 17430   Ringcrg 17779  RLRegcrlreg 18502  Poly1cpl1 18769  coe1cco1 18770   deg1 cdg1 23001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-hash 12522  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-ghm 16880  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-subrg 18005  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-rlreg 18506  df-psr 18579  df-mpl 18581  df-opsr 18583  df-psr1 18772  df-ply1 18774  df-coe1 18775  df-cnfld 18970  df-mdeg 23002  df-deg1 23003
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