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Theorem ply1divmo 22662
Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials  F ,  G such that  G  =/=  0 and the leading coefficient of  G is not a zero divisor, there is at most one polynomial  q which satisfies  F  =  ( G  x.  q )  +  r where the degree of  r is less than the degree of  G. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1divalg.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ply1divalg.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1divalg.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1divalg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ply1divalg.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
ply1divalg.r1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
ply1divalg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
ply1divalg.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
ply1divalg.g2  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
ply1divmo.g3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
ply1divmo.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1divmo  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Distinct variable groups:    ph, q    B, q    D, q    F, q    G, q    .- , q    .xb , q
Allowed substitution hints:    P( q)    R( q)    E( q)    .0. ( q)

Proof of Theorem ply1divmo
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
21adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
3 ply1divalg.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  (Poly1 `  R )
43ply1ring 18416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
52, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Ring )
6 ringgrp 17330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Grp )
8 ply1divalg.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
98adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  F  e.  B )
10 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  G  e.  B )
12 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
q  e.  B )
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  P
)
14 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .xb  =  ( .r `  P )
1513, 14ringcl 17339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( G  .xb  q )  e.  B )
165, 11, 12, 15syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  q
)  e.  B )
17 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .-  =  ( -g `  P )
1813, 17grpsubcl 16245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( G  .xb  q )  e.  B )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  q ) )  e.  B )
197, 9, 16, 18syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  q ) )  e.  B )
20 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
r  e.  B )
2113, 14ringcl 17339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( G  .xb  r )  e.  B )
225, 11, 20, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  r
)  e.  B )
2313, 17grpsubcl 16245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( G  .xb  r )  e.  B )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )
247, 9, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )
2513, 17grpsubcl 16245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) )  e.  B  /\  ( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )  ->  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B
)
267, 19, 24, 25syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B )
27 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2827, 3, 13deg1xrcl 22608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B  ->  ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR* )
2926, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR* )
3027, 3, 13deg1xrcl 22608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  .-  ( G 
.xb  r ) )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  e. 
RR* )
3124, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  RR* )
3227, 3, 13deg1xrcl 22608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  .-  ( G 
.xb  q ) )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  e. 
RR* )
3319, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  e.  RR* )
3431, 33ifcld 3987 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR* )
3527, 3, 13deg1xrcl 22608 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
3611, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  G
)  e.  RR* )
3729, 34, 363jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e.  RR*  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* ) )
3837adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  e.  RR*  /\  if ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) ) ,  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G
)  e.  RR* )
)
393, 27, 2, 13, 17, 19, 24deg1suble 22634 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) ) )
4039adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) ) )
41 xrmaxlt 11407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  e. 
RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  ( if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G )  <->  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
4233, 31, 36, 41syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( if ( ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G )  <->  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
4342biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )
4440, 43jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <_  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
45 xrlelttr 11384 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR*  /\  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  (
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
4638, 44, 45sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )
4746ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  < 
( D `  G
) ) )
48 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
49 ply1divalg.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
5027, 3, 49, 13deg1nn0cl 22614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  G  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
511, 10, 48, 50syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  NN0 )
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
5352nn0red 10874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  e.  RR )
541ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  R  e.  Ring )
5513, 17grpsubcl 16245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  r  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( r  .-  q
)  e.  B )
567, 20, 12, 55syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( r  .-  q
)  e.  B )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
r  .-  q )  e.  B )
5813, 49, 17grpsubeq0 16251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  r  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  r  =  q ) )
597, 20, 12, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  r  =  q ) )
60 equcom 1795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  q  <->  q  =  r )
6159, 60syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  q  =  r ) )
6261necon3bid 2715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =/=  .0.  <->  q  =/=  r ) )
6362biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
r  .-  q )  =/=  .0.  )
6427, 3, 49, 13deg1nn0cl 22614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  .-  q )  e.  B  /\  (
r  .-  q )  =/=  .0.  )  ->  ( D `  ( r  .-  q ) )  e. 
NN0 )
6554, 57, 63, 64syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( r  .-  q ) )  e. 
NN0 )
66 nn0addge1 10863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR  /\  ( D `  ( r 
.-  q ) )  e.  NN0 )  -> 
( D `  G
)  <_  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r  .-  q
) ) ) )
6753, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r 
.-  q ) ) ) )
68 ply1divmo.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (RLReg `  R )
6910ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  G  e.  B )
7048ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  G  =/=  .0.  )
71 ply1divmo.g3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
7327, 3, 68, 13, 14, 49, 54, 69, 70, 72, 57, 63deg1mul2 22641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q
) ) )  =  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r 
.-  q ) ) ) )
7467, 73breqtrrd 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q ) ) ) )
75 ringabl 17355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Abel )
765, 75syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Abel )
7713, 17, 76, 9, 16, 22ablnnncan1 16960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  =  ( ( G 
.xb  r )  .-  ( G  .xb  q ) ) )
7813, 14, 17, 5, 11, 20, 12ringsubdi 17372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  (
r  .-  q )
)  =  ( ( G  .xb  r )  .-  ( G  .xb  q
) ) )
7977, 78eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  =  ( G  .xb  ( r  .-  q
) ) )
8079fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  =  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q ) ) ) )
8180adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  =  ( D `  ( G 
.xb  ( r  .-  q ) ) ) )
8274, 81breqtrrd 4482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ) )
83 xrlenlt 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  e.  RR* )  ->  ( ( D `
 G )  <_ 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <  ( D `  G )
) )
8436, 29, 83syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  G )  <_  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <  ( D `  G )
) )
8584adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
( D `  G
)  <_  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
8682, 85mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  < 
( D `  G
) )
8786ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( q  =/=  r  ->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
8887necon4ad 2677 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G )  -> 
q  =  r ) )
8947, 88syld 44 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
q  =  r ) )
9089ralrimivva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. q  e.  B  A. r  e.  B  ( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
q  =  r ) )
91 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( q  =  r  ->  ( G  .xb  q )  =  ( G  .xb  r
) )
9291oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( q  =  r  ->  ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  =  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )
9392fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( q  =  r  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  =  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )
9493breq1d 4466 . . 3  |-  ( q  =  r  ->  (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
9594rmo4 3292 . 2  |-  ( E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  A. q  e.  B  A. r  e.  B  ( (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  < 
( D `  G
) )  ->  q  =  r ) )
9690, 95sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E*wrmo 2810   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508    + caddc 9512   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   NN0cn0 10816   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182   Abelcabl 16926   Ringcrg 17325  RLRegcrlreg 18054  Poly1cpl1 18343  coe1cco1 18344   deg1 cdg1 22578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-rlreg 18058  df-psr 18132  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-psr1 18346  df-ply1 18348  df-coe1 18349  df-cnfld 18548  df-mdeg 22579  df-deg1 22580
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