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Theorem ply1divmo 22268
Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials  F ,  G such that  G  =/=  0 and the leading coefficient of  G is not a zero divisor, there is at most one polynomial  q which satisfies  F  =  ( G  x.  q )  +  r where the degree of  r is less than the degree of  G. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1divalg.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ply1divalg.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1divalg.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1divalg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ply1divalg.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
ply1divalg.r1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
ply1divalg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
ply1divalg.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
ply1divalg.g2  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
ply1divmo.g3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
ply1divmo.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1divmo  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Distinct variable groups:    ph, q    B, q    D, q    F, q    G, q    .- , q    .xb , q
Allowed substitution hints:    P( q)    R( q)    E( q)    .0. ( q)

Proof of Theorem ply1divmo
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
21adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
3 ply1divalg.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  (Poly1 `  R )
43ply1rng 18057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
52, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Ring )
6 rnggrp 16988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Grp )
8 ply1divalg.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
98adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  F  e.  B )
10 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  G  e.  B )
12 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
q  e.  B )
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  P
)
14 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .xb  =  ( .r `  P )
1513, 14rngcl 16996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( G  .xb  q )  e.  B )
165, 11, 12, 15syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  q
)  e.  B )
17 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .-  =  ( -g `  P )
1813, 17grpsubcl 15916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( G  .xb  q )  e.  B )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  q ) )  e.  B )
197, 9, 16, 18syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  q ) )  e.  B )
20 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
r  e.  B )
2113, 14rngcl 16996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( G  .xb  r )  e.  B )
225, 11, 20, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  r
)  e.  B )
2313, 17grpsubcl 15916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( G  .xb  r )  e.  B )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )
247, 9, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )
2513, 17grpsubcl 15916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) )  e.  B  /\  ( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )  ->  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B
)
267, 19, 24, 25syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B )
27 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2827, 3, 13deg1xrcl 22214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B  ->  ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR* )
2926, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR* )
3027, 3, 13deg1xrcl 22214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  .-  ( G 
.xb  r ) )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  e. 
RR* )
3124, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  RR* )
3227, 3, 13deg1xrcl 22214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  .-  ( G 
.xb  q ) )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  e. 
RR* )
3319, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  e.  RR* )
34 ifcl 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  e. 
RR* )  ->  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR* )
3531, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR* )
3627, 3, 13deg1xrcl 22214 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
3711, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  G
)  e.  RR* )
3829, 35, 373jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e.  RR*  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* ) )
3938adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  e.  RR*  /\  if ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) ) ,  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G
)  e.  RR* )
)
403, 27, 2, 13, 17, 19, 24deg1suble 22240 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) ) )
4140adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) ) )
42 xrmaxlt 11378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  e. 
RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  ( if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G )  <->  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
4333, 31, 37, 42syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( if ( ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G )  <->  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
4443biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )
4541, 44jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <_  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
46 xrlelttr 11355 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR*  /\  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  (
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
4739, 45, 46sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )
4847ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  < 
( D `  G
) ) )
49 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
50 ply1divalg.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
5127, 3, 50, 13deg1nn0cl 22220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  G  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
521, 10, 49, 51syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  NN0 )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
5453nn0red 10849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  e.  RR )
551ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  R  e.  Ring )
5613, 17grpsubcl 15916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  r  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( r  .-  q
)  e.  B )
577, 20, 12, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( r  .-  q
)  e.  B )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
r  .-  q )  e.  B )
5913, 50, 17grpsubeq0 15922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  r  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  r  =  q ) )
607, 20, 12, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  r  =  q ) )
61 equcom 1743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  q  <->  q  =  r )
6260, 61syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  q  =  r ) )
6362necon3bid 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =/=  .0.  <->  q  =/=  r ) )
6463biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
r  .-  q )  =/=  .0.  )
6527, 3, 50, 13deg1nn0cl 22220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  .-  q )  e.  B  /\  (
r  .-  q )  =/=  .0.  )  ->  ( D `  ( r  .-  q ) )  e. 
NN0 )
6655, 58, 64, 65syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( r  .-  q ) )  e. 
NN0 )
67 nn0addge1 10838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR  /\  ( D `  ( r 
.-  q ) )  e.  NN0 )  -> 
( D `  G
)  <_  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r  .-  q
) ) ) )
6854, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r 
.-  q ) ) ) )
69 ply1divmo.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (RLReg `  R )
7010ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  G  e.  B )
7149ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  G  =/=  .0.  )
72 ply1divmo.g3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
7427, 3, 69, 13, 14, 50, 55, 70, 71, 73, 58, 64deg1mul2 22247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q
) ) )  =  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r 
.-  q ) ) ) )
7568, 74breqtrrd 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q ) ) ) )
76 rngabl 17012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Abel )
775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Abel )
7813, 17, 77, 9, 16, 22ablnnncan1 16626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  =  ( ( G 
.xb  r )  .-  ( G  .xb  q ) ) )
7913, 14, 17, 5, 11, 20, 12rngsubdi 17028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  (
r  .-  q )
)  =  ( ( G  .xb  r )  .-  ( G  .xb  q
) ) )
8078, 79eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  =  ( G  .xb  ( r  .-  q
) ) )
8180fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  =  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q ) ) ) )
8281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  =  ( D `  ( G 
.xb  ( r  .-  q ) ) ) )
8375, 82breqtrrd 4473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ) )
84 xrlenlt 9648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  e.  RR* )  ->  ( ( D `
 G )  <_ 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <  ( D `  G )
) )
8537, 29, 84syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  G )  <_  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <  ( D `  G )
) )
8685adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
( D `  G
)  <_  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
8783, 86mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  < 
( D `  G
) )
8887ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( q  =/=  r  ->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
8988necon4ad 2687 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G )  -> 
q  =  r ) )
9048, 89syld 44 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
q  =  r ) )
9190ralrimivva 2885 . 2  |-  ( ph  ->  A. q  e.  B  A. r  e.  B  ( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
q  =  r ) )
92 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( q  =  r  ->  ( G  .xb  q )  =  ( G  .xb  r
) )
9392oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( q  =  r  ->  ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  =  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )
9493fveq2d 5868 . . . 4  |-  ( q  =  r  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  =  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )
9594breq1d 4457 . . 3  |-  ( q  =  r  ->  (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
9695rmo4 3296 . 2  |-  ( E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  A. q  e.  B  A. r  e.  B  ( (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  < 
( D `  G
) )  ->  q  =  r ) )
9791, 96sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E*wrmo 2817   ifcif 3939   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487    + caddc 9491   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   NN0cn0 10791   Basecbs 14483   .rcmulr 14549   0gc0g 14688   Grpcgrp 15720   -gcsg 15723   Abelcabl 16592   Ringcrg 16983  RLRegcrlreg 17695  Poly1cpl1 17984  coe1cco1 17985   deg1 cdg1 22184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-hash 12368  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-subrg 17207  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-rlreg 17699  df-psr 17773  df-mpl 17775  df-opsr 17777  df-psr1 17987  df-ply1 17989  df-coe1 17990  df-cnfld 18189  df-mdeg 22185  df-deg1 22186
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