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Theorem ply1divmo 21607
Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials  F ,  G such that  G  =/=  0 and the leading coefficient of  G is not a zero divisor, there is at most one polynomial  q which satisfies  F  =  ( G  x.  q )  +  r where the degree of  r is less than the degree of  G. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1divalg.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ply1divalg.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1divalg.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1divalg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ply1divalg.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
ply1divalg.r1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
ply1divalg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
ply1divalg.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
ply1divalg.g2  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
ply1divmo.g3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
ply1divmo.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1divmo  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Distinct variable groups:    ph, q    B, q    D, q    F, q    G, q    .- , q    .xb , q
Allowed substitution hints:    P( q)    R( q)    E( q)    .0. ( q)

Proof of Theorem ply1divmo
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
21adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
3 ply1divalg.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  (Poly1 `  R )
43ply1rng 17703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
52, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Ring )
6 rnggrp 16650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Grp )
8 ply1divalg.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
98adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  F  e.  B )
10 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  G  e.  B )
12 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
q  e.  B )
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  P
)
14 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .xb  =  ( .r `  P )
1513, 14rngcl 16658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( G  .xb  q )  e.  B )
165, 11, 12, 15syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  q
)  e.  B )
17 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .-  =  ( -g `  P )
1813, 17grpsubcl 15606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( G  .xb  q )  e.  B )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  q ) )  e.  B )
197, 9, 16, 18syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  q ) )  e.  B )
20 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
r  e.  B )
2113, 14rngcl 16658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( G  .xb  r )  e.  B )
225, 11, 20, 21syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  r
)  e.  B )
2313, 17grpsubcl 15606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( G  .xb  r )  e.  B )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )
247, 9, 22, 23syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )
2513, 17grpsubcl 15606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) )  e.  B  /\  ( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )  ->  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B
)
267, 19, 24, 25syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B )
27 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2827, 3, 13deg1xrcl 21553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B  ->  ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR* )
2926, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR* )
3027, 3, 13deg1xrcl 21553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  .-  ( G 
.xb  r ) )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  e. 
RR* )
3124, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  RR* )
3227, 3, 13deg1xrcl 21553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  .-  ( G 
.xb  q ) )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  e. 
RR* )
3319, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  e.  RR* )
34 ifcl 3831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  e. 
RR* )  ->  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR* )
3531, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR* )
3627, 3, 13deg1xrcl 21553 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
3711, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  G
)  e.  RR* )
3829, 35, 373jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e.  RR*  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* ) )
3938adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  e.  RR*  /\  if ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) ) ,  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G
)  e.  RR* )
)
403, 27, 2, 13, 17, 19, 24deg1suble 21579 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) ) )
4140adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) ) )
42 xrmaxlt 11153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  e. 
RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  ( if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G )  <->  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
4333, 31, 37, 42syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( if ( ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G )  <->  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
4443biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )
4541, 44jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <_  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
46 xrlelttr 11130 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR*  /\  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  (
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
4739, 45, 46sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )
4847ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  < 
( D `  G
) ) )
49 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
50 ply1divalg.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
5127, 3, 50, 13deg1nn0cl 21559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  G  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
521, 10, 49, 51syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  NN0 )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
5453nn0red 10637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  e.  RR )
551ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  R  e.  Ring )
5613, 17grpsubcl 15606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  r  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( r  .-  q
)  e.  B )
577, 20, 12, 56syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( r  .-  q
)  e.  B )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
r  .-  q )  e.  B )
5913, 50, 17grpsubeq0 15612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  r  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  r  =  q ) )
607, 20, 12, 59syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  r  =  q ) )
61 equcom 1732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  q  <->  q  =  r )
6260, 61syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  q  =  r ) )
6362necon3bid 2643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =/=  .0.  <->  q  =/=  r ) )
6463biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
r  .-  q )  =/=  .0.  )
6527, 3, 50, 13deg1nn0cl 21559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  .-  q )  e.  B  /\  (
r  .-  q )  =/=  .0.  )  ->  ( D `  ( r  .-  q ) )  e. 
NN0 )
6655, 58, 64, 65syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( r  .-  q ) )  e. 
NN0 )
67 nn0addge1 10626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR  /\  ( D `  ( r 
.-  q ) )  e.  NN0 )  -> 
( D `  G
)  <_  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r  .-  q
) ) ) )
6854, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r 
.-  q ) ) ) )
69 ply1divmo.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (RLReg `  R )
7010ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  G  e.  B )
7149ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  G  =/=  .0.  )
72 ply1divmo.g3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
7427, 3, 69, 13, 14, 50, 55, 70, 71, 73, 58, 64deg1mul2 21586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q
) ) )  =  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r 
.-  q ) ) ) )
7568, 74breqtrrd 4318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q ) ) ) )
76 rngabl 16674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Abel )
775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Abel )
7813, 17, 77, 9, 16, 22ablnnncan1 16312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  =  ( ( G 
.xb  r )  .-  ( G  .xb  q ) ) )
7913, 14, 17, 5, 11, 20, 12rngsubdi 16690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  (
r  .-  q )
)  =  ( ( G  .xb  r )  .-  ( G  .xb  q
) ) )
8078, 79eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  =  ( G  .xb  ( r  .-  q
) ) )
8180fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  =  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q ) ) ) )
8281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  =  ( D `  ( G 
.xb  ( r  .-  q ) ) ) )
8375, 82breqtrrd 4318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ) )
84 xrlenlt 9442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  e.  RR* )  ->  ( ( D `
 G )  <_ 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <  ( D `  G )
) )
8537, 29, 84syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  G )  <_  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <  ( D `  G )
) )
8685adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
( D `  G
)  <_  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
8783, 86mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  < 
( D `  G
) )
8887ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( q  =/=  r  ->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
8988necon4ad 2672 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G )  -> 
q  =  r ) )
9048, 89syld 44 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
q  =  r ) )
9190ralrimivva 2808 . 2  |-  ( ph  ->  A. q  e.  B  A. r  e.  B  ( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
q  =  r ) )
92 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( q  =  r  ->  ( G  .xb  q )  =  ( G  .xb  r
) )
9392oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( q  =  r  ->  ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  =  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )
9493fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( q  =  r  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  =  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )
9594breq1d 4302 . . 3  |-  ( q  =  r  ->  (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
9695rmo4 3152 . 2  |-  ( E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  A. q  e.  B  A. r  e.  B  ( (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  < 
( D `  G
) )  ->  q  =  r ) )
9791, 96sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E*wrmo 2718   ifcif 3791   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281    + caddc 9285   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   NN0cn0 10579   Basecbs 14174   .rcmulr 14239   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410   -gcsg 15413   Abelcabel 16278   Ringcrg 16645  RLRegcrlreg 17350  Poly1cpl1 17633  coe1cco1 17634   deg1 cdg1 21523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-rlreg 17354  df-psr 17423  df-mpl 17425  df-opsr 17427  df-psr1 17636  df-ply1 17638  df-coe1 17639  df-cnfld 17819  df-mdeg 21524  df-deg1 21525
This theorem is referenced by:  ply1divalg  21609
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