Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divmo Structured version   Unicode version

Theorem ply1divmo 22268
 Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials such that and the leading coefficient of is not a zero divisor, there is at most one polynomial which satisfies where the degree of is less than the degree of . (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p Poly1
ply1divalg.d deg1
ply1divalg.b
ply1divalg.m
ply1divalg.z
ply1divalg.t
ply1divalg.r1
ply1divalg.f
ply1divalg.g1
ply1divalg.g2
ply1divmo.g3 coe1
ply1divmo.e RLReg
Assertion
Ref Expression
ply1divmo
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem ply1divmo
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . . . . 13
21adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
3 ply1divalg.p . . . . . . . . . . . . 13 Poly1
43ply1rng 18057 . . . . . . . . . . . 12
52, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11
6 rnggrp 16988 . . . . . . . . . . 11
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10
8 ply1divalg.f . . . . . . . . . . . 12
98adantr 465 . . . . . . . . . . 11
10 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . . . . 13
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
12 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . . . . 13
14 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . 13
1513, 14rngcl 16996 . . . . . . . . . . . 12
165, 11, 12, 15syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
17 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . 12
1813, 17grpsubcl 15916 . . . . . . . . . . 11
197, 9, 16, 18syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
20 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12
2113, 14rngcl 16996 . . . . . . . . . . . 12
225, 11, 20, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
2313, 17grpsubcl 15916 . . . . . . . . . . 11
247, 9, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
2513, 17grpsubcl 15916 . . . . . . . . . 10
267, 19, 24, 25syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
27 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10 deg1
2827, 3, 13deg1xrcl 22214 . . . . . . . . 9
2926, 28syl 16 . . . . . . . 8
3027, 3, 13deg1xrcl 22214 . . . . . . . . . 10
3124, 30syl 16 . . . . . . . . 9
3227, 3, 13deg1xrcl 22214 . . . . . . . . . 10
3319, 32syl 16 . . . . . . . . 9
34 ifcl 3981 . . . . . . . . 9
3531, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . 8
3627, 3, 13deg1xrcl 22214 . . . . . . . . 9
3711, 36syl 16 . . . . . . . 8
3829, 35, 373jca 1176 . . . . . . 7
3938adantr 465 . . . . . 6
403, 27, 2, 13, 17, 19, 24deg1suble 22240 . . . . . . . 8
4140adantr 465 . . . . . . 7
42 xrmaxlt 11378 . . . . . . . . 9
4333, 31, 37, 42syl3anc 1228 . . . . . . . 8
4443biimpar 485 . . . . . . 7
4541, 44jca 532 . . . . . 6
46 xrlelttr 11355 . . . . . 6
4739, 45, 46sylc 60 . . . . 5
4847ex 434 . . . 4
49 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . . . . 13
50 ply1divalg.z . . . . . . . . . . . . . 14
5127, 3, 50, 13deg1nn0cl 22220 . . . . . . . . . . . . 13
521, 10, 49, 51syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
5453nn0red 10849 . . . . . . . . . 10
551ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
5613, 17grpsubcl 15916 . . . . . . . . . . . . 13
577, 20, 12, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
5857adantr 465 . . . . . . . . . . 11
5913, 50, 17grpsubeq0 15922 . . . . . . . . . . . . . . 15
607, 20, 12, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
61 equcom 1743 . . . . . . . . . . . . . 14
6260, 61syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13
6362necon3bid 2725 . . . . . . . . . . . 12
6463biimpar 485 . . . . . . . . . . 11
6527, 3, 50, 13deg1nn0cl 22220 . . . . . . . . . . 11
6655, 58, 64, 65syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
67 nn0addge1 10838 . . . . . . . . . 10
6854, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . 9
69 ply1divmo.e . . . . . . . . . 10 RLReg
7010ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
7149ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
72 ply1divmo.g3 . . . . . . . . . . 11 coe1
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 coe1
7427, 3, 69, 13, 14, 50, 55, 70, 71, 73, 58, 64deg1mul2 22247 . . . . . . . . 9
7568, 74breqtrrd 4473 . . . . . . . 8
76 rngabl 17012 . . . . . . . . . . . . 13
775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7813, 17, 77, 9, 16, 22ablnnncan1 16626 . . . . . . . . . . 11
7913, 14, 17, 5, 11, 20, 12rngsubdi 17028 . . . . . . . . . . 11
8078, 79eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10
8180fveq2d 5868 . . . . . . . . 9
8281adantr 465 . . . . . . . 8
8375, 82breqtrrd 4473 . . . . . . 7
84 xrlenlt 9648 . . . . . . . . 9
8537, 29, 84syl2anc 661 . . . . . . . 8
8685adantr 465 . . . . . . 7
8783, 86mpbid 210 . . . . . 6
8887ex 434 . . . . 5
8988necon4ad 2687 . . . 4
9048, 89syld 44 . . 3
9190ralrimivva 2885 . 2
92 oveq2 6290 . . . . . 6
9392oveq2d 6298 . . . . 5
9493fveq2d 5868 . . . 4
9594breq1d 4457 . . 3
9695rmo4 3296 . 2
9791, 96sylibr 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrmo 2817  cif 3939   class class class wbr 4447  cfv 5586  (class class class)co 6282  cr 9487   caddc 9491  cxr 9623   clt 9624   cle 9625  cn0 10791  cbs 14483  cmulr 14549  c0g 14688  cgrp 15720  csg 15723  cabl 16592  crg 16983  RLRegcrlreg 17695  Poly1cpl1 17984  coe1cco1 17985   deg1 cdg1 22184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-hash 12368  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-subrg 17207  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-rlreg 17699  df-psr 17773  df-mpl 17775  df-opsr 17777  df-psr1 17987  df-ply1 17989  df-coe1 17990  df-cnfld 18189  df-mdeg 22185  df-deg1 22186 This theorem is referenced by:  ply1divalg  22270
 Copyright terms: Public domain W3C validator