MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg Structured version   Unicode version

Theorem ply1divalg 21614
Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials  F ,  G such that  G  =/=  0 and the leading coefficient of  G is a unit, there are unique polynomials  q and  r  =  F  -  ( G  x.  q ) such that the degree of  r is less than the degree of  G. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1divalg.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ply1divalg.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1divalg.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1divalg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ply1divalg.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
ply1divalg.r1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
ply1divalg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
ply1divalg.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
ply1divalg.g2  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
ply1divalg.g3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )
ply1divalg.u  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1divalg  |-  ( ph  ->  E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Distinct variable groups:    ph, q    B, q    D, q    F, q    G, q    .- , q    P, q    R, q    .xb , q    .0. , q
Allowed substitution hint:    U( q)

Proof of Theorem ply1divalg
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ply1divalg.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
3 ply1divalg.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 ply1divalg.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  P )
5 ply1divalg.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
6 ply1divalg.t . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  P )
7 ply1divalg.r1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 ply1divalg.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
9 ply1divalg.g1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
10 ply1divalg.g2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
11 eqid 2443 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
12 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
13 eqid 2443 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
14 ply1divalg.g3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )
15 ply1divalg.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
16 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
1715, 16, 12rnginvcl 16773 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )  ->  ( ( invr `  R ) `  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
187, 14, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  R
) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) )  e.  (
Base `  R )
)
1915, 16, 13, 11unitrinv 16775 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )  ->  ( ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) ) ) )  =  ( 1r `  R
) )
207, 14, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  G
) `  ( D `  G ) ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20ply1divex 21613 . 2  |-  ( ph  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
22 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (RLReg `  R )  =  (RLReg `  R )
2322, 15unitrrg 17370 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  C_  (RLReg `  R ) )
247, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  (RLReg `  R
) )
2524, 14sseldd 3362 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  (RLReg `  R ) )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22ply1divmo 21612 . 2  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
27 reu5 2941 . 2  |-  ( E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( E. q  e.  B  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  E* q  e.  B  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
2821, 26, 27sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   E.wrex 2721   E!wreu 2722   E*wrmo 2723    C_ wss 3333   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    < clt 9423   Basecbs 14179   .rcmulr 14244   0gc0g 14383   -gcsg 15418   1rcur 16608   Ringcrg 16650  Unitcui 16736   invrcinvr 16768  RLRegcrlreg 17355  Poly1cpl1 17638  coe1cco1 17639   deg1 cdg1 21528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-rlreg 17359  df-psr 17428  df-mvr 17429  df-mpl 17430  df-opsr 17432  df-psr1 17641  df-vr1 17642  df-ply1 17643  df-coe1 17644  df-cnfld 17824  df-mdeg 21529  df-deg1 21530
This theorem is referenced by:  ply1divalg2  21615
  Copyright terms: Public domain W3C validator