Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1coeOLD Structured version   Unicode version

Theorem ply1coeOLD 18212
 Description: Decompose a univariate polynomial as a sum of powers. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) Obsolete as of 28-Sep-2019. Use ply1coe 18211 instead. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1coeOLD.p Poly1
ply1coeOLD.x var1
ply1coeOLD.b
ply1coeOLD.n
ply1coeOLD.m mulGrp
ply1coeOLD.e .g
ply1coeOLD.a coe1
ply1coeOLD.r
Assertion
Ref Expression
ply1coeOLD g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem ply1coeOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3 mPoly mPoly
2 psr1baslem 18098 . . 3
3 eqid 2443 . . 3
4 eqid 2443 . . 3
5 1onn 7290 . . . 4
65a1i 11 . . 3
7 ply1coeOLD.p . . . 4 Poly1
8 eqid 2443 . . . 4 PwSer1 PwSer1
9 ply1coeOLD.b . . . 4
107, 8, 9ply1bas 18108 . . 3 mPoly
11 ply1coeOLD.n . . . 4
127, 1, 11ply1vsca 18141 . . 3 mPoly
13 crngring 17083 . . . 4
15 simpr 461 . . 3
161, 2, 3, 4, 6, 10, 12, 14, 15mplcoe1 18001 . 2 mPoly g
17 ply1coeOLD.a . . . . . . 7 coe1
1817fvcoe1 18120 . . . . . 6
1918adantll 713 . . . . 5
205a1i 11 . . . . . . 7
21 eqid 2443 . . . . . . 7 mulGrp mPoly mulGrp mPoly
22 eqid 2443 . . . . . . 7 .gmulGrp mPoly .gmulGrp mPoly
23 eqid 2443 . . . . . . 7 mVar mVar
24 simpll 753 . . . . . . 7
25 simpr 461 . . . . . . 7
261, 2, 3, 4, 20, 21, 22, 23, 24, 25mplcoe2 18006 . . . . . 6 mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar
27 df1o2 7144 . . . . . . . . 9
28 mpteq1 4517 . . . . . . . . 9 .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly mVar
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly mVar
3029oveq2i 6292 . . . . . . 7 mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar
311mplcrng 17989 . . . . . . . . . . . . 13 mPoly
325, 31mpan 670 . . . . . . . . . . . 12 mPoly
3332adantr 465 . . . . . . . . . . 11 mPoly
3421crngmgp 17080 . . . . . . . . . . 11 mPoly mulGrp mPoly CMnd
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10 mulGrp mPoly CMnd
3635adantr 465 . . . . . . . . 9 mulGrp mPoly CMnd
37 cmnmnd 16687 . . . . . . . . 9 mulGrp mPoly CMnd mulGrp mPoly
3836, 37syl 16 . . . . . . . 8 mulGrp mPoly
39 0ex 4567 . . . . . . . . 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8
41 ply1coeOLD.e . . . . . . . . . . . 12 .g
4221, 10mgpbas 17021 . . . . . . . . . . . . 13 mulGrp mPoly
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp mPoly
44 ply1coeOLD.m . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp
4544, 9mgpbas 17021 . . . . . . . . . . . . 13
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
47 ssv 3509 . . . . . . . . . . . . 13
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
49 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . 13 mulGrp mPoly
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp mPoly
51 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
527, 1, 51ply1mulr 18142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mPoly
5321, 52mgpplusg 17019 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrp mPoly
5444, 51mgpplusg 17019 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54eqtr3i 2474 . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp mPoly
5655oveqi 6294 . . . . . . . . . . . . 13 mulGrp mPoly
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp mPoly
5822, 41, 43, 46, 48, 50, 57mulgpropd 16049 . . . . . . . . . . 11 .gmulGrp mPoly
5958oveqd 6298 . . . . . . . . . 10 .gmulGrp mPoly
6059adantr 465 . . . . . . . . 9 .gmulGrp mPoly
617ply1crng 18111 . . . . . . . . . . . . 13
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
63 crngring 17083 . . . . . . . . . . . 12
6444ringmgp 17078 . . . . . . . . . . . 12
6562, 63, 643syl 20 . . . . . . . . . . 11
6665adantr 465 . . . . . . . . . 10
67 elmapi 7442 . . . . . . . . . . . 12
68 0lt1o 7156 . . . . . . . . . . . 12
69 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . . . 12
7067, 68, 69sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
7170adantl 466 . . . . . . . . . 10
72 ply1coeOLD.x . . . . . . . . . . . . 13 var1
7372, 7, 9vr1cl 18132 . . . . . . . . . . . 12
7414, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11
7574adantr 465 . . . . . . . . . 10
7645, 41mulgnn0cl 16032 . . . . . . . . . 10
7766, 71, 75, 76syl3anc 1229 . . . . . . . . 9
7860, 77eqeltrd 2531 . . . . . . . 8 .gmulGrp mPoly
79 fveq2 5856 . . . . . . . . . 10
80 fveq2 5856 . . . . . . . . . . 11 mVar mVar
8172vr1val 18105 . . . . . . . . . . 11 mVar
8280, 81syl6eqr 2502 . . . . . . . . . 10 mVar
8379, 82oveq12d 6299 . . . . . . . . 9 .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly
8442, 83gsumsn 16855 . . . . . . . 8 mulGrp mPoly .gmulGrp mPoly mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly
8538, 40, 78, 84syl3anc 1229 . . . . . . 7 mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly
8630, 85syl5eq 2496 . . . . . 6 mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly
8726, 86, 603eqtrd 2488 . . . . 5
8819, 87oveq12d 6299 . . . 4
8988mpteq2dva 4523 . . 3
9089oveq2d 6297 . 2 mPoly g mPoly g
91 nn0ex 10807 . . . . . 6
9291mptex 6128 . . . . 5
9392a1i 11 . . . 4
94 fvex 5866 . . . . . 6 Poly1
957, 94eqeltri 2527 . . . . 5
9695a1i 11 . . . 4
97 ovex 6309 . . . . 5 mPoly
9897a1i 11 . . . 4 mPoly
999, 10eqtr3i 2474 . . . . 5 mPoly
10099a1i 11 . . . 4 mPoly
101 eqid 2443 . . . . . 6
1027, 1, 101ply1plusg 18140 . . . . 5 mPoly
103102a1i 11 . . . 4 mPoly
10493, 96, 98, 100, 103gsumpropd 15773 . . 3 g mPoly g
105 eqid 2443 . . . 4 mPoly mPoly
1061mpllmod 17987 . . . . . 6 mPoly
1075, 14, 106sylancr 663 . . . . 5 mPoly
108 lmodcmn 17432 . . . . 5 mPoly mPoly CMnd
109107, 108syl 16 . . . 4 mPoly CMnd
11091a1i 11 . . . 4
111107adantr 465 . . . . . 6 mPoly
112 eqid 2443 . . . . . . . . 9
11317, 9, 7, 112coe1f 18124 . . . . . . . 8
114113adantl 466 . . . . . . 7
115114ffvelrnda 6016 . . . . . 6
11665adantr 465 . . . . . . 7
117 simpr 461 . . . . . . 7
11874adantr 465 . . . . . . 7
11945, 41mulgnn0cl 16032 . . . . . . 7
120116, 117, 118, 119syl3anc 1229 . . . . . 6
121 ply1coeOLD.r . . . . . . . 8
122 simpl 457 . . . . . . . . 9
123 simpr 461 . . . . . . . . 9
1241, 122, 123mplsca 17981 . . . . . . . 8 Scalar mPoly
1255, 121, 124mp2an 672 . . . . . . 7 Scalar mPoly
12610, 125, 12, 112lmodvscl 17403 . . . . . 6 mPoly
127111, 115, 120, 126syl3anc 1229 . . . . 5
128 eqid 2443 . . . . 5
129127, 128fmptd 6040 . . . 4
130 funmpt 5614 . . . . . . 7
131 fvex 5866 . . . . . . 7 mPoly
13292, 130, 1313pm3.2i 1175 . . . . . 6 mPoly
133132a1i 11 . . . . 5 mPoly
13417, 9, 7, 3coe1sfi 18126 . . . . . . 7 finSupp
135134adantl 466 . . . . . 6 finSupp
136135fsuppimpd 7838 . . . . 5 supp
137114feqmptd 5911 . . . . . . . . 9
138137eqcomd 2451 . . . . . . . 8
139138oveq1d 6296 . . . . . . 7 supp supp
140 ssid 3508 . . . . . . 7 supp supp
141139, 140syl6eqss 3539 . . . . . 6 supp supp
14210, 125, 12, 3, 105lmod0vs 17419 . . . . . . 7 mPoly mPoly
143107, 142sylan 471 . . . . . 6 mPoly
144 fvex 5866 . . . . . . 7
145144a1i 11 . . . . . 6
146 fvex 5866 . . . . . . 7
147146a1i 11 . . . . . 6
148141, 143, 145, 120, 147suppssov1 6934 . . . . 5 supp mPoly supp
149 suppssfifsupp 7846 . . . . 5 mPoly supp supp mPoly supp finSupp mPoly
150133, 136, 148, 149syl12anc 1227 . . . 4 finSupp mPoly
151 eqid 2443 . . . . . 6
15227, 91, 39, 151mapsnf1o2 7468 . . . . 5
153152a1i 11 . . . 4
15410, 105, 109, 110, 129, 150, 153gsumf1o 16798 . . 3 mPoly g mPoly g
155 eqidd 2444 . . . . 5
156 eqidd 2444 . . . . 5
157 fveq2 5856 . . . . . 6
158 oveq1 6288 . . . . . 6
159157, 158oveq12d 6299 . . . . 5
16071, 155, 156, 159fmptco 6049 . . . 4
161160oveq2d 6297 . . 3 mPoly g mPoly g
162104, 154, 1613eqtrrd 2489 . 2 mPoly g g
16316, 90, 1623eqtrd 2488 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095   wss 3461  c0 3770  cif 3926  csn 4014   class class class wbr 4437   cmpt 4495   ccom 4993   wfun 5572  wf 5574  wf1o 5577  cfv 5578  (class class class)co 6281  com 6685   supp csupp 6903  c1o 7125   cmap 7422  cfn 7518   finSupp cfsupp 7831  cn0 10801  cbs 14509   cplusg 14574  cmulr 14575  Scalarcsca 14577  cvsca 14578  c0g 14714   g cgsu 14715  cmnd 15793  .gcmg 15930  CMndccmn 16672  mulGrpcmgp 17015  cur 17027  crg 17072  ccrg 17073  clmod 17386   mVar cmvr 17875   mPoly cmpl 17876  PwSer1cps1 18088  var1cv1 18089  Poly1cpl1 18090  coe1cco1 18091 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-tset 14593  df-ple 14594  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-ghm 16139  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-srg 17032  df-ring 17074  df-cring 17075  df-subrg 17301  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-psr 17879  df-mvr 17880  df-mpl 17881  df-opsr 17883  df-psr1 18093  df-vr1 18094  df-ply1 18095  df-coe1 18096 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator