MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1bas Structured version   Unicode version

Theorem ply1bas 18723
Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1val.2  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
ply1bas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1bas  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )

Proof of Theorem ply1bas
StepHypRef Expression
1 ply1bas.u . 2  |-  U  =  ( Base `  P
)
2 eqid 2429 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
3 eqid 2429 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
4 eqid 2429 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
5 ply1val.2 . . . . 5  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
6 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
75, 6, 3psr1bas2 18718 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  ( 1o mPwSer  R ) )
82, 3, 4, 7mplbasss 18591 . . 3  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  C_  ( Base `  S )
9 ply1val.1 . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
109, 5ply1val 18722 . . . 4  |-  P  =  ( Ss  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1110, 6ressbas2 15142 . . 3  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  C_  ( Base `  S )  -> 
( Base `  ( 1o mPoly  R ) )  =  (
Base `  P )
)
128, 11ax-mp 5 . 2  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  P )
131, 12eqtr4i 2461 1  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    C_ wss 3442   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1oc1o 7183   Basecbs 15084   mPwSer cmps 18510   mPoly cmpl 18512  PwSer1cps1 18703  Poly1cpl1 18705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-ple 15172  df-psr 18515  df-mpl 18517  df-opsr 18519  df-psr1 18708  df-ply1 18710
This theorem is referenced by:  ply1lss  18724  ply1subrg  18725  ply1crng  18726  ply1assa  18727  ply1basf  18730  ply1bascl2  18732  vr1cl  18745  ressply1bas2  18756  ressply1add  18758  ressply1mul  18759  ressply1vsca  18760  subrgply1  18761  ply1baspropd  18771  ply1ring  18776  ply1lmod  18780  ply1mpl0  18783  ply1mpl1  18785  subrg1asclcl  18788  subrgvr1cl  18790  coe1add  18792  coe1tm  18801  ply1coe  18824  ply1coeOLD  18825  evls1rhm  18846  evls1sca  18847  evl1rhm  18855  evl1sca  18857  evl1var  18859  evls1var  18861  mpfpf1  18874  pf1mpf  18875  deg1xrf  22907  deg1cl  22909  deg1nn0cl  22914  deg1ldg  22918  deg1leb  22921  deg1val  22922  deg1vscale  22930  deg1vsca  22931  deg1mulle2  22935  deg1le0  22937
  Copyright terms: Public domain W3C validator