MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1assa Structured version   Unicode version

Theorem ply1assa 18112
Description: The ring of univariate polynomials is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1assa  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )

Proof of Theorem ply1assa
StepHypRef Expression
1 crngring 17083 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 ply1val.1 . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2443 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
4 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
52, 3, 4ply1subrg 18110 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
72, 3, 4ply1lss 18109 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  P )  e.  (
LSubSp `  (PwSer1 `  R ) ) )
81, 7syl 16 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  e.  (
LSubSp `  (PwSer1 `  R ) ) )
93psr1assa 18101 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  (PwSer1 `  R
)  e. AssAlg )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )
1110subrg1cl 17311 . . . 4  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R
) )  ->  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )  e.  ( Base `  P
) )
126, 11syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )  e.  ( Base `  P
) )
13 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )
1413subrgss 17304 . . . 4  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R
) )  ->  ( Base `  P )  C_  ( Base `  (PwSer1 `  R
) ) )
156, 14syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  C_  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )
162, 3ply1val 18107 . . . . 5  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
172, 3, 4ply1bas 18108 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
1817oveq2i 6292 . . . . 5  |-  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  P
) )  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
1916, 18eqtr4i 2475 . . . 4  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  P ) )
20 eqid 2443 . . . 4  |-  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) )
2119, 20, 13, 10issubassa 17847 . . 3  |-  ( ( (PwSer1 `  R )  e. AssAlg  /\  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( Base `  P )  C_  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )  ->  ( P  e. AssAlg  <-> 
( ( Base `  P
)  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) )  /\  ( Base `  P )  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R
) ) ) ) )
229, 12, 15, 21syl3anc 1229 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( P  e. AssAlg  <-> 
( ( Base `  P
)  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) )  /\  ( Base `  P )  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R
) ) ) ) )
236, 8, 22mpbir2and 922 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1oc1o 7125   Basecbs 14509   ↾s cress 14510   1rcur 17027   Ringcrg 17072   CRingccrg 17073  SubRingcsubrg 17299   LSubSpclss 17452  AssAlgcasa 17832   mPoly cmpl 17876  PwSer1cps1 18088  Poly1cpl1 18090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-tset 14593  df-ple 14594  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-ghm 16139  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-cring 17075  df-subrg 17301  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-assa 17835  df-psr 17879  df-mpl 17881  df-opsr 17883  df-psr1 18093  df-ply1 18095
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  18223  evl1vsd  18254  pf1subrg  18258  evl1scvarpw  18273  mat2pmatmul  19105  mat2pmatlin  19109  monmatcollpw  19153  pmatcollpwlem  19154  chpscmatgsumbin  19218  fta1blem  22442
  Copyright terms: Public domain W3C validator