Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1ass23l Structured version   Unicode version

Theorem ply1ass23l 33255
Description: Associative identity with scalar and ring multiplication for the polynomial ring. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1ass23l.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1ass23l.t  |-  .X.  =  ( .r `  P )
ply1ass23l.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1ass23l.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ply1ass23l.n  |-  .x.  =  ( .s `  P )
Assertion
Ref Expression
ply1ass23l  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) )

Proof of Theorem ply1ass23l
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . 2  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
2 1on 7129 . . 3  |-  1o  e.  On
32a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  1o  e.  On )
4 simpl 455 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  R  e.  Ring )
5 eqid 2454 . 2  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
6 eqid 2454 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
7 ply1ass23l.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 ply1ass23l.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  P )
97, 6, 8ply1mulr 18466 . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
106, 1, 9mplmulr 18460 . 2  |-  .X.  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
11 eqid 2454 . 2  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)
12 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
136, 1, 12, 11mplbasss 18289 . . . . 5  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  C_  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)
14 ply1ass23l.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
157, 14ply1bascl2 18441 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1613, 15sseldi 3487 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) ) )
17163ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  K  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
) )
1817adantl 464 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  X  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) ) )
197, 14ply1bascl2 18441 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
2013, 19sseldi 3487 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) ) )
21203ad2ant3 1017 . . 3  |-  ( ( A  e.  K  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
) )
2221adantl 464 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  Y  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) ) )
23 ply1ass23l.k . 2  |-  K  =  ( Base `  R
)
24 ply1ass23l.n . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  P )
257, 6, 24ply1vsca 18465 . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  ( 1o mPoly  R ) )
266, 1, 25mplvsca2 18306 . 2  |-  .x.  =  ( .s `  ( 1o mPwSer  R ) )
27 simpr1 1000 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  A  e.  K )
281, 3, 4, 5, 10, 11, 18, 22, 23, 26, 27psrass23l 18261 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( A  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   {crab 2808   Oncon0 4867   `'ccnv 4987   "cima 4991   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1oc1o 7115    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   NNcn 10531   NN0cn0 10791   Basecbs 14719   .rcmulr 14788   .scvsca 14791   Ringcrg 17396   mPwSer cmps 18198   mPoly cmpl 18200  Poly1cpl1 18414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-tset 14806  df-ple 14807  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-ghm 16467  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-psr 18203  df-mpl 18205  df-opsr 18207  df-psr1 18417  df-ply1 18419
This theorem is referenced by:  ply1sclrmsm  33256
  Copyright terms: Public domain W3C validator