Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1ascl Structured version   Unicode version

Theorem ply1ascl 18173
 Description: The univariate polynomial ring inherits the multivariate ring's scalar function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1ascl.p Poly1
ply1ascl.a algSc
Assertion
Ref Expression
ply1ascl algSc mPoly

Proof of Theorem ply1ascl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1ascl.a . 2 algSc
2 eqid 2443 . . . 4 Scalar Scalar
3 eqid 2443 . . . 4 Scalar mPoly Scalar mPoly
4 ply1ascl.p . . . . . 6 Poly1
54ply1sca 18168 . . . . 5 Scalar
65fveq2d 5860 . . . 4 Scalar
7 eqid 2443 . . . . . 6 mPoly mPoly
8 1on 7139 . . . . . . 7
98a1i 11 . . . . . 6
10 id 22 . . . . . 6
117, 9, 10mplsca 17981 . . . . 5 Scalar mPoly
1211fveq2d 5860 . . . 4 Scalar mPoly
13 eqid 2443 . . . . . . 7
144, 7, 13ply1vsca 18141 . . . . . 6 mPoly
1514a1i 11 . . . . 5 mPoly
1615oveqdr 6305 . . . 4 mPoly
17 eqid 2443 . . . . . 6
187, 4, 17ply1mpl1 18172 . . . . 5 mPoly
1918a1i 11 . . . 4 mPoly
20 fvex 5866 . . . . 5
2120a1i 11 . . . 4
222, 3, 6, 12, 16, 19, 21asclpropd 17869 . . 3 algSc algSc mPoly
23 fvprc 5850 . . . . . 6 Poly1
244, 23syl5eq 2496 . . . . 5
25 reldmmpl 17957 . . . . . 6 mPoly
2625ovprc2 6313 . . . . 5 mPoly
2724, 26eqtr4d 2487 . . . 4 mPoly
2827fveq2d 5860 . . 3 algSc algSc mPoly
2922, 28pm2.61i 164 . 2 algSc algSc mPoly
301, 29eqtri 2472 1 algSc mPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095  c0 3770  con0 4868  cfv 5578  (class class class)co 6281  c1o 7125  cbs 14509  Scalarcsca 14577  cvsca 14578  cur 17027  algSccascl 17834   mPoly cmpl 17876  Poly1cpl1 18090 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-tset 14593  df-ple 14594  df-0g 14716  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ascl 17837  df-psr 17879  df-mpl 17881  df-opsr 17883  df-psr1 18093  df-ply1 18095 This theorem is referenced by:  subrg1ascl  18174  subrg1asclcl  18175  evls1sca  18234  evl1sca  18244  pf1ind  18265  deg1le0  22385
 Copyright terms: Public domain W3C validator