Theorem plusssfval 17204

Description: The subspace sum operation.

Hypotheses

Ref	Expression
plusssfval.v	|- V = (vbase` H)
plusssfval.a	|- A = (vadd` H)
plusssfval.s	|- S = (+ss` H)

Assertion

Ref	Expression
plusssfval	|- (H e. B -> S = (x e. ~PV, y e. ~PV |-> {w e. V | E.t e. x E.u e. y w = (tAu)}))

Distinct variable groups:   u,t,w,x,y,H   w,V,x,y

Proof of Theorem plusssfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. 2 |- (H e. B -> H e. _V)
2		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (h = H -> (vbase` h) = (vbase` H))
3		plusssfval.v	. . . . . . 7 |- V = (vbase` H)
4	2, 3	syl6eqr 1946	. . . . . 6 |- (h = H -> (vbase` h) = V)
5		pweq 3036	. . . . . 6 |- ((vbase` h) = V -> ~P(vbase` h) = ~PV)
6	4, 5	syl 12	. . . . 5 |- (h = H -> ~P(vbase` h) = ~PV)
7		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (h = H -> (vadd` h) = (vadd` H))
8		plusssfval.a	. . . . . . . . . 10 |- A = (vadd` H)
9	7, 8	syl6eqr 1946	. . . . . . . . 9 |- (h = H -> (vadd` h) = A)
10	9	opreqd 4899	. . . . . . . 8 |- (h = H -> (t(vadd` h)u) = (tAu))
11	10	eqeq2d 1895	. . . . . . 7 |- (h = H -> (w = (t(vadd` h)u) <-> w = (tAu)))
12	11	2rexbidv 2141	. . . . . 6 |- (h = H -> (E.t e. x E.u e. y w = (t(vadd` h)u) <-> E.t e. x E.u e. y w = (tAu)))
13	4, 12	rabeqbidv 2290	. . . . 5 |- (h = H -> {w e. (vbase` h) | E.t e. x E.u e. y w = (t(vadd` h)u)} = {w e. V | E.t e. x E.u e. y w = (tAu)})
14	6, 6, 13	mpt2eq123dv 5009	. . . 4 |- (h = H -> (x e. ~P(vbase` h), y e. ~P(vbase` h) |-> {w e. (vbase` h) | E.t e. x E.u e. y w = (t(vadd` h)u)}) = (x e. ~PV, y e. ~PV |-> {w e. V | E.t e. x E.u e. y w = (tAu)}))
15		df-plusss 17200	. . . 4 |- +ss = (h e. _V |-> (x e. ~P(vbase` h), y e. ~P(vbase` h) |-> {w e. (vbase` h) | E.t e. x E.u e. y w = (t(vadd` h)u)}))
16		fvex 4689	. . . . . . 7 |- (vbase` H) e. _V
17	3, 16	eqeltri 1967	. . . . . 6 |- V e. _V
18	17	pwex 3487	. . . . 5 |- ~PV e. _V
19		mpt2exg 5013	. . . . 5 |- ((~PV e. _V /\ ~PV e. _V) -> (x e. ~PV, y e. ~PV |-> {w e. V | E.t e. x E.u e. y w = (tAu)}) e. _V)
20	18, 18, 19	mp2an 761	. . . 4 |- (x e. ~PV, y e. ~PV |-> {w e. V | E.t e. x E.u e. y w = (tAu)}) e. _V
21	14, 15, 20	fvmpt 5015	. . 3 |- (H e. _V -> (+ss` H) = (x e. ~PV, y e. ~PV |-> {w e. V | E.t e. x E.u e. y w = (tAu)}))
22		plusssfval.s	. . 3 |- S = (+ss` H)
23	21, 22	syl5eq 1940	. 2 |- (H e. _V -> S = (x e. ~PV, y e. ~PV |-> {w e. V | E.t e. x E.u e. y w = (tAu)}))
24	1, 23	syl 12	1 |- (H e. B -> S = (x e. ~PV, y e. ~PV |-> {w e. V | E.t e. x E.u e. y w = (tAu)}))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292  ~Pcpw 3032  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   e. cmpt2 5005  vbasecvbase 17180  vaddcvadd 17181  +sscplusss 17196

This theorem is referenced by:  plusssval 17205

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-plusss 17200

Copyright terms: Public domain